成人高考專升本高數(shù)一復(fù)習(xí)資料

1、成人高考高數(shù)一復(fù)第一章極限和連續(xù)復(fù)習(xí)考試要求11.理解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2 .了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3 .理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。4 .熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容(一)數(shù)列的極限1 .數(shù)列按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如(1)1,3,5稱為數(shù)列，記作其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第3)都是數(shù)列。在幾何上，

2、數(shù)列(4)1,0,1可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)時(shí)2 .數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A,記否則稱數(shù)列沒有極限，如果數(shù)列沒有極限,列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示就稱數(shù)A及數(shù)列若數(shù)列以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，收斂，則其極限值必定惟一。點(diǎn)定理1.2（有界性）若數(shù)列可以無限靠近點(diǎn)A（二）數(shù)列極限的性質(zhì)定理 1.1 （惟一性）若數(shù)列收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。定理1.3（兩面夾定理）若數(shù)列滿足不等式定理1.4若數(shù)列(2)(3單調(diào)有界，則它必

3、有極限。下面我們給出數(shù)列極限的四則運(yùn)算定時(shí)，.（三）函數(shù)極限的概念1.理。定理1.5的極限的極限(1)當(dāng)定義對(duì)于函數(shù)如果當(dāng)無限地趨于無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)?shù)臉O限是A,記作時(shí))(定義對(duì)于函數(shù)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)?shù)淖髽O限是例如函數(shù) 當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時(shí),無限地趨于一個(gè)常數(shù)1.我們稱：當(dāng)時(shí)，(3)當(dāng)?shù)淖髽O限是1對(duì)于函數(shù)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)?shù)挠覙O限是又如函數(shù) 當(dāng)x從0的右邊無限地趨于 0時(shí),無限地趨于一個(gè)常數(shù)-10因此有這就是說對(duì)于函數(shù)的左極限是1,而右極限是-1,即但是對(duì)于函數(shù)2。左極限的左極限是2,而右極限是當(dāng)顯然，函數(shù)的與函數(shù)的極限時(shí)，函數(shù)之間后以下關(guān)系：的極限等于

4、A的必要充分條件是定理1.6當(dāng)這就是說：如果當(dāng)?shù)臉O限等于A,則必定有左、右極限都等反之，如果左、右極限都等于A,則必有這個(gè)結(jié)論很容易直接由它們的定義得到。以上講的是當(dāng)?shù)臉O限存在的情況，對(duì)于某些函數(shù)的某的極限也可能不存在。2.時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)的極限定 義對(duì) 于 函 數(shù)的極限(1)當(dāng)?shù)臉O限是A,記作時(shí)）時(shí)，函數(shù)如果當(dāng)?shù)臉O限對(duì)于函數(shù)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)?shù)臉O限是 A , 記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上只不過在數(shù)列極限的定義中且其中的x不一定是整數(shù)。是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要確寫出當(dāng)時(shí)，時(shí)，函無限地趨于常數(shù)2,因此有的極限(3)當(dāng)定義對(duì)于函數(shù)的極限是A,記作當(dāng)又如函數(shù)時(shí)無限地趨于常數(shù)2,

5、因此我們說，當(dāng)?shù)臉O限是2,即有時(shí)，函數(shù)由上述時(shí)極限的定義，不難看出的極限是A,這表示當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)及有相同的極限Ao來講，因?yàn)橛袝r(shí)的極限存在無限地趨于常數(shù) 1: 當(dāng)?shù)臉O限也存在，但這兩個(gè)極限不相同,的極限不存在。我們只能說，當(dāng)當(dāng)也無限地趨于同一個(gè)常數(shù)1,因此稱當(dāng)?shù)臉O限是1,記作其幾何意義如圖3所示.（四）函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)(可除外)滿足條件0則注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)(也成立。(1)下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理(2) 3)定理1.9如果時(shí)上述運(yùn)算法則不難推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，并有以

6、下推論:推論(2)1、無窮小量（簡(jiǎn)稱無窮小）定義對(duì)于函數(shù)用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極如果自變量x在某個(gè)變化過程中，函數(shù)限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零，另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的極限為零，則稱在該變化過程中,的情形也都成立（五）無窮小量和無窮大量為無窮小量，一般記作在微積分中常用希臘字母來表示無窮小量。這里說的“自變量x在某個(gè)變化過程中"中的一個(gè)。為了簡(jiǎn)單起見，我們沒有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時(shí)將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量。定理1.10函數(shù)以A為極限的必要充分條件是:可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。住息：(1)無

7、窮小量是變量它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)是變量無限趨于零的。(2)一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，例如時(shí)時(shí)是無窮小量；而當(dāng)就不是無窮小量。因此稱時(shí)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)闉闊o窮小量時(shí)，必須指出自變量的變化趨勢(shì)。否則是毫無意義的。(3)很小很小的數(shù)不是無窮小量，越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)2 .無窮大量(簡(jiǎn)稱無窮大)定義如果當(dāng)自變量(就越變?cè)叫?，但它不是無窮小量。(4)無窮小量不是一個(gè)數(shù)，但"0"是無）為無窮大量。記作的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無限地增大），

8、則稱在該變化過程中，2.無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量，且為無窮小量是無窮小量。當(dāng)是無窮小量，而當(dāng)是無窮大量。是同一變化過程中的無窮小量，即3 .無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限多個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)(變量)與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限多個(gè)無窮小量的乘積是無窮(1)如果小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。4 .無窮小量的比較則稱 較高階的無窮小量，記作是比(#) 如 果則稱同階的無窮小量;)如果

9、是等價(jià)無窮小量記為(#) 如 果則稱較低價(jià)的無窮小量。記作例如:時(shí)）。與x是等價(jià)無窮小量（當(dāng)與x是同階無窮小量（當(dāng)時(shí)）。時(shí))。兩個(gè)等價(jià)無窮小量可以互相代換，且有均為無窮小量，又這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意:等價(jià)無窮小量代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)時(shí),x)x)x)x;對(duì)這些等價(jià)無窮小量的代換，應(yīng)該更深一層的理解為:其余類似。（六）兩個(gè)重要極限sin1.重要極限屬 三 角 函 數(shù) 的型的極限問題該公式可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示2、重要極限n（七）求極限的方法型的募指型的極限問題其中e是個(gè)常數(shù)，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為：e=2.

10、718281828495045其結(jié)構(gòu)式可表示為1 .利用極限的四則運(yùn)算法則求極限;2 .利用兩個(gè)重要極限求極限；3 .利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4 .利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5 .利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6 .利用等價(jià)無窮小代換定理求極限。四則運(yùn)算法則：lim的=Alimg(x)=B limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)=A±B limf(x)xg(x)=limf3xlimg兇=A-blimK(x)=Klimf(x)=K-Alim(4)1.約分，求極限(B乎0) lim的=limf(x)n=An基本極限公式(1)limc=c(2答02 .

11、當(dāng)E型的極限答3計(jì)算極限答0一般地，有計(jì)算極限等于答A.0B.3 .無窮小的性質(zhì)求極限C.1D.2答A4.第I個(gè)重要極限等于A.0B.等于A.0B.1C.1D.3答DD.5.第n個(gè)重要極限答A若答1存在，且等于（A.eC.答eD.答D計(jì)6.求極限的逆問題(1)當(dāng)時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)1.27求a,b的值.答求a,b的值.答型a=-1 , b=1.設(shè)型未定式.a=3,b=-2o(2)當(dāng)x-x時(shí)，己知極限值求函數(shù)式中待定系數(shù)B.貝K=。C.7.無窮小量當(dāng)xf0時(shí)，下列函數(shù)為無窮小的是（）A.小答C當(dāng)x-0時(shí)D.2x-1答B(yǎng)與當(dāng)xf0時(shí),是x的（）A.高階無窮小B.低階無窮小為等價(jià)無窮小，

12、則必有a=。答C.同階無窮小，但不等價(jià)D.等價(jià)無窮主要知識(shí)內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1、函數(shù)在點(diǎn)第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求i處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f ( x )在點(diǎn)(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單的命題。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)也趨近于0,即則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)連續(xù)也可作如下定義。時(shí)，函數(shù)y

13、=f(x)的極限值存在，且等定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)即則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處左連續(xù)；如果連續(xù)，此時(shí)有定義3設(shè)函數(shù)y=f(x),處左連續(xù)也右連續(xù)。2、函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)處連續(xù)，則f(x)在點(diǎn)則稱函數(shù)f(X)在點(diǎn)處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f(x)在定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，并稱f(x)為a,b上的連續(xù)函數(shù)在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系:都連續(xù)。3、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)這里，f(x)在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：處不連續(xù)則稱點(diǎn)即f (x)在左端點(diǎn)a處

14、是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。為f (x) 一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果f可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)處有下列三種情況之一，則點(diǎn)處，f(x)沒有定義;(2)在是f(x)一個(gè)間斷點(diǎn)點(diǎn)處，f(x)的極限不存在;(x)有定義，且(二)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到F列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理(四則運(yùn)算)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)處皆連續(xù)，則處連續(xù)處連續(xù)則處連續(xù)。定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g處連續(xù)y=f(u)在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在處極限存在，又y=f(u)在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g(

15、x),在處連續(xù)。則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理(反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)定理(介值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m,則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c,在a,b上至少存在一個(gè)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)的函數(shù)f (x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理(有界性定理)如果函數(shù) f (x)在 閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)必在a, b上有界。定理(最大值和最小值定理)如果函數(shù)f (x)

16、在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則在這個(gè)使得推論如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上 連續(xù)，且f (a)與f (b)異號(hào)，則在a, b 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值ni是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則使得，(四)初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于，基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。定理：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f例1.點(diǎn)的連續(xù)性的逆問題(1)設(shè)當(dāng) x才0 時(shí)，F(xiàn) (x) =f (x)。若 F (x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則F (0)等于。A.-1B.0C.1D.2(x)是初等函數(shù)，且答CA.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)(2)設(shè)C.跳躍間斷點(diǎn)D