【KS5U解析】內(nèi)蒙古包頭市北重三中2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)（理科）試題一、選擇題：每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意.1. 向量，若，且，則的值為（ ）a. b. 1c. 3或1d. 或1【答案】d【解析】，又 ，所以解得或 ，所以或，故選d.2. 拋物線的焦點(diǎn)是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，則拋物線準(zhǔn)線方程是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求得直線和坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)，由此求得的值，并求得準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線開口向上或者向下，焦點(diǎn)在軸上，直線與軸交點(diǎn)為，故，即拋物線的方程為，故準(zhǔn)線方程為，故選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查已知拋物線的焦點(diǎn)求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.3. （為參數(shù)）的傾斜角為（ ）.a. b. c.

2、d. 【答案】b【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到（為參數(shù)），消去參數(shù)得到，再根據(jù)直線方程的斜率即可得到直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)椋閰?shù)），所以（為參數(shù)），即（為參數(shù)），傾斜角為.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的參數(shù)方程，屬于簡單題.4. 過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，則（ ）a. b. c. 或d. 【答案】a【解析】【詳解】過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，可得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，圓的半徑為可得弦長為，設(shè)直線與拋物線的交橫坐標(biāo)為則，可得，故選a.5. 已知直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段的長是（ ）a. b.

3、c. d. 2【答案】b【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，則，橢圓的方程為，聯(lián)立，化簡得：，解得或，代入直線得出或，則，所以，故選b考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)6. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），那么的取值范圍是（ ）a. b. c. d. ，或【答案】a【解析】【分析】先設(shè)，再由點(diǎn)差法求出，再由點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，求出的范圍即可得解.【詳解】解：設(shè)，又點(diǎn)，在橢圓上，則，兩式相減可得：，又， 則，又點(diǎn)，在橢圓內(nèi)，則，則，所以，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓中的中點(diǎn)弦問題，重點(diǎn)考查了點(diǎn)差法，屬基礎(chǔ)題.7. 橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（ ）a. b. c. 3d. 6【答案

4、】a【解析】【分析】設(shè)，求出到直線 距離，由此能求出點(diǎn)到直線的距離的最小值【詳解】解：橢圓，為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，到直線 的距離：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值點(diǎn)到直線的距離的最小值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用，屬于中檔題8. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足， ，則的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 ， 點(diǎn) 的軌跡為以為以點(diǎn) 為圓心，1為半徑的圓，越小，越小，結(jié)合圖形知，當(dāng) 點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最小值 最小值是故選c點(diǎn)睛：本題考查橢圓上的線段長的最小值的求法，屬中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握

5、橢圓的性質(zhì)，9. 設(shè)是雙曲線c：的右焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)p，n，直線po交雙曲線c于另一點(diǎn)m，若，且，則雙曲線c的離心率為（ ）a. 3b. 2c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為f1，則mf2pf1為平行四邊形，根據(jù)雙曲線定義可得，在mf1f2中利用余弦定理得出a，c的關(guān)系即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為f1，由雙曲線的對稱性可知四邊形mf2pf1為平行四邊形設(shè)，則，即，又，在mf1f2中，由余弦定理可得：，即，雙曲線的離心率e故選d【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，離心率計(jì)算，利用雙曲線的對稱性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題10. 已知雙曲線的

6、離心率為，圓心在軸的正半軸上的圓與雙曲線的漸近線相切，且圓的半徑為2，則以圓的圓心為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】設(shè)雙曲線漸近線的方程為 ，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與直線相切由點(diǎn)到直線距離公式可得 ，即 ，又因?yàn)殡x心率為 ，可得 ，所以拋物線的方程為 ，故選b.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)、雙曲線的離心率雙曲線的漸近線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，屬于難題.求解與雙曲線、拋物線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在

7、聯(lián)系.11. 已知 是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，p 是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且| pf2 |>| pf1 |，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（ ）a. 4b. 6c. d. 8【答案】d【解析】【分析】由題意可得，再設(shè)橢圓和雙曲線得方程，再利用橢圓和雙曲線的定義和離心率可得的表達(dá)式，化簡后再用均值不等式即可求解.【詳解】由題意得：，設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，又.，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.則的最小值為8.故答案為：8.【點(diǎn)睛】考查橢圓和雙曲的定義,焦半徑公式以及離心率，其中將化為為解題關(guān)鍵，注意取等號.12. 已知過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).若橢圓上存在一

8、點(diǎn)，滿足（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：根據(jù)平方差法得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，得，把點(diǎn)代入橢圓的方程，即可求解離心率的值.詳解：設(shè)的中點(diǎn)，由題意知，兩式相減得，則，而，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，又因?yàn)?，所?所以點(diǎn)代入橢圓的方程，得，所以，故選a.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓幾何性質(zhì)離心率的求解，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出 ，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)二、填空題：13.

9、 在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為_【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為，根據(jù)異面直線所成角空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長為，則，即異面直線與所成角的余弦值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法求解異面直線所成角的問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略異面直線所成角的范圍為，造成求解余弦值時(shí)符號錯(cuò)誤.14. 曲線c:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換得到曲線，則曲線的方程為_.【答案】【解析】【分析】由得，代入x2+y2=1，即可得曲線的方程.【詳解】由得，代入x2+y2=1，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用伸縮變換求曲線

10、的方程，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力.15. 已知，且，則的最小值_.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)條件便可得到，從而根據(jù)三個(gè)數(shù)的均值不等式計(jì)算可得；【詳解】解：，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”；的最小值為3故答案為：3【點(diǎn)睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在應(yīng)用求最小值時(shí)，應(yīng)使得為常數(shù)，且，并會(huì)判斷“”成立的條件，屬于基礎(chǔ)題16. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知a（1,0），b（0，1），p是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析：由題意設(shè), ，則，又，所以，所以的取值范圍為.【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想【名師點(diǎn)睛】本題解答時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，將問

11、題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到的取值范圍.本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.三、解答題：應(yīng)寫出文字說明、證明過程、演算步驟.17. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程是（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：（1）求曲線c的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與直線l交于點(diǎn)m，與曲線c交于p，q兩點(diǎn)，已知omopoq）10，求t的值【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由曲線c的參數(shù)方程，可得曲線c的普通方程，再將其化為極坐標(biāo)方程 （2）將代入中，求

12、得|om|，將代入中，得，得到|op|oq|=5再根據(jù)|om|op|oq|=10，解得t值即可.【詳解】（1）由曲線c的參數(shù)方程，可得曲線c的普通方程為，即 ，故曲線c的極坐標(biāo)方程為 （2）將代入中，得，則 |om|=將代入中，得設(shè)點(diǎn)p的極徑為，點(diǎn)q的極徑為，則 所以|op|oq|=5又|om|op|oq|=10，則5=10 t=或【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，考查了利用極坐標(biāo)解決長度問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型18. 如圖，菱形與正所在平面互相垂直，平面，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證

13、明過程詳見解析（2）【解析】分析】（1）過點(diǎn)作于，由面面垂直的性質(zhì)可知平面，又平面，可得，即四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而得到線面平行；（2）分別以，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作于，連接eh，. 平面平面，平面，平面平面于 平面.又平面，.， 四邊形為平行四邊形. ， 平面，平面，平面. （2）連接.由（1）得為中點(diǎn)，又，為等邊三角形，.分別以，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.， ，設(shè)平面的法向量為.由，得令，得.， 直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理和利用空間向量

14、求線面角，利用空間向量解題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線及點(diǎn)，動(dòng)直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，.（1）求的值；（2）若與軸不垂直，設(shè)線段中點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于直線，記，相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)直線過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，由知拋物線所過的點(diǎn)，代入

15、拋物線方程求得的值；（2）設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去化簡得關(guān)于的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的方程，再根據(jù)垂直關(guān)系求出直線的方程，由此求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)在定直線上【詳解】（1）因?yàn)檫^，且當(dāng)垂直于軸時(shí)，所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入拋物線方程，得，解得.（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為：，.聯(lián)立消去，得，則，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則直線方程為：.因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與垂直，則直線方程為：，聯(lián)立，解得即，所以，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了直線與方程的應(yīng)用問題，屬于中檔題20. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)

16、方程為（其中t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)a的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)a曲線c的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的普通方程與曲線c的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作直線的垂線交曲線c于d，e兩點(diǎn)（d在x軸上方），求的值【答案】（1）直線的普通方程為，曲線c的直角坐標(biāo)方程為；（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)a的直角坐標(biāo)代入直線的參數(shù)方程，求出的值，再轉(zhuǎn)化成普通方程；在曲線方程兩邊同時(shí)乘以，即可得到答案；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），再利用參數(shù)的幾何意義，即可得到答案；【詳解】解：（1）由題意得點(diǎn)a的直角坐標(biāo)為，將點(diǎn)a代入得，則直線的普通方程為由得，即故曲線c的直角坐標(biāo)方

17、程為（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入得設(shè)對應(yīng)參數(shù)為，對應(yīng)參數(shù)為則，且，【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程和普通方程、極坐標(biāo)方程的互化、直線方程中參數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21. 如圖,四棱錐中，（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由【答案】（1）見證明；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算bc，根據(jù)勾股定理可得bcbd，結(jié)合bcpd得出bc平面pbd，于是平面pbd平面pbc；（2）建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算平面abm和平面pbd的法向量，令法向量的夾

18、角的余弦值的絕對值等于，解方程得出的值,即可得解【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危? ,所以， 又因?yàn)楦鶕?jù)余弦定理得 所以，故. 又因?yàn)? ,且,平面，所以平面， 又因?yàn)槠矫鎝bc，所以（2）由（1）得平面平面, 設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié) ，因?yàn)?所以,又平面平面，平面平面，平面.如圖，以為原點(diǎn)分別以，和垂直平面的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則， 假設(shè)存在滿足要求，設(shè)，即，所以,易得平面的一個(gè)法向量為. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 由得，不妨取.因?yàn)槠矫媾c平面所成的銳二面角為，所以，解得，（不合題意舍去）.故存在點(diǎn)滿足條件，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及平面與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做22. 設(shè)橢圓的離心率，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為3.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）當(dāng)矩形的一組對邊斜率不存在時(shí)，可求出矩形的面