抽象函數(shù)的單調(diào)性專題

1、抽象函數(shù)的單調(diào)性專題突破一類：一次函數(shù)函數(shù)滿足：If(ab)f(a)f(b)kl或If(ab)西f(b)k例1、f(x)對任意x,yR都有：f(xy)f(x)f(y),當(dāng)x0時(shí)，f(x)0,又知f(1)2,求f(x)在x3,3上的值域。例2、f(x)對任意實(shí)數(shù)x與y都有f(x)f(y)f(xy)2,當(dāng)x0時(shí)，f(x)25(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(l),解不等式f(2a3)32【專練】：1、已知函數(shù)f(x)對任意x,yR有f(x)f(y)2f(xy),當(dāng)x0時(shí)，f(x)2,f(3)5,求不等式f(a22a2)3的解集。2、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x,yCR都有f

2、(xy)f(x)f(y),且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)<0對任意xCR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.類：對數(shù)函數(shù)I函數(shù)滿足：|f(agb)f(a)硒或f(b)f(a)f(b)例1、f(x)是定義在x>0的函數(shù),且f(xy)=f(x)+f(y);當(dāng)x>1時(shí)有f(x)<0;f(3)=-1.1.f(1)和f()的值；(2)證明f(x)在x>0上是減函數(shù)；(3)解不等式f(x)+f(2-x)<29例2、定義在(0,)上函數(shù)y f (x)對任意白正數(shù) a,b均有:f(a) f(a) bf (b),且當(dāng) x 1 時(shí)

3、，f (x) 0,(I)求f(1)的值；(II )判斷f(x)的單調(diào)性，x【專練】：1、定義在(0,)上的函數(shù)f(x)對任意的正實(shí)數(shù)x,y有f()f(x)y1f (x) 0. 求：(1) f(1)的值.(2) 若 f(6)1,解不等式 f (x 3) f(-) 2;xf(y)且當(dāng)0 x 1時(shí),2、函數(shù)f (x)的定義域是時(shí) f(x) 0,又f (2)- 2一f (2x1) 2x 0的一切實(shí)數(shù),1 ,(1)求證：對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有f(x1 x2)f(x1) f (x2),且當(dāng)xf(x)是偶函數(shù)；(2) f (x)在(0,)上是增函數(shù)(3)解不等式3、設(shè)f(x)是定義在(0,)上的函數(shù)

4、，對任意x,y (0,),滿足 f(xy) f(x) f(y)且當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) 0。(1)求證：f(x) yf(x)f(y);(2)若f(5)1,解不等式f(x1)f(2x)2.三類：指數(shù)函數(shù)型函數(shù)滿足：If(ab)f(a)gf(b)|或f(ab)fa)f(b)例1、定義在R上的函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x0時(shí)，f(x)1,且對任意x,yR,有f(xy)f(x)f(y),又知f(1)2.(1)求f(0)的值；(2)求證：對任意xR都有f(x)0；(3)解不等式f(3xx2)4；【專練】：1、定義在R上的函數(shù)yf(x)對任意的m,n都有f(mn)f(m)gf(n),且當(dāng)x0時(shí)，0f(x)1

5、,(I)證明：xR都有f(x)0；(II)求證：yf(x)在R上為減函數(shù)；(III)解不等式f(x)f(2x-x2)>1。2、若非零函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)a,b均有f(ab)f(a)f(b),且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；1o1(1)求證：f(x)0;(2)求證：f(x)為減函數(shù)(3)當(dāng)f(4)一時(shí)，解不等式f(x3)f(5x2);164四類：哥函數(shù)型函數(shù)滿足：If(agD)f(a)gf(b)|或f(a)f(a)bf(b)例1、已知函數(shù)f(x)滿足：對任意x,yR,都有f(xy)f(x)gf(y),f(1)1,f(27)9,且當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0,1。(I)判斷f(x)的奇偶性，(II)判斷

6、f(x)在0,上的單調(diào)性，并證明。(III)若a0,且f(a1)3/9,求a的取值范圍。五類：其他類數(shù)函數(shù)型例1、定義在1,1上的奇函數(shù)yf(x)有f(1)1,且當(dāng)m,n1,1時(shí)，總有：f(m)f(n)0,(mn),mn1 1.2(I)證明：f(x)在1,1上為增函數(shù)，(II)解不等式：f(x-)f(),(III)若f(x)t2at1對所有2 x11,1,a1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍例2、定義在()上的函數(shù)滿足，對任意都有時(shí)，有，(1)試判斷的奇偶性；(2)判斷的單調(diào)性;【專練】：1、已知定義在,1U(1,)上的奇函數(shù)滿足：f1;對任意的x2,均有f(x)0；對任意的x,yR,均有f(x

7、1)f(y1)f(xy1)；(1)試求f(2)的值；(2)求證：f(x)在(1,)上是單調(diào)遞增；(3)已知對任意的(0,),不等式_2f ( x) f ( y) +1f ( y) f ( x)f(cosasin)3恒成立，求a的取值氾圍，2、已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xWkn,kCZ,且對于定義域內(nèi)的任何x、y,有f(xy)成立，且f(a)=1(a為正常數(shù))，當(dāng)0<x<2a時(shí)，f(x)>0.(I)判斷f(x)奇偶性；(II)證明f(x)為周期函數(shù)；(III)求£(*)在22,3a上的最小值和最大值.3、已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)1,若任意的a、b1,1,總有(ab)