【KS5U解析】四川省廣安遂寧資陽等七市2020屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合,集合中的元素都是正整數(shù),再根據(jù)集合的交集的概念進(jìn)行運(yùn)算即可,【詳解】因?yàn)?所以.故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及

2、共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.3.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，然后即可知的值，利用誘導(dǎo)公式即可求解出的值.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)值計(jì)算以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，難度較易.角(非軸線角)的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則.4.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意得以及,消去,結(jié)合離心率的定義可得答案.【詳解】依題意可知,即,又,所以該橢圓的離心率.故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率,

3、關(guān)鍵是由得到,屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的圖象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)值恒大于0,排除,根據(jù)函數(shù)不是偶函數(shù),排除,根據(jù)趨近于正無窮時(shí),函數(shù)值趨近于0,排除,故選:.【詳解】因?yàn)?所以不正確;函數(shù)不是偶函數(shù),圖象不關(guān)于軸對稱,所以不正確;當(dāng)時(shí), 當(dāng)趨近于正無窮時(shí),和都趨近于正無窮,但是增大的速度大于增大的速度,所以趨近于0,故不正確.故選:b【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)性質(zhì)識別函數(shù)的圖象,考查了偶函數(shù)圖象的對稱性,考查了極限思想,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除選項(xiàng)是解題關(guān)鍵.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值分別為，輸出的值分別為，則（ ）a. b. c. d. 【

4、答案】c【解析】【分析】根據(jù)程序框圖得到,再相加即可得到答案.【詳解】由程序框圖可知:程序框圖的功能是計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),所以,所以.故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了利用程序框圖計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值,搞清楚程序框圖的功能是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，已知中，為的中點(diǎn)，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算將用表示，由此即可得到的值，從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以?故.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及數(shù)乘運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，難度一般.向量在幾何中的應(yīng)用可通過基底的表示形式進(jìn)行分析.8.圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）a.

5、1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)【答案】c【解析】【分析】通過計(jì)算可知:圓心到直線的距離等于圓的半徑的一半,由此可得結(jié)論.【詳解】圓可化為,所以圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為:,所以,所以圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有3個(gè).故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了由圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.9.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬

6、于種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形若在圖中隨機(jī)選取點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】根據(jù)圖,歸納得出陰影部分的面積與大三角形的面積之比,再用幾何概型的概率公式可得答案.【詳解】依題意可得:圖中陰影部分的面積等于大三角形的面積,圖中陰影部分的面積是大三角形面積的,圖中陰影部分的面積是大三角形面積的,歸納可得,圖中陰影部分的面積是大三角形面積的,所以根據(jù)幾何概型的概率公式可得在圖中隨機(jī)選取點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.故選:

7、c【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理,考查了幾何概型的概率公式,屬于基礎(chǔ)題.10.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：若，則；的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；函數(shù)在上單調(diào)遞增；的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)對稱中心進(jìn)行分析；根據(jù)對稱中心對應(yīng)的函數(shù)值特征進(jìn)行分析；根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行分析；利用函數(shù)圖象的平移進(jìn)行分析，注意誘導(dǎo)公式的運(yùn)用.【詳解】由知，是圖象的兩個(gè)對稱中心，則是的整數(shù)倍（是函數(shù)的最小正周期），即，所以結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是的對稱中心，所以結(jié)論正確；由解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以結(jié)論錯(cuò)誤；的

8、圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，所以結(jié)論正確.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度一般.(1)的對稱中心對應(yīng)的函數(shù)值為，對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值為；(2)分析的單調(diào)性，可令滿足的單調(diào)區(qū)間，從而可求的單調(diào)區(qū)間.11.四面體的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該四面體外接球的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】計(jì)算出線段長度，分析出四面體的形狀，從而可確定出外接球的球心，根據(jù)球心求解出球的半徑即可求解出外接球的體積.【詳解】由題意知，所以，所以，所以該四面體側(cè)棱底面，且底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱，所以底面正三角形的外接圓半徑

9、為，球心必在過中點(diǎn)且平行于底面的平面上，所以球半徑，所以球的體積為.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的外接球體積計(jì)算，難度一般.求解空間幾何體的外接球的問題，首先要確定出球心所在的位置，然后根據(jù)線段長度求解出外接球的半徑，最后即可求解出球的體積或表面積.12.已知直線與曲線相切，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)切點(diǎn)處切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值、切點(diǎn)處直線對應(yīng)的函數(shù)值等于曲線對應(yīng)的函數(shù)值，得到關(guān)于等式，由此將表示成關(guān)于的函數(shù)形式，構(gòu)造新函數(shù)分析的最大值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則由得，又由，得，則，有，令，則，故當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)取得極大值也即最大值.故選：c.【點(diǎn)睛】

10、本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及構(gòu)造函數(shù)求解最值，難度較難.(1)分析導(dǎo)數(shù)的切線問題，注意兩個(gè)點(diǎn)：切線的斜率等于切點(diǎn)處曲線的導(dǎo)數(shù)值、切線對應(yīng)的值等于曲線對應(yīng)的函數(shù)值；(2)構(gòu)造函數(shù)求解最值時(shí)，注意分析新函數(shù)的單調(diào)性以及定義域，然后分析最值即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓柱的底面半徑為2，高為3，垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形（如圖）.若底面圓的弦所對的圓心角為，則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為_.【答案】【解析】【分析】據(jù)題意：較大部分的底面積可以看成是一個(gè)三角形加上圓的，且兩部分柱體同高，因此可求解出較大部分的底面積，然后直接柱體體積公式求解即可.【

11、詳解】因?yàn)橄宜鶎Φ膱A心角為，所以圓柱截掉后剩余部分的底面面積為，所以剩余部分的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查柱體體積的計(jì)算，難度較易.對于被切割的幾何體體積或者表面積的計(jì)算，注意借助未切割之前幾何體的幾何特征去分析.14.某項(xiàng)羽毛球單打比賽規(guī)則是3局2勝制，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)人了男子羽毛球單打決賽，假設(shè)甲每局獲勝的概率為，則由此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為_.【答案】【解析】【分析】分析甲獲勝的方式：(1)前兩局甲都獲勝；(2)前兩局甲獲勝一局，第三局甲獲勝，由此計(jì)算出甲獲得冠軍的概率.【詳解】因?yàn)榧撰@勝的方式有和兩種，所以甲獲得冠軍的概率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率計(jì)算，對問題分

12、析的能力要求較高，難度一般.若事件互相獨(dú)立，則.15.已知函數(shù)，則滿足不等式的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先用偶函數(shù)的定義得函數(shù)為偶函數(shù),可得,再利用時(shí),函數(shù)為增函數(shù),可將不等式化為,從而可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以,所以 為偶函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以等價(jià)于,所以,所以,故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,利用將不等式化為是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16.某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天費(fèi)用320元，乙型車

13、每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過合理調(diào)配車輛運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為_元.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出關(guān)于車輛數(shù)的未知數(shù)，得到對應(yīng)的不等式組，由此作出可行域，利用平移直線法分析運(yùn)送費(fèi)用的最小值.【詳解】設(shè)安排甲型車輛，乙型車輛，由題意有即，目標(biāo)函數(shù)，作出不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)樗狞c(diǎn)，圍成的梯形及其內(nèi)部，如下圖所示：包含整點(diǎn)有，.作直線并平移，分析可得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)最小，即（元）.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，難度一般.計(jì)算線性目標(biāo)函數(shù)的最值，采用平移直線法，將目標(biāo)函數(shù)的最值與直線的斜率聯(lián)系在一起，從而利用可行域解決問題.三、解答題：共70

14、分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且4，成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)4，成等差數(shù)列,可得,再利用可得,從而可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由可得,再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意有,當(dāng)時(shí)，所以,當(dāng)時(shí)，兩式相減得，整理得，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由，所以，所以

15、數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查了用和的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,屬于中檔題.18.在中，角，所對的邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理完成邊化角，然后根據(jù)得出對應(yīng)的等式，從而計(jì)算出的值；(2)根據(jù)正弦定理，將表示為的形式，然后根據(jù)的結(jié)果將表示為關(guān)于的三角函數(shù)，根據(jù)的范圍求解出的最大值即可.另解：根據(jù)余弦定理以及基本不等式求解出的最大值，注意取等號的條件.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理有：.所以，所以.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以

16、，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以.（2）由，根據(jù)正弦定理有：，所以，.所以.當(dāng)時(shí)，等號成立.所以的最大值為.另解：（2）由，根據(jù)余弦定理有：，即.因?yàn)?，所?即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的綜合問題，難度一般.(1)解三角形時(shí)注意隱含條件的使用；(2)利用正弦定理求解邊之和的最值，主要利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行計(jì)算；利用余弦定理計(jì)算邊之和的最值，主要利用余弦定理以及基本不等式進(jìn)行計(jì)算.19.已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和溫度（）的7組觀測數(shù)據(jù)，其散點(diǎn)圖如所示：根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度可用方程來擬合

17、，令，結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回歸方程來擬合根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：2774182表中，（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數(shù)結(jié)果精確到）；（2）求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程；若該地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)的氣溫在之間（包括與），估計(jì)該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.（參考數(shù)據(jù)：，）附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】(1)根據(jù)公式計(jì)算出和,可得;(2)根據(jù)可得,再根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)榕c溫度可以用線性回歸方程來擬合，設(shè)，所以，故關(guān)于的線性回歸方程為（2）由（1）可得，于是產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程為,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)

18、，；因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，氣溫在之間時(shí)，一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的估計(jì)范圍是內(nèi)的正整數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了求線性回歸方程,考查了利用線性回歸方程對變量進(jìn)行分析,屬于中檔題.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點(diǎn)，若為線段上的動點(diǎn)（不含）.（1）平面與平面是否互相垂直？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（2）求二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）平面平面，理由見解析；（2）【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明平面，根據(jù)線面關(guān)系即可證明平面與平面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面與平面法向量的夾角的余弦的取值范圍，計(jì)算出二面角的余弦值的取值范圍.【詳解】（

19、1）因?yàn)?，為線段的中點(diǎn).所以.因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由題意，以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，令，則，（其中）.易知平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，由即令，則是平面的一個(gè)法向量.，由，所以，所以.故若為線段上的動點(diǎn)（不含），二面角的余弦值的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的面面垂直關(guān)系的證明以及二面角余弦值的取值范圍.(1)面面垂直的證明可通過線面垂直的證明來完成；(2)利用空間向量計(jì)算二面角的余弦值時(shí)，可根據(jù)平面法向量的夾角余弦值以及幾何圖形中面與面夾角是鈍角還是銳角，確定出

20、二面角的余弦值大小.21.已知函數(shù).（1）若為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)得，因?yàn)闉閱握{(diào)函數(shù)，故或恒成立，（2）因?yàn)椋?是的一個(gè)零點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，所以僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，令得，由（1）可知，在上為單調(diào)遞增，且，故存在唯一的，使得成立，即，故最小值點(diǎn)就是零點(diǎn)【詳解】解：（1）由，得，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由于，于是只需對于恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)，所以. 當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以，為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，的取值范圍是.（2）因?yàn)?，所以是的一個(gè)零點(diǎn).由（1）知，當(dāng)時(shí)，為的增函數(shù)，此時(shí)關(guān)于的方程僅一解，即函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn)，滿足條件.當(dāng)時(shí)，由得，（）當(dāng)時(shí)，則，令，易知為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，即，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，為增函數(shù)，所以在上恒成立，且僅當(dāng)，于是函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn).所以滿足條件.（）當(dāng)時(shí)，由于在為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，.則存在，使得，即使得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，且當(dāng)時(shí)，.于是當(dāng)時(shí)存在的另一解，不符合題意，舍去.（）當(dāng)時(shí)，則在為增函數(shù)，又，所以存在，使得，也就使得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，且當(dāng)時(shí)，.于是在時(shí)存在的另一解，不符合題意，舍