數(shù)論余數(shù)問題優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)完美版

1、教案教師:王鑫學(xué)生：劉競(jìng)琰上課時(shí)間：學(xué)生簽字：Sc數(shù)論（五）余數(shù)問題【知識(shí)點(diǎn)概述】一、帶余除法的定義及性質(zhì)：1. 帶余除法的定義：一般地，如果 a 是整數(shù)，b 是整數(shù)（0）,若有a* b=q, r，也就是 a= bxq+ r, 0 ? rvb;當(dāng)r =0時(shí)：我們稱 a 可以被 b 整除，q 稱為 a 除以 b 的商或完全商當(dāng)r =0時(shí)：我們稱 a 不可以被 b 整除，q 稱為 a 除以 b 的商或不完全商2. 和余數(shù)相關(guān)的一些重要性質(zhì)：（以下 a,b,c 均為自然數(shù)）性質(zhì) 1:余數(shù)小于除數(shù)性質(zhì) 2：被除數(shù)二除數(shù)商余數(shù)除數(shù)（被除數(shù)-余數(shù)）“商商（被除數(shù)-余數(shù)）“除數(shù)性質(zhì) 3：a 與 b 的和除以

2、 c 的余數(shù)，等于 a,b 分別除以 c 的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以 c 的余數(shù)。例如：23，16 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余數(shù)等 于 4,即前兩個(gè)余數(shù)的和 3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c 的余數(shù)。例如：23，19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4,所以 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等 于 3+4=7除以 5 的余數(shù)，即 2.性質(zhì) 4： a 與 b 的乘積除以 c 的余數(shù)，等于 a,b 分別除以 c 的余數(shù)的積，或者這個(gè)積 除以 c所得的余數(shù)。例如：23, 16 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 1,所以（23

3、16）除以 5 的余數(shù)等于3 1 =3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c 的余數(shù)例如：23, 19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4,所以(23 19)除以 5 的余數(shù)等于3 4=12除以5 的余數(shù)，即 2.【注】對(duì)于上述性質(zhì) 3, 4,我們都可以推廣到多個(gè)自然數(shù)的情形，尤其是性質(zhì)4,對(duì)于我們求一個(gè)數(shù)的 n 次方除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)非常的有用。二、數(shù)的同余1.同余定義若兩個(gè)整數(shù) a、b 被自然數(shù) m 除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b 對(duì)于模 m 同余，用式子表示為： a= b ( mod m )同余式讀作：a 同余于 b,模 m由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：若

4、兩個(gè)數(shù) a, b 除以同一個(gè)數(shù) m 得到的余數(shù)相同，則 a, b 的差一定能被 m 整除 用式子表示為：如果有 a= b ( mod m ),那么一定有 a b= mk,k 是整數(shù)，即 m|(a b)這個(gè)性質(zhì)非常重要，是將同余問題與前面學(xué)過的整除問題相聯(lián)系的紐帶，一定要熟練掌握。例如：(1)15三365(mod7)，因?yàn)?65-15 =350 =7 50(2)56三20(mod9)，因?yàn)?6 -20 =36=9 4(3)90三0(mod10)，因?yàn)?0-0=90=9 10由上面的 式我們可以得到啟發(fā)， a 可被 m 整除， 可用同余式表示為a二0(mod m)例如，我們表示 a 是一個(gè)偶數(shù)，可

5、以寫為a三2(mod2),表示 b 為一個(gè)奇數(shù)，可以寫為b三1(mod2)我們?cè)跁鴮懲嗍降臅r(shí)候，總會(huì)想起我們最熟悉的等式，但是兩者又不是完全相同, 在某些性質(zhì)上相似。2.同余式的性質(zhì)(其中 a、b、c、d 是整數(shù)，而 m 是自然數(shù)。)性質(zhì) 1: a= a (mod m(反身性)性質(zhì) 2：若 a= b ( mod m ),那么 b= a ( mod m )(對(duì)稱性)性質(zhì) 3:若 a= b ( mod m ) , b = c( mod m )，那么 a= c ( mod m ) (傳遞性) 性質(zhì) 4： a= b( mod m ),c = d ( mod m ),那么 ac= b d ( mod

6、m ) (可加減性) 性質(zhì) 5:若 a= b ( mod m ), c= d ( mod m ),那么 ac= bd ( mod m ) (可乘性)性質(zhì) 6:若 a= b ( mod m )，那么 an= bn(mod m),(其中 n 為自然數(shù))性質(zhì) 7：若 ac= be ( mod m ) , (c, m) = 1,那么 a= b ( mod m )三.棄九法在公元前 9 世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失 而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234 1898

7、18922 678967178902 =8899231234 除以 9 的余數(shù)為 11898 除以 9 的余數(shù)為 818922 除以 9 的余數(shù)為 4678967 除以 9 的余數(shù)為 7178902 除以 9 的余數(shù)為 0這些余數(shù)的和除以 9 的余數(shù)為 2而等式右邊和除以 9 的余數(shù)為 3,那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法性質(zhì)，即如果這個(gè)等 式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以 9 的余數(shù)的和再除以 9 的余數(shù)一定與等式右邊 和除以 9 的余數(shù)相同。而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以 9 所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算， 只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)

8、字之和除以 9 的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就 是一個(gè) 9 一個(gè) 9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。原理：任何一個(gè)整數(shù)模 9 同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個(gè)整數(shù)被 9 除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和， 再求這個(gè)和被 9 除的余數(shù)即可。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加、相減，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相 除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用注意：棄九法只能知道原題錯(cuò)誤或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗(yàn)算式5 6 7 853時(shí)，5 除以 9 的余數(shù)為 5, 6 除以 9 的余數(shù)為 6, 7 除以 9 的余數(shù)為 7, 8 除以 9 的余 數(shù)為 8, 9除以

9、9 的余數(shù)為 0,余數(shù)的和為 26，除以 9 的余數(shù)為 8,等式右邊的和 53 除以 9 的余數(shù)也為 8,雖然余數(shù)相同，但是很容易發(fā)現(xiàn)5 6 7 8 35,所以棄 九法只能告訴我們算式“一定是錯(cuò)的”或者“有可能是對(duì)的”。但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2 兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。四、中國(guó)剩余定理1. 中國(guó)古代趣題：中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之， 剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三。”此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為

10、中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信 答說，每 3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人,，。劉邦茫 然而不知其數(shù)。我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人 一列都剩 3 人，則兵有多少？首先我們先求 5、9、13、17 之最小公倍數(shù) 9945（注：因?yàn)?5、9、13、17 為兩兩互質(zhì) 的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加 3,得 9948 （人）。孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉 朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)

11、現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè) 問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（Ch in ese Remai nderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法：對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下 面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問 物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以 3, 5, 7 后，得到三個(gè)余數(shù)分別為 2，3, 2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3 余 1,并且還是 5 和 7的公倍數(shù)。先由5 7 =35 ,即 5 和

12、 7 的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看 35 除以 3 余 2,不符合要求， 那么就繼續(xù)看 5 和 7 的“下一個(gè)”倍數(shù)35 2 =70是否可以，很顯然 70 除以 3 余 1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以 5 余 1,同時(shí)又是 3 和 7 的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然 21 可以符合要求。最后再構(gòu)造除以 7 余 1,同時(shí)又是 3, 5 公倍數(shù)的數(shù)字，45 符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：2 70 3 21 2 45_k3,5,7 = 233 - k3,5,7，其中 k 是從 1 開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制, 那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問題

13、加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算2 70 3 212 45一2 3,5,7 =23得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”，我們只要對(duì)最小的 23 加上3,5,7即可，即 23+105=128.【習(xí)題精講】【例1】（難度級(jí)別丿一個(gè)兩位數(shù)除 310,余數(shù)是 37,求這樣的兩位數(shù)?！纠?】（難度級(jí)別丿有一個(gè)整數(shù)，除 39, 51，147 所得的余數(shù)都是 3,求這個(gè)數(shù)【例3】（難度級(jí)別丿求 478X296X351 除以 17 的余數(shù)?！纠?】（難度級(jí)別探）求64431219的余數(shù)【例5】（難度級(jí)別丿用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為 40,余數(shù)是 16.被除

14、數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的 和是 933,求這 2 個(gè)自然數(shù)各是多少？【例6】（難度級(jí)別丿用棄九法檢驗(yàn)乘法算式 5483X9117= 49888511 是否正確【例7】（難度級(jí)別丿已知 2008 被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是 10,那么這樣的自然數(shù)共有多少個(gè)?【例8（難度級(jí)別丿號(hào)碼分別為 101,126,173,193 的 4 個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù)是 他們號(hào)碼的和被 3 除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤？【例9】（難度級(jí)別探）一個(gè)小于 200 的自然數(shù)，被 7 除余 2,被 8 除余 3,被 9 除余 1,這個(gè)數(shù)是多少?【例10】（難度級(jí)別丿一堆糖果，如果

15、每 2 塊分一堆剩 1 個(gè)，每 3 塊分一堆剩 1 個(gè)，.每 10 個(gè)分一堆也剩 1 個(gè), 且這堆糖果的個(gè)數(shù)在 99-5000 之間，求這堆糖果的個(gè)數(shù)？【例11】（難度級(jí)別丿求自然數(shù)2100- 3101- 4102的個(gè)位數(shù)字【例12】（難度級(jí)別丿自然數(shù) 2 2 2 . 2 -1 的個(gè)位數(shù)字是多少？67 個(gè) 2【例13】（難度級(jí)別丿若有一數(shù)介于 300 與 400 之間，以 3 除剩 1,以 8 除剩 5,以 11 除剩 4。問此數(shù)為何?【例14】（難度級(jí)別丿有一個(gè)自然數(shù),用它分別去除 63,90,130 都有余數(shù),3 個(gè)余數(shù)的和是 25.這 3 個(gè)余數(shù)中最 大的一個(gè)是多少？【例15】（難度級(jí)別

16、探）一個(gè)數(shù)去除 551,745,1133,1327 這 4 個(gè)數(shù),余數(shù)都相同問這個(gè)數(shù)最大可能是多少？【例16】（難度級(jí)別丿將 1,2,3，, ,30 從左往右依次排列成一個(gè) 51 位數(shù),這個(gè)數(shù)被 11 除的余數(shù)是多少？【例17】（難度級(jí)別丿已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們都小于 2002,其中最小的一個(gè)自然數(shù)能被 13 整除，中間的一個(gè)自然數(shù)能被 15 整除，最大的一個(gè)自然數(shù)能被 17 整除。那么，最小的一個(gè)自然數(shù)是多少？【例18】（難度級(jí)別丿已知 n “9191919.1919，求 n 被 9 整除后所得的商的個(gè)位數(shù)字是幾?1919 個(gè) 1919【例19】（難度級(jí)別丿對(duì)于任意 7 個(gè)不同的整數(shù)，證明：其中一定存在 2 個(gè)數(shù)的和或差是 10 的倍數(shù)【例20】（難度級(jí)別丿有 2 個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)， 積的后四位是 1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和 是10,第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是 8,求兩個(gè)三位數(shù)的和【作業(yè)】1、求 199 纟000十 7 的余數(shù)2、被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是 2143,已知商是 33,余數(shù)是 52,求被除數(shù)和除數(shù)。（四中小升初選拔試題）3、用棄九法檢驗(yàn)算式運(yùn)算是否正確：1144192613- 28997= 394594、有一個(gè)大于 1 的整數(shù)，除 45, 59