幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點和復(fù)

1、幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點和復(fù)習(xí)策略初中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上分為幾何和代數(shù)(以下簡稱“幾代”)兩部分，于是幾、代的有機結(jié)合也就成為初中數(shù)學(xué)的一個落腳點，因此幾代相結(jié)合的綜合題型 也就理所當(dāng)然成為中考的重點、難點與焦點。幾代相結(jié)合的綜合題常以“起 點低、入口寬、步步高”的特點呈現(xiàn)，并以“思想方法立意”和“能力立意” 為創(chuàng)新點。從某一角度上講可分為“幾何背景代數(shù)解法”和“代數(shù)背景幾何 解法”兩大類。下面就談?wù)剮状嘟Y(jié)合的綜合題型的復(fù)習(xí)要點和復(fù)習(xí)策略：、幾代綜合題的復(fù)習(xí)要點1、基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)仍是幾代綜合題復(fù)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，否則幾代綜合題的復(fù)習(xí)就成 為無本之木，無源之水幾代綜合題是基于幾何、 代數(shù)基本

2、知識之上， 它的解法其實就是對各基 礎(chǔ)知識的綜合、靈活的運用，因此全面復(fù)習(xí)好幾何與代數(shù)基礎(chǔ)知識，對于幾 代綜合題的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。其包含的基礎(chǔ)知識主要有：代數(shù)基礎(chǔ)知識：數(shù)的運算、式的變形、方程、不等式的解法、函數(shù)的圖 象與性質(zhì)。幾何基礎(chǔ)知識：幾何變換、平行四邊形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性 質(zhì)與判定(含全等三角形)、勾股定理與三角函數(shù)、圓中的位置關(guān)系及其判 疋【例1】已知，在RtOAB中，/OAB=90，/BOA=30，AB=2.若以O(shè)為坐標原點，0A所在直線為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)將RtOAB沿0B折疊后，點A落在點C處.(1) 直接寫出A的坐標；(2) 若拋物

3、線y ax2bx(a 0)經(jīng)過C求此拋物線的解析式；(3) 若 中拋物線的對稱軸與0B交于點DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點 在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐 標；若不存在，請說明理由.簡析：(1)利用特殊三角形的性質(zhì)直接寫出A的坐標是解直角三角形的最基 本的知識。(2)通過解直角三角形求點C的坐標，并利用待定系數(shù)法求解析式是 確定解析式的基本方法。(3)在作好圖形的基礎(chǔ)上，探索要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CM=DP從而轉(zhuǎn)化為方程問題并求解，這也是對于等腰梯形判定的最低要求。由此可見，基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)是解題的基礎(chǔ)，實不可忽視。2、數(shù)學(xué)思想方

4、法及其靈活運用永遠是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容，也是幾代綜合題解法的D,點P為M.問:A兩點,B是否存iA%關(guān)鍵所在對于初中階段常見的數(shù)學(xué)思想、方法應(yīng)熟練地掌握，并靈活地運用。如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、運動變化、方程、不等式、函數(shù)、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù) 學(xué)思想；待定系數(shù)法、面積法、配方法、圖象法、公式法、反證法等數(shù)學(xué)方 法?！纠?】如圖2，已知直線11:y-x8與直線I2: y 2x 16相交于點33c,Il、I-分別交x軸于A B兩點.矩形DEFG勺頂點D E分別在直線h、I-上,頂點F、G都在x軸上，且點G與點B重合.(1) 求點B、點D的坐標；(2) 求厶ABC的面積；(3) 若矩形DEFG從原點出發(fā)，沿

5、x軸的反方向以每秒1長度的速度平移，設(shè)移動時間為t(0t12)秒，矩形DABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，： 相應(yīng)的t的取值范圍.“簡析：(1) (2)略(3)解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合運動變化思想，通過分類討論、把問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)0t 3時，(如圖2)、當(dāng)3 t 8時，(如圖2)、 當(dāng)8 t 12時，(如圖2)等三種情況并加于解決，其中還用到了方程 思想、圖象法等數(shù)學(xué)思想方法?！纠?】如圖3,等腰梯形花圃ABCD勺底邊AD靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長為x米(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表 示)；(2) 若/BAD=60 ,該花圃的面積為

6、S米2.求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量x的取值范圍)，并求當(dāng)S=93、3時x的值；如果墻長為24米，試問S有最大值還是最小值？這個值是多少？簡 析:(1)布列代數(shù)式：BC=40-AB-CD(40-2x)yj所以數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂3、應(yīng)體現(xiàn)列代占八、 對于初 的技巧(特法 關(guān)問題。是幾代綜合題解題的靈魂_ /一 . 一一 準確、迅速利用通法和必要，熟練掌握、靈活運用性質(zhì)解決有y*與段常見礎(chǔ)，方程是核與程和函數(shù)應(yīng)亡數(shù)式心)數(shù)是紐帶，不不等式O發(fā)揮著重要作用的觀Ana圖3(2)利用幾何計算求出解析式和自變量的取值范圍:S=2(40-2x+40-x)3X=-X(80-3X)= 3x220

7、,3(0vxv20)，同時轉(zhuǎn)化2244為方程3,3x220、3 93、3并求解。4在利用不等式求取值范圍的前提下，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值所以，復(fù)習(xí)時要特別注意代數(shù)的各部分知識間的相互聯(lián)系，互相補充，形成系統(tǒng), 才能更好的解決幾代綜合題。4、應(yīng)熟練掌握幾何計算的方法與途徑幾何的計算從廣義上講大都可以轉(zhuǎn)化為線段的計算，因此幾何計算是順 利解決幾代綜合題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，應(yīng)充分關(guān)注：利用勾股定理布列方程計算、 利用三角函數(shù)布列方程計算、利用相似三角形的方程計算、利用坐標的幾何 意義進行計算、利用面積法進行計算等重要而常見的幾何計算方法與途徑， 從而為幾代綜合題的解題提供保障?！纠?】如圖4，在平面

8、直角坐標系中，直線I:y 2x b與x軸交于 點A(4，0)，4與y軸交于點B.(1)填空：b _；(2)已知點P是y軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作1若PA=PB試判斷。P與直線1的位置關(guān)系，并說明理由*2當(dāng)。P與直線I相切時，求點P與原點O間的距離.簡析：(1)b 8；(2) 在RtAOP中，利用勾股定理布列方程并求出 圓心到直線的距離OP并通過d與r的關(guān)系判定。P與x軸相切.(3)分“當(dāng)點P在點B下方時”和“和當(dāng)點P在點B上方時”，兩種情況(如圖4)：既可由厶BMP1BOA得MP_匹，也可在Rt OAB和Rt MP1B中，由OA AB由此可見，幾何計算在幾代綜合題中占著重要的地位和

9、作用tan ABOMP1BP1金列方程，并解得BP13J5，并求得OP，同理求OP2圖5、應(yīng)關(guān)注幾何變換在解題中的應(yīng)用新課程把“幾何變換”的問題作為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容來研究，凸顯了 它的意義和作用。平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是生活中常見的活動，而平移、對稱、 旋轉(zhuǎn)又是幾何的重要組成部分，因為平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等幾何變換既能充分 體現(xiàn)合情推理和演繹推理的有機結(jié)合，又能與代數(shù)充分結(jié)合在一起，因而以 幾何變換為背景的幾代綜合題也成了綜合題的一個亮點?！纠?】如圖5，在6X12的方格紙MNEF中，每個小正方形的邊長 都是1。RtABC的頂點C與N重合，兩直角邊AG BC分別在MN NE上， 且AC=3 BC=2現(xiàn)

10、RtABC以每秒1個單位長的速度向右平移，當(dāng)點B移動 至點E時，RtABC亭止移動。(1) 請在圖5中，畫出RtABC向右平移4秒時所在的圖形；(2) 如圖5，在RtABC向右平移的過程中，ABF能否成為直角 三角形？如果能，請求出相應(yīng)的時間t;如果不能，請簡要說明理由；(3)如圖5，在RtABC向右平移的過程中(不包括平移的開始與 結(jié)束時刻)，其外接圓與直線AF、直線BF分別有哪幾種位置關(guān)系？請直接寫即：(.13)2(10 t)26232(12 t)2并解得t=1(ii)當(dāng)AB2AF2BF2時，由勾股定理的逆定理得，/BAF=90q即厶ABF為Rto即：( (用用)232(12 t)2(10

11、 t)262, ,解得t= =(3)關(guān)注幾何變換，動靜結(jié)合，把握臨界位置，顯然有：當(dāng)t二二時，直線AF與RtABC的外接圓相切；當(dāng)0t或t10時，直線AF與RtABC勺外接圓相交。當(dāng)t=1時，直線BF與RtABC勺外接圓相切；當(dāng)0t1或1t10時，直線BF與RtABC的外接圓相交。所以，在解以幾何變換為背景的幾代綜合題時要本著“動中有靜”，“靜 中有動”的思想，特別關(guān)注幾何變換前后的位置變化和“變與不變量”，在畫好圖形的基礎(chǔ)上解決問題。&關(guān)注幾代綜合題與生活實際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活而又應(yīng)用于生活的新課 程理念幾何與代數(shù)都是來源于生活，幾代結(jié)合也必更有利于生活中實際問題的 解決。在幾代綜合

12、題的復(fù)習(xí)時，要更加關(guān)注生活背景，通過數(shù)學(xué)建模，從生 活到數(shù)學(xué)，再通過問題解決使數(shù)學(xué)回歸生活?！纠?】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖6所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形，其中AE=2米，BG=1米；上部CD（是等邊三角形，固定點E為AB的中點.EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通 風(fēng)）,MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行 的伸縮橫桿.（1）當(dāng)MN和AB之間的距離為0.5米時， 求此時厶EMN的面積；C（2）設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將EMN勺面圖6-積S（平方米）表示成關(guān)于x的函數(shù);（3）請你探究厶EMN勺面積S（平方米）有

13、無最大值，若有，請求出這個最大值；若沒有，請說明理由.簡析:（1）從生活中抽象出幾何圖形，并計算出面積（2）在分類討論的基礎(chǔ)上，抽象出圖6（0vx1）和圖6（1vxV13）兩個圖形并利用幾何知識求得:NH,FC D數(shù)學(xué)問題的解決也必將促使生活（3）把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問;題并求解 數(shù)學(xué)建模是生活走向數(shù)學(xué)的必由之路，問題的解決。從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用價值。幾代結(jié)合是角圖決生活問題的重要方 法之一，在總復(fù)習(xí)時應(yīng)充分關(guān)注。7、應(yīng)關(guān)注問題解決的全過程與綜合解題能力的提升新課程要求重視學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究過程，并在過程中獲取知識，提 升能力。幾代綜合題的復(fù)習(xí)更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的解題全過程和學(xué)生綜合

14、能力的提 升。包括：獲取信息、分析信息的能力、實踐操作能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù) 學(xué)思考和問題解決能力等等?！纠?】如圖（7）,四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（6,0）,（0,2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線1y1x m交折線OAB于點E.x1亠C若直線y -X m經(jīng)過點A，請直接寫出m的值；2 記ODE的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；丄當(dāng)點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部 分的面積是否會隨著E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積; 若改變，請

15、說明理由.簡析：(1)(2)Y(1)m 3；(2) 學(xué)生必需充分獲取信息、在系統(tǒng)整理、有效分析信息的基礎(chǔ)上, 進行把問題分為：“點E在OA上時，2 m3(如圖7)”和(3) 連結(jié)BC交直線AD于點M在直線AD上，是否存在這樣的 點N(不與點M重合)，使得以AB、N為頂點的三角形與ABMf似？ 若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.簡析：對于本題的解決必需對于常見題型：存在性問題、位置關(guān)系判定 等了然于胸，才能水到渠成。二、幾代綜合題的復(fù)習(xí)策略1、樹立信心、迎難而上，不要望而生畏，自我放棄。2、要注重規(guī)范解題，步步為營，穩(wěn)扎穩(wěn)打。如先看清題意，再畫好圖形， 進而尋求突破途徑。3、注重閱

16、讀理解等獲取信息的方法，在信息的獲取中尋求解題的突破口。 要十分關(guān)注“加括號的說明”和“加著重號的標注”，它們往往就是解題的 突破口。4、 幾何綜合題的復(fù)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷 “做-聽-改-反思-頓悟” 幾個環(huán) 節(jié)。做題要求精、求透、不求多、求全，要求以點帶面，不求面面俱到，要 嚴禁“題題都做(全而不對)、題題都未做完(對而不全)”、“只聽不做”、“只 做不聽”、“只做不改”等不良現(xiàn)象的出現(xiàn)，以提升復(fù)習(xí)實效。5、應(yīng)力求在運算的熟練程度、思想方法的應(yīng)用和綜合能力的提升上有所 突破，這三者都是解幾代綜合題的關(guān)鍵。6、 注重在系統(tǒng)的高度上復(fù)習(xí)幾代綜合題的解法， 不為復(fù)習(xí)幾代綜合題而 復(fù)習(xí)幾代綜合題，而是整

17、體推進，系統(tǒng)提高。如與中檔題相結(jié)合，復(fù)習(xí)效果 可能更佳，從而達到系統(tǒng)地復(fù)習(xí)與均衡地提升的目的。“點E在BA上時，3VmV5(如圖7)”兩種情況加于解決。(3)學(xué)生應(yīng)具有所必需的作圖、識圖能力，其中作好圖形是關(guān)鍵，然后將探索問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的計算問題。所以要培養(yǎng)學(xué)生最基本的獲取信息的方法、 識圖、作圖能力、分析問題、 解決問題的能力，這是幾代綜合題復(fù)習(xí)的一個重點，也是一個難點，同時也 達到學(xué)生綜合解題能力的提升的目的。8、應(yīng)熟練掌握常見題型的基本解法，達到知己知彼對于常見題型要做到心中有底，腦中有方向、胸中有思路、手上有方法。 如最值的求法、面積與周長的處理方法、圓的各種關(guān)系的判定方法，存在性 問題，操作探索型問題等等。F【例8】如圖8,已知拋物線y ax2bx c與x軸交于 /A、B兩點，與y軸交于點C, D為0C的中點，直線AD交拋！于點E(2,6)，且厶ABE-與ABC的面積之比為