專題--數(shù)列求和的基本方法和技巧(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列求和的基本方法與技巧一、利用常用求和公式求和： 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*，求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時(shí)，二、錯(cuò)位相減法求和：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和

2、等比數(shù)列。例 設(shè)數(shù)列滿足 ，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解：（）由已知，當(dāng)n1時(shí)，。 而 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（）由知 從而 -得 。即 例3 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè). （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和。解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)。例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來(lái)得

3、（反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 . （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。形如：,其中 例 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：=例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和。解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的

4、具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.適用于類似（其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，以及部分無(wú)理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）(8) 例 已知等差數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為（）求及；（）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋杂?，解得，所以?。（）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。 例9 求數(shù)

5、列的前n項(xiàng)和。解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例11 求證：解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 原等式成立 六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°

6、+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的