高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限課件

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限1第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、概念的引入一、概念的引入二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題1機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限2單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察1. .【割圓術(shù)割圓術(shù)】觀察完畢觀察完畢“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽【引例引例

2、】一、概念的引入機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限3R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限42. .【截丈問題截丈問題】“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”公元前公元前300300年左右，中國年左右，中國古代思想家墨子語：古代思想家墨子語：;21 1 X第第一一天天截截下下的的杖杖長長為為;2121 22 X為為第第二二天天截截下下的的杖杖

3、長長總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限5二、數(shù)列的定義【例如例如】;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限6【注意注意】1. .數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列. .可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2. .數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1(

4、, 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限7單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn三、數(shù)列的極限觀察結(jié)束觀察結(jié)束機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限8【問題問題1】當當 無限增大時無限增大時, , 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值? ?如果是如果是, ,如何確定如何確定? ?nxn. 1)1(1,

5、1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 【問題問題2】 “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么? ?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它，刻劃它，描述它描述它。通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察: :無限接近無限接近可任意接近可任意接近“絕對值任意小”“絕對值任意小”.1可任意小可任意小即即 nx【直觀定義直觀定義】當當n無限增大時，無限增大時，xn無限接近于一個確無限接近于一個確定的常數(shù)定的常數(shù)a，稱，稱a是數(shù)列是數(shù)列xn的的極限極限.“距離任意距離任意 小小”機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限9,1001給

6、定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn. 1成立成立有有 nx 1nxnnn11)1(1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限10【發(fā)散發(fā)散】如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限, ,就說數(shù)列是就說數(shù)列是發(fā)散發(fā)散的的. .【說明說明】發(fā)散有發(fā)散有 不存在不存在；-；+；。1. .【精確定義精確定義】設設xn為一數(shù)列為一數(shù)列,

7、, 若存在常數(shù)若存在常數(shù)a , , 對任給定的正數(shù)對任給定的正數(shù)( (不論它多么小不論它多么小),), 總存在正數(shù)總存在正數(shù)N , , 使得當使得當n N 時，時，不等式不等式 | xn -a |N時，有無窮多個點落在時，有無窮多個點落在(a-,a+)內(nèi)內(nèi)”是是等價解釋等價解釋，正確嗎？，正確嗎？)（不不正正確確有的點有的點無窮多個點并不包括所無窮多個點并不包括所機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限13數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法. .【例例1】. 1)1(lim1 nnnn證證明明【證證】1 nx1)1

8、(1 nnnn1 , 0 任任給給,1 nx要要,1 n只只要要,1 n或或所以所以, ,1 N取取,時時則則當當Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即【注意注意】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限14【例例2】【證證】【練習練習】證明常數(shù)列的極限等于它本身證明常數(shù)列的極限等于它本身. .（公式公式）, 0成成立立 nx,0 任任給給所以所以, ,axn 0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n,0 nx欲欲使使,1 n只要只要即可，即可，即即 1 n,1 N現(xiàn)取現(xiàn)取 時時，有有則則當當Nn 0)1()1(l

9、im 2 nnn證明：證明：n1 0)1()1(lim 2 nnn機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限15【例例3】. 1, 0lim qqnn其其中中證證明明【證證】, 01 任任給給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則當當Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 【小結(jié)小結(jié)】 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時, ,關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N, ,但不必要求最小的但不必要求最小的N. ., 0 公式公式機動機

10、動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限16【補例補例4】.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設設【證證】, 01 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn時時恒恒有有使使得得當當axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 放大不等式放大不等式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限17【注意注意】(1) lim 關(guān)關(guān)系系如如下下的的邏邏輯輯與與的的過過程程中中，在在證證明明 naxnn axnNn 即即 ，通過，通過0 不等式的放大等措施求出正整

11、數(shù)不等式的放大等措施求出正整數(shù)N，再定出，再定出n的的范圍，從而保證范圍，從而保證 成立成立. . axn( (2) ) N與與是相對應的，但是相對應的，但N不是唯一的不是唯一的; ;N有無有無窮多個，則窮多個，則“n N”允許為允許為“nN”. .( (3) )同理，因同理，因任意，則任意，則2， 等也任意，則等也任意，則2 axn允許為允許為 22 等等或或 axaxnn機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限18四、數(shù)列極限的性質(zhì)1. .唯一性唯一性【定理定理1】每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .【證證】,lim,

12、limbxaxnnnn 又又設設使使得得.,21NN 注意以下證明都是已知極限存在時，利用注意以下證明都是已知極限存在時，利用的的給定性來論證的給定性來論證的用反證法用反證法. ba 不不妨妨設設,2ba 對對,21baaxNnn 時時恒恒有有當當;232baxban 即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限19【例例5】 .)1( 1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx【證證】,limaxnn 設設由定義由定義, ,21 對于對于,21,成成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當即當區(qū)間長度

13、為區(qū)間長度為1.1.,1, 1 兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復取無休止地反復取而而 nx,22babxNnn 時時恒恒有有當當.223baxabn 即即 ,max21NNN 取取時有時有則當則當Nn 同同時時成成立立，與與22baxbaxnn 矛盾矛盾 【證完證完】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限202. .有界性有界性(1)【定義】【定義】 對數(shù)列對數(shù)列nx, , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) M, , 使得一使得一切自然數(shù)切自然數(shù) n, , 恒有恒有Mxn 成立成立, , 則稱數(shù)列則稱數(shù)列 nx有有界界, , 否則否則, , 稱為無界稱為無界.

14、. 【例如例如】;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列【幾幾何何表表現(xiàn)現(xiàn)】 數(shù)數(shù)軸軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點 nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上. . 有界有界無界無界不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi). ., ,但但卻卻發(fā)發(fā)散散是是有有界界的的事事實實上上nx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限21(2)【定理定理2】收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .【證證】,limaxnn 設設由定義由定義, , 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即有即

15、有,1,1,max1 aaxxMN記記, Mxnn 皆皆有有則則對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) .有界有界故故nx【注意注意】逆否命題必成立：逆否命題必成立：無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .逆命題不成立；逆命題不成立；有界列不一定收斂有界列不一定收斂. .數(shù)列有界是收斂的數(shù)列有界是收斂的必要條件必要條件. .nnx)1( 如如機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限223. .保號性保號性【定理定理3 】 )0 ( 0 , lim aaaxnn或或且且如果如果0 N則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)時時當當 Nn )0 ( 0 nnxx或或都都有有【證明

16、證明】 0 的的情情形形僅僅證證 a由數(shù)列極限定義，由數(shù)列極限定義，時時當當對對NnNa , 0, 02 有有2aaxn 從而從而022 aaaxn【證完證完】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限23【推論推論】)0(0 nnnxxx或或從從某某項項起起有有如如果果數(shù)數(shù)列列, lim axnn 且且)0(0 aa或或則則【證明證明】的的情情形形僅僅證證 0 nx0 N 1 nxn時時，設設當當以下用反證法以下用反證法0lim axnn若若由定理由定理3知知時時當當22 , 0 NnN 0 nx有有 21,max NNN 取取時時當當 Nn

17、00同同時時成成立立，矛矛盾盾與與 nnxx【證完證完】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限244. .【子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性】（收斂列與其子列的關(guān)系收斂列與其子列的關(guān)系） 的的子子數(shù)數(shù)列列（或或子子列列）的的一一個個數(shù)數(shù)列列稱稱為為原原數(shù)數(shù)列列到到中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得這這些些項項在在原原數(shù)數(shù)列列保保持持中中任任意意抽抽取取無無限限多多項項并并在在數(shù)數(shù)列列nnnxxx ,21nixxxx,21knnnxxx . 項項中中卻卻是是第第在在原原數(shù)數(shù)列列而而項項，是是第第中中，一一般般項項在在子子數(shù)數(shù)列列knnnnnxx

18、kxxkkk【注意注意】例如例如lknnlk 若若knk 顯顯然然（1）【定義定義】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限25（2）【定理定理4】收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂 且極限相同且極限相同【證證】 的的任任一一子子數(shù)數(shù)列列是是數(shù)數(shù)列列設設數(shù)數(shù)列列nnxxk,limaxnn 已已知知)( kaxkn欲欲證證【分析分析】 欲證欲證0 0 K尋尋找找時時當當 Kk axkn 有有機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限26., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使使,

19、NK 取取,時時則當則當Kk .NnnnNKk . axkn.limaxknk 【證畢證畢】可可知知由由 ,limaxnn （尋找到（尋找到K）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限27【注意注意】a . .常用此關(guān)系判斷一個數(shù)列常用此關(guān)系判斷一個數(shù)列極限不存在極限不存在方法方法：若數(shù)列有兩個子列收斂于不同的極限，：若數(shù)列有兩個子列收斂于不同的極限，則原數(shù)列發(fā)散則原數(shù)列發(fā)散. . 如數(shù)列如數(shù)列方法方法：若數(shù)列有一個子列發(fā)散：若數(shù)列有一個子列發(fā)散, ,則原數(shù)列發(fā)散則原數(shù)列發(fā)散. . 如如b. .上例說明了發(fā)散數(shù)列也上例說明了發(fā)散數(shù)列也可能可能有

20、收斂的子列有收斂的子列. ., 1, 1 , 1, 1 )( 112 kxk)( 12 kxk發(fā)散發(fā)散 nx, 0 , 4 , 0 , 3 , 0 , 2 , 0 , 1)( 12 kxk發(fā)散發(fā)散 nx,0 ,0 ,0機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列的極限28五、小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律; ;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想、精確定義、幾何意義極限思想、精確定義、幾何意義; ;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、子數(shù)列的收斂性收斂性. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高數(shù)上冊第一章第二節(jié)數(shù)列