人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例習(xí)題(3)

1、2012人教A版高中數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例練習(xí)題（帶解析）、選擇題1 .一物體受到相互垂直的兩個(gè)力f1、£2的作用，兩力大小都為 5后N,則兩個(gè)力的合力的大小為（）A.B.0NC.D.Hn1【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，合力 f的大小為 #X, =5& （N）.2 .河水的流速為2m/s, 一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為（）A. 10m/sB. 2 景:m/sC. 4 ； m/sD. 12m/s【解析】設(shè)河水的流速為v1,小船在靜水中的速度為 v2,船的實(shí)際速度為 v,則|v1| = 2, |v|= 10, v

2、±v1.1- v2 = v- v1, v v1= 0, | v2| = Jq*十=小 04 = 2 t/26 .3.(2010 山東日照一中)已知向量 a=(x-3), b=(X2, y4 若 |a| =2, | b| =3, ab=6,則電+此的值為（）A.B.C.D.6【答案】B【解析】因?yàn)?| a| = 2, | b| = 3,又 a b= | a| b|cosa, b> = 2X 3X co Sa, b> = 6,可得cosa, b> = 1.即 a, b 為共線向量且反向，又 |a|=2, | b| =3,所以有 3(x1, y1)= 2(x2,工y2)?

3、x1 = - I x2, y1 = - I y2,所以 匕_ = 一:壬+及)=：,從而選 B.33工 + y73* .d4.已知一物體在共點(diǎn)力F1=(lg2, lg2), F2=(lg5, lg2)的作用下產(chǎn)生位移 S= (2lg5,1),則共點(diǎn)力對(duì)物體彳的功亞為()A. lg2B. lg5C. 1D. 2【答案】D【解析】 W=(F1 + F2)S= (lg2 + lg5,2lg2) (2lg5,1) = (1,2lg2) (2lg5,1)= 2lg5+2lg2= 2,故選 D.5.在 ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)巳 滿足可十四十冠=數(shù)，則4PBC與4ABC的面積之比是()A.B 二 9一C.

4、 jD-【答案】C【解析】由百十屈+武=刀，得百+西+劉+麗=0，即同=2/，所以點(diǎn)P是CA 邊上的三等分點(diǎn)，如圖所示.故6.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v=(4, 3),設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(速度單位：m/s ,長(zhǎng)度單位：m)()A. (-2,4)B. ( 30,25)C. (10, 5)D. (5, 10)【答案】C【解析】5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(-10,10)+5(4, -3)=(10, 5).7.已知向量 a, e滿足：a畛，|e| = 1,對(duì)任意tC R,恒有| ate| >a e| ,則()A. a± eB. a±(a

5、 e)C. e _l_ (a e)D. (a+ e) ±(a e)【答案】C【解析】由條件可知|ate|2'a e|2對(duì)te R恒成立，又|e|=1, ' t 2a et+ 2a e 1>0對(duì) t C R恒成立,即 A= 4(a e)2 8a e+4wo恒成立.2 (a e- 1) wo恒成立，而(ae1)2>qae-1 = 0.即 a e = 1 = e2,e (a e)= 0,即 e± (a e).8.已知 | 65| =1, | 法| =齒，麗，麗，點(diǎn) C 在 / AOB 內(nèi)，/ AOC= 30 °,設(shè)近=mi +n 03,則巴=

6、()A.JB. 3C. 3 .D二【答案】B【解析】破方=m|京|2+n由麗 =m, 一一.,一 ,2OC 03 = mOA + n | = 3n,=_S= 1,-=3.8 QS 33 6T«、填空題1.已知a=(1,2), b=(1,1),且a與a+入b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) 入的取值范圍是 【答案】人>2且入wo【解析】: a與a+入世勻不是零向量，夾角為銳角，a(a+ 入)>0,，5+3Q0,，?>-!.3當(dāng)a與a十入b同向時(shí)，a+入院ma(m>0),即(1+ 入，2 + g(m,2m).，得，2 + = 2m m - Q:且入w0.J2.已知直線ax+

7、by+c=0與圓O: x2+:=4相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2右，則由 西=【答案】-2【解析】 |AB|=2 療，|OA|=|OB|=2,AOB=120°.04 V3= | 出| |磅| COS120 =- 2.三、解答題1 .已知4ABC是直角三角形， CA= CB, D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且 AE= 2EB.求證：ADXCE【答案】見解析【解析】以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè) AC= a,則 A(a,0), B(0, a), D O.f), C(0,0), E 二a；J；. ADXCE一 一 1 _ , a ： cAD CE= a 5 a

8、+ 亍 Wa= 0，2 . ABC是等腰直角三角形，/ B=90 °, D是BC邊的中點(diǎn)，BEX AD,垂足為E,延長(zhǎng)BE交AC 于 F,連結(jié) DF,求證：/ ADB=Z FDC【答案】見解析【解析】如圖，以 B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) A(0,2), Q2,0),則D(1,0), JC=(2, -2)jr 心 c #設(shè)獷=云，則酢=M+#=(0,2)+(2% 24=(2% 2-2?),又百= (1,2)由題設(shè)赤，汨，而歷 =0,. .2 計(jì) 2(22 2)=0,入=2.又玩= (1,0),cos/ ADB= 綠灰 小cos/ FDC= I I =PH網(wǎng) 5又/

9、ADB、/ FDCC (0,兀).-.Z ADB= / FDC3 .(2010江蘇，15)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A(-1, 2), B(2,3), C(-2, 1)求以線段AB> AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(器-t而)而？ =0,求t的值.【答案】(1)兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4值和261(2) -y【解析】由題設(shè)知君= (3,5),數(shù)= (1,1),則15+充= (2,6),萬一薛= (4,4).所以|公+公|=2工反，|公-薛|=4加故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4/和2,國.(2)由題設(shè)知 0C = 2-2, 1), Z5-tdC = (3+2t

10、,5+t).由(有一t歷)屈=0,得(3+2t,5+t) ( 2, 1)=0,從而 5t = 11,所以 t = -y .4 .一條寬為 方km的河，水流速度為 2km/h ,在河兩岸有兩個(gè)碼頭A、B,已知AB= /km,船在水中最大航速為4km/h,問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？【答案】船實(shí)際航行速度大小為4km/h,與水流成120。角時(shí)能最快到達(dá) B碼頭，用時(shí)半小時(shí)【解析】如圖所示，設(shè) 怒為水流速度， 萬5為航行速度，以 AC和AD為鄰邊作？ACED且當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快至IJ達(dá)彼岸.根據(jù)題意AC± AE,在Rt ADE和？ACED

11、中，I 度 1=1 萬 1 = 2, | 而|=4, Z AED= 90。.I二戶J回匚祠=20,sin/EAD=!，EAD= 30°,用時(shí) 0.5h.答：船實(shí)際航行速度大小為4km/h,與水流成120。角時(shí)能最快到達(dá) B碼頭，用時(shí)半小時(shí).5 .在？ABCD中，點(diǎn) M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N在BD上，且BN = 1 BD,求證：M, N, C三點(diǎn)共線.【答案】見解析【解析】立:=游瓦？.因?yàn)閮?:而，（五+?。?所以而=+；疣一!說，j6由于證=前一血=能一；瓦i,可知證=3運(yùn)，即送/運(yùn).又因?yàn)镸C、MN有公共點(diǎn)M,所以M、N、C三點(diǎn)共線6 .如圖所示，正方形 ABCD中，P為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量方法證明 PA【答案】見解析【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則 A（0, a）.設(shè)|麗| = 2（ Q0）,則F足_口 , P當(dāng)工坐上，PA =所以=因?yàn)閨千科=入一 g a入+ a , | =入一亦a入十 a ,所以|工F| = | p | ,即 PA= EE7 .如圖所示，在 4ABC中，AB=AC, D是BC的中點(diǎn)，DEL AC, E是垂足，F(xiàn)是DE的中點(diǎn),求證AF±