中考考點分析：反比例函數與一次函數綜合問題

1、反比例函數與一次函數交叉綜合問題【例1】2010,西城，一模將直線y 4x沿y軸向下平移后，得到的直線與一 9x軸交于點 A , 0 ,與雙曲線4k ,y -(x 0)父于點B . x求直線AB的解析式;若點B的縱標為m，求k的值（用含有 m的式子表示）.【思路分析】 這種平移一個一次函數與反比例函數交與某一點的題目非常常見，一模中有多套題都是這樣考法。題目一般不難，設元以后計算就可以了。本題先設平移后的直線，然后聯(lián)立即可。比較簡單，看看就行.9【解析】將直線 y 4x沿y軸向下平移后經過 x軸上點a（-,0）,4設直線AB的解析式為y 4x b .一.9 .則 4 一 b 0 .4解得b 9

2、 .直線AB的解析式為y 4x 9 .圖3（2）設點B的坐標為 xb , m ,直線AB經過點B ,m 9一xB4B點的坐標為丁點B在雙曲線y k x 0 上, x頁腳k .m 二m 9 .42 m 9m k -4【例2】2010,豐臺，一模如圖，一次函數 yi kx b的圖象與反比例函數 y2 9的圖象相交于 A、B兩點. x(1)求出這兩個函數的解析式；(2)結合函數的圖象回答：當自變量x的取值圍滿足什么條件時，yi y2【思路分析】第一問直接看圖寫出A, B點的坐標(一6-2) (4,3),直接代入反比例函數中求m,建立二元一次方程組求k,bo繼而求出解析式。第二問通過圖像可以直接得出結

3、論。本題雖然簡單，但是事實上卻有很多變化。比如不給圖像，直接給出解析式求yi y2的區(qū)間，考生是否依然能反映到用圖像來看區(qū)間。數形結合是初中數學當中非常重要的一個思想，希望大家要活用這方面的意識去解題?！窘馕觥拷猓?1)由圖象知反比例函數 V2 m的圖象經過點B(4, 3),x3 m.m=12 .，反比例函數解析式為V212由圖象知一次函數 yi kx b的圖象經過點 A(6, 2) , B(4, 3),16kb 2,k. 4k b 3. 解得 2 b 1.1 一次函數解析式為y1 -x 1.2(2)當 0<x<4 或 x<6 時，y1 y2.【例3】2010,密云，一模k已

4、知：如圖，正比例函數y ax的圖象與反比例函數 y 的圖象交于點A3,2 .(1)試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；(2)根據圖象回答，在第一象限，當x取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的(3) M m, n是反比例函數圖象上的一動點，其中 0 m 3,過點M作直線MB II x 軸，交y軸于點B ;過點A作直線AC / y軸交x軸于點C ,交直線MB于點D .當四邊形 OADM的面積為6時，請判斷線段 BM與DM的大小關系，并說明理由.【思路分析】第一問由于給出了一個定點，所以直接代點即可求出表達式。第二問則是 利用圖像去分析兩個函數的大小關系，考生需要對坐標系有直觀的認識。第三

5、問略有難度， 一方面需要分析給出四邊形 OADM的面積是何用意，另一方面也要去看 BM,DM和圖中圖形 面積有何關系.視野放開就發(fā)現四邊形其實就是整個矩形減去兩個三角形的剩余部分，直接求出矩形面積即可.部分同學會太在意四邊形的面積如何求解而沒能拉出來看，從而沒有想到思路，失分可惜.【解析】k 解：(1)將3, 2分別代入y ax中y 一,k得 2 3a , 2 -, 3a - , k 6. 3反比例函數的表達式為：y 6；X 2正比例函數的表達式為 y a.3(2)觀察圖象得，在第一象限，當 0 x 3時, 反比例函數的值大于正比例函數的值.(3) BM DM .理由：. n m1.-m n

6、3 ,即 Sa bmo 3. 2AC OC,-1 Sa aoc - 3 23 .2 Socdb 3 3 6 12 .(很巧妙的利用了和的關系求出矩形面積)BO123BMBODM3 BMBM頁腳【例4】2010,石景山，一模. b 3已知：y 冰與y 兩個函數圖象交點為 P m,n ,且m n , m n是關于x的一元二次方程kx2 2k 7 x k 3 0的兩個不等實根，其中 k為非負整數.(1)求k的值；(2)求a、b的值;(3)如果y c c 0與函數y ax和y3線段AB 2,求c的值.b 3 、交于A B兩點(點 A在點B的左側)， x【思路分析】本題看似有一個一元二次方程,但是本質上

7、依然是正反比例函數交點的問題。第一問直接用判別式求出 k的圍，加上非負整數這一條件得出 k的具體取值。代入方程即可求出 m, n,繼而求得解析式。注意題中已經給定m<n,否則仍然注意要分類討論。第3三問聯(lián)立方程代入以后將 A,B表不出來，然后利用 AB -構建方程即可。 2一 .一2【解析】(1) 2k 7 4k k 30k竺40k為非負整數，k 0,1 .2 一一 一、一' kx 2k 7 x k 3 0為一元二次方程k 1(2)把k 1代入方程得x2 5x 4 0 ,解得Xi 1,X2 4m n/. m 1, n 4b 3把m 1, n 4代入y ax與y x可得a 4,b

8、1 4(3)把y c代入y 4x與y x.C _ 4.34 c 3可得 A ，c , B -'c ,由 AB ,可得4c2 c 4 2解得G 2°8,經檢驗G 2,c28為方程的根。G 2,叱 8【例5】2010,海淀，一模已知：如圖，一次函數y Y3x m與反比例函數 y 立的圖象在第一象限的交點為3xA(1, n).(1)求m與n的值；(2)設一次函數的圖像與 x軸交于點B ,連接OA,求 BAO的度數.【思路分析】 如果一道題單純考正反比例函數是不會太難的，所以在中考中經常會綜合一些其他方面的知識點。比如本題求角度就牽扯到了勾股定理和特定角的三角函數方面，需要考生思維轉

9、換要迅速。第一問比較簡單，不說了。第二問先求出A,B具體點以后本題就變化成了一道三角形線段角的計算問題，利用勾股定理發(fā)現OB=OA,從而/ BAO= / ABO,然后求出/ BAO即可。解：(1) 點A(1,n)在雙曲線y 變上, x又A(1,6)在直線ym上,(2)過點A作AM ±x軸于點 M.直線y x 23與x軸交于點B , 330.33解得x 2.點B的坐標為（-2,0）.OB 2.丁點A的坐標為（1,J3）,AM 3,OM 1.在 RtA AOM 中， AMO 90 ,- AM 不-tan AOM 而. 3 .AOM 60 .-由勾股定理，得 OA 2.OA OB. OBA

10、 BAO.八 1 八BAO AOM 30 .2【總結】中考中有關一次函數與反比例函數的問題一般都是成對出現的。無非也就一下這么幾個考點：1、給交點求解析式；2, y的比較，3,夾雜進其他幾何問題。除了注意計 算方面的問題以外，還需要考生對數形結合， 分類討論的思想掌握熟練。例如y的比較這種問題，純用代數方式通常需要去解一個一元二次不等式，但是如果用圖像去做就會比較簡單了?？傮w來說這類問題不難，做好細節(jié)就可以取得全分。第二部分發(fā)散思考【思考1】2009,北京如圖，A、B兩點在函數y m X 0的圖象上.X（1）求m的值及直線 AB的解析式；（2）如果一個點的橫、縱坐標均為整數，那么我們稱這個點是

11、 格點.請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數?！舅悸贩治觥坑捎谝呀浗o出了點，第一問沒有難度。第二問在于要分析有哪些格點在雙1 6的整數挨個去試，由于數量較少,y m的圖象交A 3,1、B(2, n)于 x曲線的邊界上，哪些格點在其中。保險起見直接用所以可以很明顯看出。【思考2】2009,宣武，一模如圖，一次函數y kx b的圖象與反比例函數兩點，直線 AB分別交x軸、y軸于d、C兩點.(1)求上述反比例函數和一次函數的解析式；AD(2)求。D的值.CD【思路分析】第一問一樣是用代點以及列二元一次方程組去求解析式。第二問看到比例關系，考生需要第一時間想到是否可以用相似三角形去分析。

12、但是圖中并未直接給出可能的三角形，所以需要從 A引一條垂線來構成一對相似三角形，從而求解?！舅伎?】2009,崇文，一模已知：關于x的一元二次方程 kx2+ (2k3)x+k3 = 0有兩個不相等實數根(k<0 ).(錯誤!未找到引用源。)用含k的式子表示方程的兩實數根；(錯誤!未找到引用源。)設方程的兩實數根分別是x1, x2 (其中x1 x2),若一次函數y=(3k - 1)x+b與反比例函數y = P的圖像都經過點(x1, kx2),求一次函數與反比例 x函數的解析式.【思路分析】本題是一道多種函數交叉的典型例題，一方面要解方程，另一方面還要求函數解析式。第一問求根，直接求根公式去

13、做。 第二問通過代點可以建立一個比較繁瑣的二元一次方程組，認真計算就可以。【思考4】2009,東城，一模8 .如圖，反比例函數 y 一的圖象過矩形 OABC的頂點B, OA、0c分別在x軸、y軸的正半軸上，OA : 0C=2 : 1.(1)設矩形OABC的對角線交于點 E,求出E點的坐標；(2)若直線y 2x m平分矢I形OABC面積，求m的值頁腳【思路分析】本題看似麻煩，夾雜了一次函數與反比例函數以及圖形問題。但是實際上 畫出圖，通過比例可以很輕易發(fā)現B點的橫縱坐標關系，巧妙設點就可以輕松求解。第二問更不是難題，平分面積意味著一定過B點，代入即可。第三部分 思考題解析【思考1解析】(1)由圖

14、象可知，函數 y m (x 0)的圖象經過點 A(1,6), x可得m 6.設直線AB的解析式為y kx b .A(1,6), B(61)兩點在函數y kx b的圖象上,k b 6, 6k b 1.1,7.，直線AB的解析式為y x 7.(2)圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的個數是【思考2解析】(1)把 x 3, y 1 代入 y m,得：m 3.x反比例函數的解析式為 y 3 .x33把x 2 , y n代入y 得n -. x23 一、把x 3,y 1;x 2,y一分力1J代入23k b 1y kx b 得3 ,2kb 一21 k-211解得2, 一次函數的解析式為 y -x-.122b-2(2)過點A作AE x軸于點E.Q A點的縱坐標為1, AE 1 .1=2x2+m由一次函數的解析式為y1得C點的坐標為0，2頁腳在 RtzXOCD 和 RtAEAD 中,COD AED Rt ,CDOADCD【思考3解析】解：（錯誤！未找到引用源。kx2+(2k3)x+