第四節(jié)廣義積分初步ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 廣義積分初步廣義積分初步定積分存在的兩個必要條件定積分存在的兩個必要條件:(1)積分區(qū)間有限積分區(qū)間有限積分區(qū)間無限被積函數(shù)有積分區(qū)間無限被積函數(shù)有界界積分區(qū)間有限但被積函數(shù)無界積分區(qū)間有限但被積函數(shù)無界 廣義積分廣義積分(無窮積分無窮積分)(瑕積分瑕積分)(2)被積函數(shù)有界被積函數(shù)有界一一.無窮積分無窮積分abblimadxxf)(badxxf)(badxxf)(abalimbdxxf)(cdxxf)( cdxxf)(cdxxf)(一一.無窮積分無窮積分1.定義定義設(shè)設(shè))(xf在在),a上連續(xù)上連續(xù),取取 babdxxf)(lim存在存在,如果極限如果極限, ab 則稱此極限值

2、為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù))(xf在在),a上的無窮積分上的無窮積分.記作記作: adxxf)(此時也稱無窮積分收斂此時也稱無窮積分收斂,否則稱無窮否則稱無窮積分發(fā)散積分發(fā)散.ab 即即 adxxf)(babdxxf)(lim注注 (1)無窮積分的幾何意義無窮積分的幾何意義: 當(dāng)當(dāng)0)( xf時時 adxxf)(表示由曲線表示由曲線)(xfy 與直線與直線ax 和和x軸所圍成的向右無限延伸的軸所圍成的向右無限延伸的平面圖形的面積平面圖形的面積.xyoa)(xfy (2) adxxf)(的斂散的斂散性與性與a無關(guān)無關(guān).2.定義定義設(shè)設(shè))(xf在在,(b上連續(xù)上連續(xù),取取 baadxxf)(lim存

3、在存在,如果極限如果極限, ba 則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù))(xf在在,(b上的無窮積分上的無窮積分.記作記作: bdxxf)(此時也稱無窮積分收斂此時也稱無窮積分收斂,否則稱無窮否則稱無窮積分發(fā)散積分發(fā)散.ab 即即bdxxf)( baadxxf)(lim3.定義定義 設(shè)設(shè))(xf在在),(上連續(xù)上連續(xù),同時收斂同時收斂,假如假如則稱它們的和為函數(shù)則稱它們的和為函數(shù))(xf在在),(上的無窮積分上的無窮積分.記作記作: dxxf)(此時也稱無窮積分收斂此時也稱無窮積分收斂,否則稱無窮否則稱無窮積分發(fā)散積分發(fā)散.c cdxxf)( cdxxf)(和和(某個實(shí)數(shù)某個實(shí)數(shù))c為某個實(shí)數(shù)

4、為某個實(shí)數(shù),即即dxxf)(cdxxf)(cdxxf)(例例1.討論廣義積分討論廣義積分 exxdx3ln的斂散性的斂散性.解解 exxdx3ln bebdxxx3ln1lim bebxdxlnln1lim3bebx)ln21(lim2 )21ln21(lim2 bb21 即廣義積分收斂即廣義積分收斂,值為值為.21dxx 0211dxx 0211dxx 211bbdxx0211limbbarctanlim20arctanx2xarctan)2(2bbx0arctanlimdxx 02110arctan x2)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 例例2.討論廣義積分討論廣義積分dx

5、xp 11的斂散性的斂散性.解解 bpbdxx11lim故廣義積分故廣義積分 bpdxx11 1 pbln1 p)1(111 pbp 1 p1 p 1 p11 p 1 p時收斂時收斂,1 p時發(fā)散時發(fā)散.例例3.討論廣義積分討論廣義積分dxxx 21的斂散性的斂散性.解解dxxx 021而而 021limaadxxx02)1ln(21limaax )1ln(21lim2aa 即即dxxx 021發(fā)散，發(fā)散， 故故dxxx 21發(fā)散發(fā)散. dxxx21dxxx 021dxxx 021 02)1ln(21x例例 知知xxaxaxlimaxdxex224求常數(shù)求常數(shù)a的值的值1, 0aa(1993年

6、考研真題年考研真題8分分)解解xxaxaxlimxxxaxa11limaaxaaxxxaxa 11lim)(ae2 axdxex224 axdex222 axex222 axdxxe24aea222 axxde22aea222 axex22 axdxe22aea222 aea22 ae2 由由ae2aea222 aea22 ae2 得得1, 0aa?lim22xxex二二.瑕積分瑕積分badxxf)(badxxf)(ab a0limbadxxf)(badxxf)(ab b0limab cbadxxf)(bcdxxf)( cadxxf)(二二.瑕積分瑕積分1.定義定義設(shè)設(shè))(xf在在,(ba上連

7、續(xù)上連續(xù),且且 badxxf )(lim0存在存在,如果極限如果極限 )(limxfax則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù))(xf在在上的瑕積分上的瑕積分. 記作記作: badxxf)(此時也稱瑕積分收斂此時也稱瑕積分收斂,否則稱瑕積分否則稱瑕積分發(fā)散發(fā)散.ab ,ba a即即 badxxf)( badxxf )(lim02.定義定義設(shè)設(shè))(xf在在),ba上連續(xù)上連續(xù),且且badxxf)(lim0存在存在,如果極限如果極限 )(limxfbx則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù))(xf在在上的瑕積分上的瑕積分. 記作記作: badxxf)(此時也稱瑕積分收斂此時也稱瑕積分收斂,否則稱瑕積分

8、否則稱瑕積分發(fā)散發(fā)散.ab ,ba b即即badxxf)(badxxf)(lim03.定義定義設(shè)設(shè))(xf在在,(),bcca 上連續(xù)上連續(xù),并且并且假如假如,)(lim xfcx同時收斂同時收斂,則稱它們的和為函數(shù)則稱它們的和為函數(shù))(xf在在上的瑕積分上的瑕積分. 記作記作: badxxf)(此時也稱瑕積分收斂此時也稱瑕積分收斂,否則稱瑕積分否則稱瑕積分 發(fā)散發(fā)散.ab ,ba c bcdxxf)( cadxxf)(和和即即badxxf)(bcdxxf)( cadxxf)(例例4.討論廣義積分討論廣義積分dxx 10211ln的斂散性的斂散性.解解因因 2111lnlimxx故故1 x是瑕

9、點(diǎn)是瑕點(diǎn)dxx 10211ln 102011lnlimdxx 100)1ln()1ln(limdxxx)2ln()2(ln22lim0 2ln22 即廣義積分收斂即廣義積分收斂,值為值為. 2ln22 例例5.討論廣義積分討論廣義積分dxxp 101的斂散性的斂散性.解解因因 pxx1lim0故故0 x是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn))0( p 101lim dxxp故廣義積分故廣義積分 11 dxxp 1 p ln 1 p)1(111 pp 1 p1 p 1 pp 11 1 p時收斂時收斂,1 p時發(fā)散時發(fā)散.例例6.討論廣義積分討論廣義積分dxx 1121的斂散性的斂散性.解解因因dxx 0121dxx 10

10、21dxx 1121dxx 1121dxx 1021而而發(fā)散發(fā)散,故故發(fā)散發(fā)散例例7.斷定斷定dxxxx 212)11ln1(的斂散性的斂散性.解解因因)11ln1(lim21 xxxx故故1 x是瑕點(diǎn)是瑕點(diǎn) xxxxxxx221ln)1(ln)1(lim 321)1(ln)1(lim xxxxx221)1(3lnln21lim xxxxdxxxx 212)11ln1(dxxxx 2120)11ln1(lim 210)1lnln1(lim xxln)1ln(12ln1lim0 )1ln(ln)1ln(1lim2ln10 即瑕積分發(fā)散即瑕積分發(fā)散. ln)1ln(lim0 lnlim0 1lnl

11、im0 2011lim 0lim. 0 瑕積分瑕積分1 p時收斂時收斂,1 p時發(fā)散時發(fā)散.dxxp 101)0( pdxxp 11無窮積分無窮積分1 p時收斂時收斂,1 p時發(fā)散時發(fā)散.總結(jié)總結(jié)三三. 函數(shù)函數(shù)定義定義 廣義積分廣義積分)0()(01 rdxexrxr是是r的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為 函數(shù)函數(shù).性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)是收斂的函數(shù)是收斂的.性質(zhì)性質(zhì)21)1( 證證 0)1(dxexbxbe0)(lim bxbdxe0lim)1(lim bbe. 1 0)(xe1性質(zhì)性質(zhì)3 )21(證證性質(zhì)性質(zhì)4)()1(rrr 0)1(dxexrxrbxrbedx0)(lim)( lim010dxexr

12、exbxrbxrb bxrbdxex0lim)(limrrebbrb ).(rr 0)(xredx0 xrex01dxerxxr)(rr)1(0limaaxxrx性質(zhì)性質(zhì)5)(!)1( Znnn證證)()1(nnn )1()1( nnn)1(1)1( nn !n 性質(zhì)性質(zhì)6 )(r10 r) 1(1 rr 1 r)()1(ssr 21 s其中其中例例7 求求.03dxexx 解解 dxexx03)4( . 6! 3 例例8 求求).32. 0()2()25()1( 解解 )25()1()123( )23(23 )121(23 )21(2123 .43 )32. 0()2()132. 0(32. 01 )32. 1(32. 01 .796. 2 四四. 函數(shù)函數(shù)定義定義 廣義積分廣義積分)0, 0()1(1011 qpdxxxqp是是p的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為 函數(shù)函數(shù).和和q記作記作).,(qp 性質(zhì)性質(zhì)1)0, 0()1(1011 qpdxxxqp收斂收斂.性質(zhì)性質(zhì)2),(),(pqqp 證證xt1 ),(qp 1011)1(dxxxqp0111)1 (dtttqp1011)1 (dtttpq).,(pq 性質(zhì)性質(zhì)3.)()()(),(qpqpqp 例例9 計算計算).27,23( 解解 )27,