微積分各章習(xí)題及詳細(xì)答案

1、微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案第一章函數(shù)極限與連續(xù)一、填空題1、已知，則。2、。3、時(shí)，是的階無(wú)窮小。4、成立的為。5、o6、在處連續(xù)，貝IJ。7、o8、設(shè)的定義域是，則的定義域是9、函數(shù)的反函數(shù)為o10、設(shè)是非零常數(shù),則。11、已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。12、函數(shù)的定義域是o13、o14、設(shè)，則15、二 二選擇題1、設(shè)是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。(A) ；( B) ；(C) ；(D) o2、，則當(dāng)時(shí)有。(A )是比xx的無(wú)窮小;(B) 是比低階的無(wú)窮小;做積分各賈習(xí)題及詳細(xì)答案(C)與是同階無(wú)窮??；(D)。3、函數(shù)在處連續(xù)，貝叭(A) ；( B) ；(C) ；(

2、D) o4、數(shù)列極限。(A) ；(B) ；(C) ；(D)不存在但非。5、，則是的。(A)連續(xù)點(diǎn)；(B)可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中和相同的是()(A) , ；(B),；(C) , ；(D) , o7、二()(A) 1；( B )-1；(C)0；(D)不存在。8、()(A) 1；( B) -1；(C)；(D) o9、在的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的()(A)充分必要條件；(B)充分條件；(C)必要條件；(D)既不充分 也不必要條件.10、()(A) 1；( B )2；(C)；(D) 0o11、設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有()(A)對(duì)任意成立；(B)對(duì)任意成立；(C

3、)極限不存在；(D)極限不存在。12、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限()(A)等于2；(B)等于0；(C)為； (D)不存在但不為。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(1) ； (2)；(3) ；(4)；(5) ；(6)；(7) ；(8) o3、試確定之值，使。4、利用極限存在準(zhǔn)則求極限(Do(2)設(shè)，且，證明存在，并求此極限值。5、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。6、設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。第一單元函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題解答一、填空題1、O J2、O O3> xx o是的XX無(wú)窮小。4、為有界函數(shù)，所以要使，只要，即。5、O O6、o j ,7、o8、根據(jù)題意要求，所以。9、，,的反

4、函數(shù)為。10、原式二。11、由（利用教材P58）與，以及，可得。12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得 解不等式組可得，的定義域?yàn)椤?3、O14、，令t二，所以x二即：二O15、2二、選擇題1、選（D）令，由是上的偶函數(shù)，是 上的奇函數(shù)，。2、選（C）（利用教材P58）3、選（A） （利用教材P58）4、選（B）5、選（C ）,6、選（C）在（A）中的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故不正確在（B）的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，故錯(cuò)在（D）中的定義域?yàn)镽,的定義域?yàn)?故錯(cuò)7、選（D）,不存在8、選（D）,9、選（C） 由函數(shù)極限的局部有界性定理知，存在，則必有的某一去心鄰域 使有界，而在的某一去心鄰域有界不一定有存

5、在，例如，函數(shù)有界，但在點(diǎn) 極限不存在10、選（C）11、選（D）（A）、（B）顯然不對(duì)，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)充分大時(shí)”的情況，不可能得出“對(duì)任意成立”的性質(zhì)。（C ）也明顯不對(duì)，因?yàn)椤盁o(wú)窮小無(wú)窮大”是未定型，極限可能存在也可 能不存在。12、選(D)X2 -1liin£ I =血(x + i)f I = coXTl X 1V>1當(dāng)時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限，也不是。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限：(1) 解：。(2) 解：o解：。(4) 解：。1 L丄1 1= lmi(l + )訐lim(l + )2f = e3x x 2 2(5) 解：O(6) 解： lim(/l

6、+ xsiiix + Jcosx) = 2 .vO(7) 解：=郵4)+(齊護(hù)+G-占)O(8) 解：o3、解：=血(1 _ (a + b)x + (1 _ Z?) _ IT+XX + 12微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案1- = 0(a + b) = =>4、（1）而。（2）先證有界（數(shù)學(xué)xx）時(shí)，設(shè)時(shí)，貝IJ數(shù)列有下界,再證單調(diào)減,且即單調(diào)減，存在，設(shè),則有（舍）或，5、解：先求極限得而的連續(xù)區(qū)間為為跳躍間斷點(diǎn).。6、解：令，則在上連續(xù)而F（b） = fb）-b<0由零點(diǎn)定理，使即，亦即。第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題1、已知，則二。2、存在,有,則二。3、，則二。4、階可導(dǎo)，則二；o5

7、、曲線在點(diǎn)處切線與連接曲線上兩點(diǎn)的弦平行。6、,則二。7、,則二，=o8、若,則二。9、曲線于點(diǎn)處的切線斜率為2。10、設(shè)，則。11、設(shè)函數(shù)由方程確定，貝IJ。12、設(shè)則。二、單項(xiàng)選擇1、設(shè)曲線和在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，貝歸()。(A) ；(B) ；(C) ；(D) o3、函數(shù)，且，貝'J () o(A) ；(B)；(C)；(D) o4、已知為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，則曲線在處切線的方程是。(A) ；(B) ；(C) ；(D) o5、設(shè)可導(dǎo),則二。(A)(B)(C)(D) o6、函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則二。(A) ；(B) ；(C) ；(D) o7、若,則二()(A) ；( B) ；(C

8、) ；(D) o8、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在和，則是導(dǎo)數(shù)存在的()(A )必要非充分條件；(B )充分非必要條件；(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。9、設(shè)則()(A) ；(B)；(C) ；(D) o10、若可導(dǎo)，且，則有()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o11、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得()(A)在內(nèi)單調(diào)增加；(B)在內(nèi)單調(diào)減少；(C)對(duì)任意的有；(D)對(duì)任意的有。12、設(shè)在處可導(dǎo)，則()(A)；(B)為任意常數(shù)；(C)；(C)為任意常數(shù)。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1),求；(2),求；(3) , ；(4),求；(5) ,求;(6) ,求;（7）,在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求；

9、（8）設(shè)在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求。2、試確定常數(shù)之值，使函數(shù)處處可導(dǎo)。3、證明曲線與（為常數(shù)）在交點(diǎn)處切線相互垂直。4、一氣球從距離觀察員處離地勻速鉛直上升，其速率為/分，當(dāng)此氣球上升到 空中時(shí)，問(wèn)觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有，且，證明。6、求曲線上過(guò)點(diǎn)處的切線方程和法線方程。第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題解答一、填空題1、2、3、4、，5、弦的斜率,當(dāng)時(shí)，。6、dy =6/aictan(l - %) = d(l - x)aictan(l - x)aictan(l -x) 1 + (1 - x)_dxaictan(l - x) 1 + (1 _ x) 7、,dx 2xdx8、

10、9、，由，在點(diǎn)處的切線斜率為210、2,y"(0) = e° + e° = 211、方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得解得。12、由參數(shù)式求導(dǎo)公式得，再對(duì)求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得選擇丿1、選（D） 由交點(diǎn)為,tan (p =| tan(2 - )冃3、選（C）由得4、選（A） 由=Inn，m（j）（-!）=廣（_1）.（-1）= 一2 n廣（一1） = 4 go-%22切線方程為：即5、選（D）6、選(B )廠=2/3U)r = 2 X 3 廠(x) fx) = 2 X 3 廠(x)設(shè)，貝Urx)=nrx)7、選(C)又，8、選（C）在處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存

11、在且相等。9、選（D）fx）= （x _ 1）（兀 一 2）（x - 99） + x（x - 2）（x - 99） + x（x 一 l）（x 一 3）（x 99）+ + 兀（兀一1）（/一2）（x-98）.廣(0) = (0-1)(0 2)(0-99) = (1)99 99!= _99!另解：由定義，=(-1)"-99!=-99!10、選(E)/. dy = -2xff(-x2)dx11、由導(dǎo)數(shù)定義知再由極限的保號(hào)性知當(dāng)時(shí)，從而 當(dāng)時(shí)，因此C成立，應(yīng)選C。12、由函數(shù)在處可導(dǎo)，知函數(shù)在處連續(xù),所以。又，所以。應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)(2),(3) 兩邊對(duì)求導(dǎo)：91y

12、” = -2-3 )=-2>3 (亍 +1)= _(= +1) )廠(4)/. / = cos2x = siii(2x + )= 2cos(2x + ) = 2siii(2x + 2 -y(50> = 249siii(2x + 50- y) = -249 siii 2x(5)兩邊取對(duì)數(shù)：兩邊求導(dǎo)：Xy' = ()' In x -111(1 + x) +1 1 + x(6)利用定義:廣(0) = lun /CO-/(°)= iun(x + 1)(X + 2)(x + 3)(x + 2005) = 2005! xto%.v->o(7)又=lim_塑

13、74; + 0(x) = 0(a) + 0 =20(a)i x-a注：因在處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。(8)宓 八込冃)魯-=廣冷)=-12、xx當(dāng)時(shí)，均可導(dǎo)，要使在處可導(dǎo)v-»o-Xax=lun = aa* %則，且在處連續(xù)。即7-(0) = UrnYTO3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則對(duì)兩邊求導(dǎo): 曲線在處切線斜率又由曲線在處切線斜率又兩切線相互垂直。4、設(shè)分鐘后氣球上升了米，則兩邊對(duì)求導(dǎo)：.些=dt 25當(dāng)m時(shí)，當(dāng)m時(shí)，(弧度/分)5、證明：=恤 /")-/©)/(o)=恤 /(v) 4)-/(0) “TOh/】TOh=/w-r(o)=/u)6、解：由于，

14、于是所求切線斜率為從而所求切線方程為，即又法線斜率為 所以所求法線方程為，即微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用填空丿1、O2、函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增。3、函數(shù)的極大值是o4、曲線在區(qū)間是凸的。5、函數(shù)在處的階xx多項(xiàng)式是。6、曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是o7、若在含的（其中）xx有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且，則是在上的最大值。8、在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)。9、。10、O11、曲線的上凸區(qū)間是o12、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是o二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且則（）（A ）不存在；（B ） 0；（0-1；（ D） -2o2、設(shè)則在內(nèi)曲線（）（A）單調(diào)增凹的；（B）單調(diào)減凹的；（C ）單調(diào)增凸的；（D ）單調(diào)減凸的。3、在

15、內(nèi)連續(xù)，則在處（）（A ）取得極大值；（B ）取得極小值；（C） 一定有拐點(diǎn)； （D）可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則I：在內(nèi)與II：在上之間關(guān)系是（）（A） I是II的充分但非必要條件；（B） I是II的必要但非充分條件；（C） I是II的充分必要條件；（D） I不是II的充分條件，也不是必要 條件。5、設(shè)、在連續(xù)可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，則有（）（A） ；（B）；（C） ；（D） o6、方程在區(qū)間內(nèi)（）（A）無(wú)實(shí)根；（B）有唯一實(shí)根；（C ）有兩個(gè)實(shí)根；（D ）有三個(gè)實(shí)根。7、已知在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn) 處（）（A）不可導(dǎo)；（B）可導(dǎo)，且；（C）取得極大值；（D ）

16、取得極小值。8、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（）（A ）是的極大值；（B ）是的極小值；（C ）是曲線的拐點(diǎn)； （D ）不是的極值點(diǎn)。9、設(shè)為方程的二根，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)O（A）只有一實(shí)根；（B）至少有一實(shí)根；（C）沒(méi)有實(shí)根；（D）至少有2個(gè)實(shí)根。10、在區(qū)間上滿足xx定理?xiàng)l件的函數(shù)是（）(A) ；(B)；(C) ；(D) o11、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)是函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加的()(A)必要但非充分條件；(B)充分但非必要條件；(C)充分必要條件；(C)無(wú)關(guān)條件。12、設(shè)是滿足微分方程的解，且，則在()(A)的某個(gè)鄰域單調(diào)增加；(B)的某個(gè)鄰域單調(diào)減少；(C )處取得極小值；(D )處取得

17、極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(1) ; (2)；(3) ； (4):(5) ； (6)o2、證明以下不等式(1) 、設(shè)，證明。(2) 、當(dāng)時(shí)，有不等式。3、已知，利用xx公式求。4、試確定常數(shù)與的一組數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小。5、設(shè)在上可導(dǎo)，試證存在，使O6、作半徑為的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高為何值時(shí)，其體積最小，并求出 該體積最小值。7、若在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在內(nèi)至少存在一個(gè)，使。第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題解答一、填空題1、2、在上單調(diào)增3、20令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，極大值為4、，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，曲線在上是凸的5、(見(jiàn)教材P13頁(yè)，xx公式)6、，2 y"

18、; = -3 嚴(yán)(1 - 3x) - 3 嚴(yán)=嚴(yán)(9x-6) = 9 嚴(yán)(x -)令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí)，拐點(diǎn)為7、，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少8、1,在上單調(diào)增加又.在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)。9、原式。10、原式二。11、令，當(dāng)時(shí)，上凸，其它區(qū)間，上凹，故應(yīng)填入。12、函數(shù)的定義區(qū)間為，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且，因?yàn)樵趦?nèi)，所以函 數(shù)在上單調(diào)增加。二、選擇題1、選（C）2、選（B） 當(dāng)時(shí)，又在上單調(diào)減且為凹的。3、選（D）,貝嘰是的拐點(diǎn)；設(shè)，貝IJ,而是的極值點(diǎn)。4、選（C）由在內(nèi)的充分必要條件是在內(nèi)（為常數(shù)），又因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以, 即在上。5、選（C ）由單調(diào)減少，6、選（D）令，貝IJ；當(dāng)時(shí)

19、，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加. 而，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根。7、選（D） 利用極限的保號(hào)性可以判定的正負(fù)號(hào):（在的某空心鄰域）；由，有，即在取極小值。8、選(B) 由極限的保號(hào)性：(在的某空心鄰域):由此(在的某空心鄰域)，單調(diào)增，又由，在由 負(fù)變正，由極值第一充分條件，是的極小點(diǎn)。9、選(B)由xx定理保證至少存在一點(diǎn)使。10、選(C) , A選項(xiàng)在不連續(xù)，B選項(xiàng)在處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)。11、選(B),如在單增，但，故非必要條件。12、選(C),由有，所以在處取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限2jaiccosx=lun r.v->-r11Vl-x2(1)解：

20、=血 11_ _1I-廣 Jawcosx Jl-x V2/r2jx +1解:解：解：解：o解： bx cos2 (bx) a .=lim_乙=1er ax cos(or) b2、(1)證明：令，則在上連續(xù)微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案/ fx) = In 67 - > 0 x g a9b x在上單調(diào)增加，得，即(2)令在時(shí),在上單調(diào)增，又,即3、解：xx林公式而34X8/. y = x smx = x+ + -73!5!對(duì)比的系數(shù)有：4、解:5、即證：令，則在上滿足xx日定理的條件,使即即6、解：設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，則有比例關(guān)系- hf'2J/尸 + R2 下h_2r:.V

21、= - 7iR2h = -7T- (h > 2r)33 h-2rdv _ 1嚴(yán)訕一 2廠)一仔_診滬(2) dh(/? - 2r)2(/?-2r)2令唯一駐點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，體積最小，此時(shí)7、解：由題設(shè)可知在上存在，又，由xx定理，使，又，可知在上滿足xx定理，于是，使，又，對(duì)在上再次利用xx定理，故有，使得。第四章不定積分一、填空題、二O2、二3、二4、二o5、二o6、二o7、二o8、二o9、o10、O12、o二、單項(xiàng)選擇1、對(duì)于不定積分，下列等式中()是正確的.(A) ；(B)；(C)；(D) o2、函數(shù)在上連續(xù)，則等于()(A)；(B)；(C)；(D) o3、若和都是 的原函數(shù)，則()

22、(A)；(B)；(C)(常數(shù))；(D)(常數(shù))。4、若，貝 IJ ()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o5、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則()(A) ；(B)；(C) ；(D) o6、設(shè)，貝 IJ ()(A) ；(B)；(C) ；(D) o7、()(A) ；(B)；(C) ；(D) o8、若的導(dǎo)函數(shù)為，則的一個(gè)原函數(shù)是()(B) ；(C) ；(D) o9、為可導(dǎo)函數(shù)，且，又，貝4 ()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o10、()(A) ；(B)；(C) ；(D)。11、二()(A) ；(B) ；(C)；(D) o12、二()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題

23、(1) ; (2)；(3) ； (4)；(5) ； (6) o2、設(shè),當(dāng)時(shí)求。3、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，且，求。4、確定A、B使下式成立5、設(shè)的導(dǎo)數(shù)的圖像為過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的拋物線，開(kāi)口向下，且的極小值為2,極大 值為6,求。第四章不定積分習(xí)題解答填空題1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、=xfx) - J df(x) = W) - /W + C11、令，貝IJ原式=V2 j /(-) = arctan(-) + C =yf2 arctan('-) + C (/ + 1 2 212、二、選擇題1、選（D）。由，知（A）、（B）、（C）選項(xiàng)是錯(cuò)的，故應(yīng)選D。2、選（B） o由微分的定義知

24、。3、選（C）。函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。4、選（B）兩邊對(duì)微分得2 a -/. /（x） = J fx）dx = 13xdx = -x3 +C5、選（B）原式=x2 - 111X4- f dx =x （2 in x + 丄）+ C22246、選（C）7、選（D）= x-2 一-dx = x-2 一-一dexJ 0 + 10J e ex + l)=x-2j丄 )dex = x-2x+21n | +11 + C =-x + 21n | er +11+C8、選(B)由題意知，的原函數(shù)為，取，故選B。9、選（C）由兩邊求導(dǎo)得,又，所以，所以，又因?yàn)?，所以?0、選（D）做積分各斷習(xí)題及詳

25、細(xì)答案11、選(B) o12、選(B) o三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題解：；(2) 解：(3) 解：=-ll- x2 aiccosx+ f yjl-x2 ()dxJyJl-X2(4) 解：令，貝得"dt解:解:1 +微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案2、解:Y| fr(x) = l-2x+ = -2x0 <x <siii2l1-xx-1:.f(x) = j fx)dx = j(2x- )dx = -x2 -In | x-l| + C =-x2 -111(1 -x) + Cl-cos4x . ax23、解：對(duì)兩邊積分:J f(x)F(x)dx = J siii2 2xdx =>

26、; J F(x)dF(x) = j1 y 1F2(x) =shi4x+ C2 2 8由知又得(l-cos4x)= F(x) = |(x-lsui4x + lp 4、解：由整理得1- B-2Bcosx(1 + 2 cos x)dx =A siii x1 + 2cosx由不定積分的定義：有即對(duì)此導(dǎo)數(shù)：，（也可直接兩邊求導(dǎo)求解）5、解：設(shè)由，.由. fx) = ax2 - 2ax令駐點(diǎn),又,為極小值點(diǎn),為極大值點(diǎn),而由/. /(x) = -X3 +3x2 + 2第五章定積分一、填空題、二O2、二o3、。4、。5、o6、o7、設(shè)在上連續(xù)，貝IJ。8、設(shè)在上連續(xù)，且，貝IJ。9、。10、O11、O12、

27、,o3、o二、單項(xiàng)選擇1、()(A)0 ；(B) e ；(C) ln2 ；(D)1。2、若，則等于()。(A)；(B)；(C)；(D) 0 o3、定積分的值是()。(A) 0 ；(B) 2 ；(C) 2e2+2；(D)。4、設(shè)連續(xù)，已知，則2 ()(A)1/4 ；(B)1 ；(C) 2 ；(D) 4 o5、若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于()o(A) ；(B)；(C)；(D) o6、設(shè)，則有()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o7、設(shè)則當(dāng)時(shí)，是的(A)等價(jià)無(wú)窮??；(B)同階但非等價(jià)無(wú)窮??；(C) xx無(wú)窮??；(D)低 階無(wú)窮小。8、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于()(A) ；(B)；(C) ；(D

28、) o9、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的根有()(A) 0個(gè)； (B) 1個(gè)； (C) 2個(gè)； (D)無(wú)窮多個(gè)。10、設(shè)連續(xù)，則()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o11、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則二()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o12、二()(A) 1 ；( B) 0 ；(C) ；(D) o三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1); (2)；(3)； (4)；(5)； (6)o2、已知在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，求O3、設(shè)其中，求。4、證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根。5、已知在上連續(xù)，且，證明，其中6、已知在上連續(xù)，定義，證明，并求。微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案第五單元 定

29、積分習(xí)題解答一、填空題1、2、o3、o4、o5、o6、7、兩邊求導(dǎo)：，令得8、29、=liin (lii%-lii -Jx2 +1)一 0 + *ln2 = *ln210、011、 ,J 廣(x)dx= f(x)+Cf fX2x)dxu = 2xbf(u)u = |/(«)巧=|/(2)-/(2r/)12、原式=2(siii+ cos) |o/_ -(cos+ siii) 2 = 4(V2-1)二、選擇題1、選(C)r 1 1=Inn (+;,-*x n 1一1 + 1 + n5 +)= r- = ln(l + x)o =111221 n Joi + x1 + n2、(A)3、(C)

30、4、(D)5、選(B )兩邊求導(dǎo)6、選(D) 因?yàn)椋?、選(B)8、選(A)。9、選(B)因?yàn)椋瑒t有又可知是嚴(yán)格增的，由介值定理知存在唯一的一個(gè)，使。10、選(A)首先通過(guò)積分換元，把被積函數(shù)中的參變量“解脫”出來(lái)：空空x2-r=u1 ro1 °F£ tf(x2-r)dt = -£ /(x2 -r2)J(x2 -/2) =-£= -£ f(u)du由此，原式二。11、選(A)設(shè)，則有恒等式。為求常數(shù)，兩邊取由0到1的積分得，解得。由 此，。12、選(A)三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題解：令得n龍£2 8sui31 2cos/ 2cosf

31、df = 32丁 (cox-l)cos2 tdcostJ 5164= 32( cos x cos r)-=53015解:解:解:f + 2f(1 +Jx = + £2(1 + 2 cos2x + cos2 2x)dx3亍1=+ X12o 212 2 o-1i 1 i 1三 龍$3龍2 Io +2SU12xI° +4%l° +§皿】4期才=jy + g2、解:血1L/(")" + h(“)_ 血 /(x) + /V)+ h'(x)IT12 6(12 一 X) TT12612x9976= 19943、解:J1 X+“u(ll +

32、1)“)+3：器 =1 半力=11；= -lir xr v 111 t .=dtt(t +1)d/+丄旦 + 旦mt(t +1) Ji 1 + r r(r +1)4、解:做積分各斷習(xí)題及詳細(xì)答案令駐點(diǎn)在內(nèi)，單調(diào)增加.在內(nèi)，單調(diào)減少又而在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)即方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根5、解：證：其中=| 廣（g）xdx冃芋廣（勺©冃手廣憶）|讐6、解："=”力 + M 一 M（x）= g（x）/r（x）dx = g（x）dx即而第六章定積分的應(yīng)用一、填空題1、由曲線及軸所圍成平面區(qū)域的面積是2、由曲線及直線所圍成平面區(qū)域的面積是3、由曲線所圍成平面區(qū)域

33、的面積是 o4、由曲線與直線所圍成平面區(qū)域的面積是 o5、連續(xù)曲線直線，及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積O6、拋物線及直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積o7、漸伸線，上相應(yīng)于從0變到的一段弧長(zhǎng)為o8、曲線與軸所圍成的圖形的面積。9、界于之間由曲線所圍圖形的面積o10、對(duì)數(shù)螺線自到的弧長(zhǎng)。11、心形線和直線圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為選擇丿1、曲線及軸所圍圖形的面積()。(A) ；(B) ；(C) ；(D) o2、曲線所圍面積()。(A) ；(B)；(C) ；(D) o3、曲線及所圍面積()。(A) ；(B) ；(C) ；(D) o4、曲線上一段

34、弧長(zhǎng)()。(A) ；(B)；(C) ；(D) o5、雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為()(A) ；(B)；(C)；(D)。微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案6、繞軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為O(A) ；(B)；(C) ；(D) o7、曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的xx ()(A) ；(B)；(C) ；(D) o8、曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng)的()(A ) 1 倍； (B ) 2 倍； (C ) 3 倍；(D) 4 倍。三、計(jì)算解答1、求拋物線及其在和處的切線所圍成圖形的面積。2、求雙紐線所圍圖形的面積。3、求由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。4、求擺線的一拱及繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。5、求心形線的

35、全長(zhǎng)，其中是常數(shù)。6、求由曲線及所圍圖形的面積。7、計(jì)算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。第六單元定積分的應(yīng)用習(xí)題解答一、填空題1、1與及軸交點(diǎn)為，取微積分變量則S = e-ev)dx = ex0-exi0=l2、與交點(diǎn)為，取微積分變量則3、4、o5、由旋轉(zhuǎn)體體積公式知:6、o8、，零點(diǎn)為則9、c osx - sin x）dx = 4>/2n5龍r?r （cosx-suix）dx + # （sinx-cosx）dx + 龍（10、由極坐標(biāo)弧長(zhǎng)公式得所求的弧長(zhǎng)s = Jk（e）+k ®de =J （嚴(yán)）2 + 嚴(yán)）2de =r yh

36、 + a2ea6dO = 4"（£“° -1）Joa11、由得，時(shí)，由元素法選擇J1、選(C) o以為積分變量，以為積分變量。2、選(D) o由極坐標(biāo)曲邊扇形面積公式，知3、選（D） o o微積分各帝:習(xí)題及詳細(xì)答案4、選(B) o o5、選(A) o由方程可以看到雙紐線關(guān)于軸、軸都對(duì)稱，只需計(jì)算所圍圖形在 第一象限部分的面積；雙紐線的直角坐標(biāo)方程比較復(fù)雜而極坐標(biāo)方程較為簡(jiǎn) 單：。其在第一象限部分的變化范圍是：。再由對(duì)稱性得6、選(B) o繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積7、選(C)。從而弧長(zhǎng)元素，所求弧長(zhǎng)為8、選(A) o設(shè)為曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)，為橢圓的周長(zhǎng)，顯然,將

37、橢圓化成參數(shù)方程則從而有二。三、計(jì)算解答1、解：切線方程分別為和，其交點(diǎn)坐標(biāo)是,2、解:由對(duì)稱性。3、解：。4、解:5、解：由極坐標(biāo)系下的弧微分公式得由于以為周期，因而的范圍是。又由于，心形線關(guān)于極軸對(duì)稱。由對(duì)稱性,O6、解：由于在處取極小值所以可得所圍圖形面積為O7、解：取固定直徑為軸，為積分變量且，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的立體截面面積為于是。第七八章多元函數(shù)微積分（以課件例題為主）第九章微分方程一、填空題1、方程是階微分方程。2、以函數(shù)為通解的微分方程是。3、設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，則該曲線所滿足的 微分方程為。4、連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則二。5、微分方程的通解。6、以為特征根

38、的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。7、判斷對(duì)錯(cuò)：(填“正確”或“錯(cuò)誤”)(1) 所有微分方程都存在通解。(2) 微分方程的通解包含了所有的解。(3) 設(shè)為某二階微分方程的解，其中為任意常數(shù)，則此解是該方程的通解。(4) 若函數(shù)是一階線性微分方程兩個(gè)不相同的特解，則就是該方程的通解。8、若是全微分方程，則函數(shù)應(yīng)滿足。9、已知是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為。10、微分方程滿足初始條件的特解。11、求方程的通解時(shí)可令，貝IJ。12、微分方程的通解為。二、選擇題1、下列方程中()是常微分方程(A)； (B)； (0； (D)o2、下列方程中()二階微分方程(A)； (B)；(C)；

39、 (D)o3、微分方程的通解是()，其中均為常數(shù)(A)； (B)；(C)； (D)o4、一曲線在其上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于，這曲線是()(A)直線；(B)拋物線；(C)圓；(D)橢圓。5、下列微分方程:(1) ,(2) ,(3)中，線性微分方程是()(A) (1) ； (B) (2) ； (C) (3) ； (D) (1)、(2)、(3)均不是。6、曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且滿足微分方程，則當(dāng)時(shí)，()(A)0； (B)l； (C)2； (D)4o7、已知微分方程有一特解，則此方程通解為()(A) ；(B) ；(C) ；(D) o8、設(shè)是方程的解，若，且，則在點(diǎn)()(A)取得極大值；(B)取得極小值；(0

40、某鄰域內(nèi)單調(diào)增；(D)某鄰域 內(nèi)單調(diào)減。9、若和是二階齊次線性方程的兩個(gè)特解，、為任意常數(shù)，則()(A)是該方程的通解；(B)是該方程的特解；(C)是該方程的解；(D)不一定 是該方程的解。10、曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處切線與直線平行，而滿足方程，則曲線方 程是()(A)； (B)； (0 ； (D) o11、微分方程的特解的形式為()(A)； (B)； (0； (D)o12、微分方程的特解的形式為()(A)；(B)；(0；(D) o三、計(jì)算解答1、驗(yàn)證由方程所確定的函數(shù)是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：(1) :(2) ；(3) ；(4) ,；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；（

41、9）；（10）O3、設(shè)，為可微函數(shù)，求。4、已知，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)。5、設(shè)都是方程的特解，且不恒等于常數(shù)，證明為方程的通解（其中為任意 常數(shù)）。6、一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間xx （比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到阻力，阻力和速度xx （比例系數(shù)為），試求此質(zhì)點(diǎn)的速度和時(shí)間的關(guān)系。第九章微分方習(xí)題解答一、填空題1、微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，因此該 方程是三階微分方程。2、該通解中含有兩個(gè)任意常數(shù)，可見(jiàn)其所對(duì)應(yīng)的方程應(yīng)是二階的，對(duì)分別 求一階和二階導(dǎo)數(shù)得:,三個(gè)式子xx立消去得，即為所求。另解，直觀看出是某二階常

42、系數(shù)線性齊次微分方程的通解，而該二階常系 數(shù)線性齊次微分方程的特征根為，其對(duì)應(yīng)的特征方程為，從而對(duì)應(yīng)的微分方程 是。3、設(shè)曲線為，則由題意有：即為所求。4、對(duì)兩邊求導(dǎo)得，解此微分方程得，即，又由可知，代入求得，從而。5、該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根， 從而通解為。6、以為根的一元二次方程是，從而對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。7、（1）錯(cuò)誤，例如微分方程，該方程只有解，顯然這不是通解。（2）錯(cuò)誤，例如微分方程，易求得該方程的通解為，又知也是方程的解， 顯然不包含在xxo（3）錯(cuò)誤，因?yàn)橹械牟皇窍嗷オ?dú)立的，事實(shí)上，可見(jiàn)該解中只含有一個(gè) 任意常數(shù)。（4）正確，根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，由于不相等，所以線性無(wú)關(guān) 且是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，從而是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，因此就是該方程的通解。8、。9、根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，和是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的解，又 這兩個(gè)解是線性無(wú)關(guān)的，所以是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解，從而是該非齊 次線性微分方程的通解10、方程中不顯含未知函數(shù)，因此作變量代換令，貝IJ,代入方程得，變量 分離法解此方程得，即，代入初始條件得，于是，兩邊積分得，代入初始條件 得，所以所求特解為。11、方程不顯含自變量，因此作變量代換時(shí)應(yīng)令，貝IJ。12、