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1、相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題一、動(dòng)點(diǎn)型例1如圖,已知等邊三角形 ABC中,點(diǎn)D, E, F分別為邊AB , AC, BC的中點(diǎn),M為 直線BC上一動(dòng)點(diǎn), DMN為等邊三角形(點(diǎn)M的位置改變時(shí), DMN也隨之整體移動(dòng)).(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),請(qǐng)你判斷 EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?點(diǎn) F是否在 直線NE上?都請(qǐng)直接寫出結(jié)論,不必證明或說明理由;(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí),其它條件不變,(1 )的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是 否仍然成立?若成立,請(qǐng)利用圖2證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;(3) 若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形,并判斷(1)的結(jié)論中EN與 MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然
2、成立?若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論,不必證明或說明理由.15圉例2、如圖,在矩形 ABCD中,AB=12cm , BC=8cm .點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn) 同時(shí)出發(fā),沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng). 點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s,點(diǎn)F的速度為4cm/s, 當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G (即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合)時(shí),三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)開始后第t秒時(shí), EFG的面積為 S ( cm2)(1 )當(dāng)t=1秒時(shí),S的值是多少?(2) 寫出S和t之間的函數(shù)解析式,并指出自變量 t的取值范圍(3) 若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng),當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn) E、B、 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似?請(qǐng)說明理由.
3、遷移應(yīng)用1如圖,已知 ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分 別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q 到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t( s),(1 )當(dāng)t= 2時(shí),判斷 BPQ的形狀,并說明理由;(2 )設(shè)厶BPQ的面積為S (cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;(3)作 QR/BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié) PR,當(dāng)t為何值時(shí), APRs PRQ?2、如圖,在直角梯形 ABCD 中,AB / DC,/ D=90o, AC丄 BC, AB=10cm,BC=6cm, F 點(diǎn) 以2cm/秒的速度在線段 AB
4、上由A向B勻速運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段 BC 上由B向C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒(0<t<5).1) 求證: ACDBAC;2) 求:DC的長(zhǎng);t的值;3) 試探究: BEF可以為等腰三角形嗎?若能,求 若不能,請(qǐng)說明理由.3、如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD / BC,/ B=90° , AD=6 , BC=8 , AB=3 .3,點(diǎn) M是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿 BM返回;點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線 MC上勻 速運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過程中,以PQ為邊作等邊三
5、角形 EPQ,使它與梯形ABCD在射 線BC的同側(cè).點(diǎn)P, Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn) P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q也隨之停止.設(shè) 點(diǎn)P, Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t > 0).(1 )設(shè)PQ的長(zhǎng)為y,在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中,寫出 y與t之間的函數(shù)關(guān)系式 (不必寫t的取值范圍);(2) 當(dāng)BP=1時(shí),求 EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積;(3) 隨著時(shí)間t的變化,線段 AD會(huì)有一部分被 EPQ覆蓋,被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值,請(qǐng)回答:該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段?若能,一直接寫出t的取值范圍;若不能,請(qǐng)說明理由.貝 二、動(dòng)點(diǎn)加動(dòng)線例1、如圖,在 Rt ABC中,/ C=90
6、76; , AC=3 , AB=5 .點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn) A后立刻以原來的速度沿 AC返回;點(diǎn)Q從點(diǎn)A 出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著 P、Q的運(yùn)動(dòng),DE保持垂直 平分PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B 時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn) P也隨之停止.設(shè)點(diǎn) P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t> 0).(1 )當(dāng)t=2時(shí),AP=,點(diǎn)Q到AC的距離是 ;(2) 在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中,求 APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出 t 的取值范圍(3) 在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形Q
7、BED能否成為直角梯形?若能, 求t的值.若 不能,請(qǐng)說明理由;R(4 )當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.遷移應(yīng)用1、如圖,已知矩形 ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm , BC=6cm .某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn) M從A點(diǎn)出發(fā)沿 AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn) N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s 的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),問:是否存在時(shí)刻 t,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與 ACD相 似?若存在,求t的值.2、如圖,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn) P在射線AD上,過P作PF丄AE 于 F.(1) 求證: PFAABE ;x,使以P, F, E為頂點(diǎn)的三角(2) 當(dāng)點(diǎn)P
8、在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)形也與 ABE相似?若存在,請(qǐng)求出x的值; 若不存在,說明理由.3、如圖,已知 A (8, 0), B (0, 6),兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)在 OAB的邊上按逆時(shí)針方 向(t Of A t B t Of)運(yùn)動(dòng),開始時(shí)點(diǎn) P在點(diǎn)B位置,點(diǎn)Q在點(diǎn)O位置,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速 度為每秒2個(gè)單位,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位.(1) 在前3秒內(nèi),求 OPQ的面積S與時(shí)間t之間的關(guān)系式;并求出 OPQ的最大面積;(2) 在前10秒內(nèi),秋P、Q兩點(diǎn)之間的最小距離,并求此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);(3) 在前15秒內(nèi),探究PQ平行于 OAB 邊的情況,并求平行時(shí)點(diǎn) P、Q的坐標(biāo).x
9、4、已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, ABC是直角三角形,/ ACB,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為 A(-3,0) , C(1,O),BCAC(1) 求過點(diǎn)A、B的直線的函數(shù)表達(dá)式;(2) 在X軸上找一點(diǎn)D,連接DB ,使得 ADB與厶ABC相似(不包括全等),并求點(diǎn)的坐標(biāo);(3) 在(2)的條件下,如 P、Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn),連接 PQ,設(shè)AP=DQ=m,問是否存在這樣的 m使得 APQ與厶ADB相似,如存在,請(qǐng)求出 m的值;如不存在,請(qǐng)說明理由.5、如圖,四邊形在Y軸上,將邊EADAOABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)CBC折疊,使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處.已知折疊
10、CE= 5 5,且(1) 判斷OCD與厶ADE是否相似?請(qǐng)說明理由;(2) 求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo);(3) 是否存在過點(diǎn) D的直線L ,使直線L、直線CE與x軸所圍成的三角形和 CDE相似?如果存在,請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線;如果不存 在,請(qǐng)說明理由.6、A ABC中,AB=AC=5 , BC=6,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊以每秒1的速度向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CA邊以每秒2的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),DE保持垂直平分PQ,且交PQ于 點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.點(diǎn)P, Q分別從B, C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)Q、 p停止運(yùn)動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x.1) 當(dāng)x=秒時(shí),射線DE
11、經(jīng)過點(diǎn)C;2) 當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)四邊形 ABPQ的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;x3) 當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.7、如圖,梯形 ABCD 中,AD / BC, AB=CD=20cm , AD=40cm,/ D=120 °,點(diǎn) P、Q 同 時(shí)從C點(diǎn)出發(fā),分別以2cm/s和1cm/s的速度沿著線段 CB和線段CD運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D, 點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s)(1 )當(dāng)t為何值時(shí), CPQ與厶ABP相似;(2)設(shè)厶APQ與梯形ABCD重合的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量的取值8、如圖,直角梯形 ABCD 中,AB / DC,/
12、 DAB=90 ° , AD=2DC=4 , AB=6 .動(dòng)點(diǎn) M 以每 秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度,從點(diǎn) A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度,從點(diǎn) C沿 折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 過點(diǎn)M作直線I / AD , 與線段CD的交點(diǎn)為E,與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q.點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (秒).(1 )當(dāng)t=0.5時(shí),求線段QM的長(zhǎng);(2) 當(dāng)Ov t V2時(shí),如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形,求t的值;CQ(3) 當(dāng)t> 2時(shí),連接PQ交線段AC于點(diǎn)R .請(qǐng)?zhí)骄縌是否為定值,若是,試求這個(gè)定RQ值;若不是,請(qǐng)說明理由.9、如圖 1,
13、直角梯形 ABCD 中,/ A= / B=90° , AD=AB=6cm , BC=8cm,點(diǎn) E 從點(diǎn) A 出 發(fā)沿AD方向以1cm/s的速度向中點(diǎn) D運(yùn)動(dòng);點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)F中有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn),另一點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1 )當(dāng)t為何值時(shí), AEF和厶ACD相似?(2)如圖2,連接BF,隨著點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng),四邊形 ABFE可能是直角梯形?若可能,請(qǐng)求出t的值及四邊形 ABFE的面積;若不能,請(qǐng)說明理由;(3)最大值是多少?圉310、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.四邊形OABC是平行四邊形直線I經(jīng)過0、C兩點(diǎn).點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(11, 4),動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿 AtC的 方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,與折線 0 C
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