2016年高考真題——理數(shù)(新課標(biāo)卷)word版(含答案)

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型：A2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置.3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效.4. 考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)(2)(3)(4)已知集合 A =x|x2 -4x 3 ： 0 , B=x|2x-30，則 A B =3(A) ( -3,)2設(shè)(1 i)x =1 yi ,(A) 1已知等差數(shù)列(A)

2、98某公司班車在/ c 3、(B) (-3,)2其中x , y是實(shí)數(shù)，則| x yi | =(B)、2(C)a*前9項(xiàng)和為27,印。=8，則印。二(B) 99(C)(C)(1|)(D)(1,3)(5)(6),3(D)977:30 , 8:00 , 8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá) 發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)1(A)-3100(D)(B)10分鐘的概率是2(C)-33(D)-42x2小2m n 3m - n(A) (0,3)( B)已知方程=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)之間距離為4，貝U n的取值范圍是(-1, -3)(C) (-1,3)(D)

3、 (0, 一 3)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是(A) 20'：(C) 17 二匹，則它的表面積是3(B) 18二(D) 28-第12頁(yè)共8頁(yè)(7)函數(shù)y =2x2 -e在-2,2的圖像大致為(8) 若 a b 1, 0 ： c : 1，則(A) alogbc : bloga c(C) ac :：: bc(9) 執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 則輸出的x，y的值滿足(A) y =4x(B) y =3x(C) y =2x(D) y =5xcc(B) ab : ba(D) gc gcx =0 , y =1，n =1，(10) 以拋物

4、線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交 C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|=42 , |DE 2.5，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A) 2( B) 4(C) 6(D) 8(11) 平面:過(guò)正方體 ABCD -ABQDj的頂點(diǎn)A , : /平面CB1D1 , 平面ABCD , 一叮 平面ABBA = n，則m , n所成角的正弦值為V3<2<31(A)( B)( C)(D)-3 223苗JE31TE(12) 已知函數(shù) f (x) =s in (cox +®)( >0 ,), x = - ;為 f (x)的零點(diǎn)，x=：為 y = f (x)圖兀 5兀，亠像的對(duì)稱軸，且f

5、 (x)在(,)單調(diào)，則；：;的最大值為18 36(A) 11( B) 9(C) 7(D) 5第口卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題一一第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第(22) 題一一(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分.(13) 設(shè)向量 a =(m,1), b = (1,2)，且 |a + b |2=| a |2 十| b|2，則 m =.(14) (2x + Jx)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)(15) 設(shè)等比數(shù)列an滿足a10 , a2 a5，則aa2an的最大值為 (16) 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品

6、B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一 件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg，乙材料 90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為 元.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(17) (本小題滿分12分)A B C的內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c ,已知 2cosC(a cosB b cosA) = c (i)求 C ；3/3(n)若c 7 , ABC的面積為

7、 ' ，求 ABC的周長(zhǎng).CD2(18)(本小題滿分12分)如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點(diǎn)的五面體中，面 ABEF 為正方形， AF 2FD , . AFD 90 , 且二面角D - AF -E與二面角C - BE - F都是60 (I)證明：平面 ABEF 平面EFDC ；(n)求二面角 E - BC - A的余弦值.(19) (本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以 額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè) 500元現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并

8、整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(I)求X的分布列；(n)若要求P(X " n) -0.5，確定n的最小值.(III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n =19與n =20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？(20) (本小題滿分12分)設(shè)圓x2 y2 2x-15 = 0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，I交圓A于C、D兩點(diǎn)， 過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E (I)證明|

9、EA| |EB |為定值；(n)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線 G，直線l交G于M、N兩點(diǎn)，過(guò)B且與I垂直的直線與圓 A交于P、 Q兩點(diǎn)，求四邊形 MPNQ面積的取值范圍.(21) (本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) = (x2)ex a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(n)設(shè)為、X2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1 X2 < 2 請(qǐng)考生在第(22)、( 23)、( 24)三題中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做, 則按所做的第一題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.(22) (本小題滿分10分)選修4 1:幾何證明選講如圖，；OAB是等腰三角形，.A

10、OB =120 以O(shè)為圓心，11 OA為半徑作圓.2(I)證明：直線 AB與圓O相切；(n)點(diǎn)C、D在圓O上，且A、B、C、D四點(diǎn)共圓,B證明：AB/CD (23) (本小題滿分10分)選修4 4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程x = a cost,在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為丿(t為參數(shù)，a>0 ).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極y = 1 +asi nt,點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2 : ' =4cosr .(I)說(shuō)明G是哪一種曲線，并將 G的方程化為極坐標(biāo)方程;(n)直線C3的極坐標(biāo)方程為v - ： o,其中：o滿足tan=2,若曲線G與C?的公共點(diǎn)都在C3上,求a.(24)

11、 (本小題滿分10分)選修4 5:不等式選講 已知函數(shù) f (x) =|x 1| - |2x -3|.(I)畫出y = f (x)的圖像；y(n)求不等式| f(x)| 1的解集.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題答案(A卷)選擇題答案一選擇題(1) D(2) B(3) A(4) B(5) C(6) C(7) D(8) A(9) A(10) B(11) C(12) B非選擇題答案二.填空題(13) -2(14)10(15)64(16) 216000三解答題(17)解：(I)由已知及正弦定理得,2coC(siAcoB si rBcoA) = si r ,即 2coCsinA +

12、B)=sirC.故 2 sin C cosC = sin C .1可得cosC，所以C 6分231 3 i'3(n)由已知，absin C =：2 2n又C ，所以ab = 6 .3由已知及余弦定理得，a2 b2 - 2ab cosC =7 .故 a2 b2 =13，從而(a b)2 = 25.所以.ABC的周長(zhǎng)為51 12分(18)解:(I)由已知可得 AF _ DF , AF _ FE，所以AF _平面EFDC .又AF二平面ABEF，故平面ABEF 平面EFDC 4分(n)過(guò)D作DG _ EF，垂足為G，由(I)知 DG _平面ABEF .a y以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正

13、方向，|GF |為單位長(zhǎng)， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G -xyz .由(I)知/DEF為二面角D - AF - E的平面角，故.DFE =60，則 |DF |=2 , |DG|= 3 ,可得 A(1,4,0) , B(-3,4,0) , (-3,0,0) , D(0,0, . 3)6分由已知，AB/EF，所以AB/平面EFDC .又平面 ABCD 平面 EFDC =CD，故 AB /CD , CD / EF .由BE /AF，可得BE _平面EFDC，所以.CEF為二面角C - BE - F的平面角，CEF -60 從而可得 C2,0, 3).所以 EC =(1,0 .3) , EB= (

14、0,4,0), AC = (-3,-4, . 3), AB = (-4,0,0) 設(shè)n -(x, y,z)是平面BCE的法向量，貝V1E£=o,即 Jx+娛 7、n EB =0,、4y =0.所以可取n =(3,0,i 3).rF *設(shè)m是平面ABCD的法向量，則m 'AC =°,m AB = 0.同理可取m= (0, .3,4) 則- n m-4,3cos ： n, m =|n |m|2j3 漢 J192.19 -19故二面角E 一 BC _A的余弦值為_(kāi)厶19 12分19(19)解:(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需要更換的易損零件數(shù)為8 ,

15、 9 , 10 , 11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2 從而p(X =16) 72 0.2=0.04 ；P(X =17) =2 0.2 0.4 =0.16 ；P(X =18) =2 0.2 0.2 0.4 0.4 = 0.24 ；P(X =19) =2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 =0.24 ；P(X =20) =2 0.2 0.4 0.2 0.2 =0.2；P(X =21) =2 0.2 0.2 =0.08 ；P(X =22) =0.2 0.2 =0.04 所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.045分(n)由(

16、I)知， P(X 乞 18) =0.44 , P(X 乞 19) =0.68，故 n 的最小值為 198分(III )記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元) 當(dāng)n =19時(shí)，E(Y) =19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08+ (19 匯 200 +3 漢500) 7.04= 4040當(dāng)n =20時(shí)，E(Y) =20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 200 2 500) 0.04 4 0 8 0可知當(dāng)n =19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n =20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n =1912分由(i)

17、知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826 ,依題知 X B(100,0.6826)，所以 E(X) =100 0.6826 = 68.26 (20)解：(I)因?yàn)?|AD |=| AC|, EB / AC，故.EBD ACD = . ADC 所以 | EB|=| ED |，故 | EA| |EB| EA |ED |=| AD | 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x，1)2 y2 =16，從而| AD |=4，所以| EA | | EB |= 43分由題設(shè)得A(-1,0) , B(1,0) , |AB| = 2，由橢圓定義可得點(diǎn) E的軌跡方程為：2 2 11 ( y =

18、 0)6分4 3(n)當(dāng) I 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) I 的方程為 y =k(x -1) , ( k H 0), M (X|, y1) , N (x2, y2). "y =k(x -1),由咗+< _得(4k2 +3)x2 _8k2x+4k2 _12=0 7 3 f貝 y x1 x2 =8k24k2 3x1 x224k -124k2 312(k21)4k23所以 | MN |= 1 k2 |X1 -X2 F1 2過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與丨垂直的直線 m : y (x -1), A到m的距離為 kJk2+1故四邊形MPNQ的面積S弓MN|PQ"1 4k2 .3可得當(dāng)丨與x軸

19、不垂直時(shí)，四邊形 MPNQ的面積的取值范圍為(12,8 3).可得當(dāng)丨與x軸垂直時(shí)，其方程為 x=1 , |MN |=3 , |PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12 12,8 3).12分綜上，四邊形MPNQ的面積的取值范圍為(21)解:(I) f (x)二(x -1)ex 2a(x 一1) = (x _1)(ex 2a).(i) 設(shè) a = 0，則 f (x) =(x-2)ex, f (x)只有一個(gè)零點(diǎn).(ii) 設(shè) a 0，則當(dāng) x (-：,1)時(shí)，f (x) :：: 0 ; 當(dāng) x (1,：)時(shí)，f (x) . 0. 所以f (x)在(,1)單調(diào)遞減，在(1,.二)單調(diào)遞增.a又 f(

20、1)=e , f(2)=a，取 b .0 且 b : ln，貝Ua223f(b) (b -2) a(b -1) -a(b - b) 0 ,2 2故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).(iii )設(shè) a ：0,由 f (x) =0 得 x =1 或 x=l n( _2a).e若a ，則ln (-2a)乞1，故當(dāng)(1,=)時(shí)，f (x) 0 ,因此f (x)在(1,=)單調(diào)遞增.又當(dāng)x _1時(shí)f(x) ：0，所以f (x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).e若 a ，貝U ln (2a) 1 ,故當(dāng) x (1,ln(-2a)時(shí),f (x) ： 0 ;當(dāng) x (ln(-2a),：)時(shí)， f (x) 0 因此f(x)在(1,l n(

21、-2a)單調(diào)遞減，在(ln (-2a),：)單調(diào)遞增又當(dāng)x乞1時(shí)f(x)：0,所以 f (x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0,=).(n)不妨設(shè) 為：x2 .由(I)知，(一卩1), x2 (1, ：) , 2 -x2 (一1), f (x)在(-：,1)單調(diào)遞減，所以 xx2：2 等價(jià)于 f(xj f(2-x2)，即 f(2_x2)：0 .由于 f (2-x2)-x2e2”2a(x2-1)2,f (x2)= (x2 -2)ex2a(x2-1)2= 0 ,所以 f(2 -x2) = x2e2以 -(x2 -2)ex2.設(shè) g(x) - -xe2' -(x -2)ex，則 g

22、(x) = (x -1)(e2 - ex). 所以當(dāng)x1時(shí)，g (x) : 0，而g(1)=0，故當(dāng)x1時(shí)g(x) ： 0.從而 g(x2)= f(2 X2)： 0，故X2 : 212分(22)解:(I)設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接OE .因?yàn)?OA =OB , AOB =120，所以 OE _ AB , AOE =60 .d 一 C2所以直線 AB與圓O相切5分(n)因?yàn)?OA=2OD，所以O(shè)不是A、B、C、D四點(diǎn)所在圓的圓心. 設(shè)O 是A、B、C、D四點(diǎn)所在圓的圓心，作直線 OOI在Rt AOE中，OE AO，即O到直線AB的距離等于圓O的半徑，O '由已知得0在線段AB的垂直平分線上，又 0 在