中考數(shù)學(xué) 輔助線

1、幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形

2、中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形 平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角

3、平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果（1）構(gòu)造基本圖形；

4、（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。下面通過近年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。一、構(gòu)造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們

5、單獨表述。典型例題：例1.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.例2.（2012江蘇宿遷3分）已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，若ACBD，且ACBD，則四邊形EFGH的形狀是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形?！究键c】三角形中位線定理，矩形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。 E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，根據(jù)三角形中位線定理，HEABGF，HGACEF。又ACBD，EHG=HGF=GFE=FEH=900。四邊形EFGH是矩形。且ACBD，四邊形EFGH鄰邊不相等。四邊形EFGH不可能是菱形。例3

6、.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到AME當(dāng)AB=1時，AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時，AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，AME的面積記為S3；當(dāng)AB=n時，AME的面積記為Sn當(dāng)n2時，SnSn1= 【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運算。【分析】連接BE，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM。AME與AMB同底等高。AME的面積=AMB的面積。當(dāng)AB=n時，AME的面積為，當(dāng)

7、AB=n1時，AME的面積為。 當(dāng)n2時，。例4.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在BC邊上，且GDF=ADF。（1）求證：ADEBFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：ADBC，ADE=BFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。 E是AB的中點，AE=BE。 又AED=BEF，ADEBFE（AAS）。 （2）EG與DF的位置關(guān)系是EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF，GDF=BFE（等量代換）。GD=GF（等角對等邊）。 又ADEBFE，DE=EF（全等三

8、角形對應(yīng)邊相等）。EGDF（等腰三角形三線合一）。例5.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四邊形AGEF是平行四邊形（EFAG，EF=AG）。又AG=GE，四

9、邊形AGEF是菱形。（2）連接ON，AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，AED的外接圓與BC相切于點N，ONBC。點O是AE的中點，ON是梯形ABCE的中位線。點N是線段BC的中點。（3）OE、ON均是AED的外接圓的半徑，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在RtADE中，AD=2，AE=4，AED=30°。在RtOEF中，OE=2，AED=30°，。FG=。二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（

10、邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰ABC中，ABAC，BAC50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則CEF的度數(shù)是 【答案】50°。連接BO，ABAC，AO是BAC的平分線，AO是BC的中垂線。BOCO。BAC50°，BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，OABOAC25°。等腰ABC中，ABAC，BAC50°，ABCACB65°。OBC65°25°40°。OBCOCB40°。

11、點C沿EF折疊后與點O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002×400）÷250°。例2.（2012甘肅白銀10分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60°，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD【答案】證明：（1）ABC是等邊三角形，ABC=60°。EFB=60°，ABC=EFB。EFDC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。DC=EF，四邊形EFCD是平行四邊形。（2）連接BE。BF=EF，EFB=60°，EFB是等邊三角形。EB=E

12、F，EBF=60°。DC=EF，EB=DC。ABC是等邊三角形，ACB=60°，AB=AC。EBF=ACB。AEBADC（SAS）。AE=AD。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，過點D作DEBC，垂足為E，并延長DE至F，使EFDE聯(lián)結(jié)BF、CD、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形 【答案】解：（1）證明：連接BD。梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。AC=BF，ACB=CBF。ACB

13、F。四邊形ABFC是平行四邊形；（2）DE2BE·CE，。DEB=DEC=90°，BDEDEC。CDE=DBE，BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90°。四邊形ABFC是矩形。三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.（2012廣西柳州3分）已知：在ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長是 【答案】或a?！痉治觥糠謨煞N情況：ABC為銳角三角形時，如

14、圖1，BE為AC邊的中線。作ABC的高AD，過點E作EFBC于點F。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45°，BD=AD=a。BC=BD+CD=a。點E是AC的中點，EFAD，EF是ACD的中位線。FC=DC=a，EF=AD=a。BF=a。在RtBEF中，由勾股定理，得。ABC為鈍角三角形時，如圖2，BE為AC邊的中線。作ABC的高AD。在RtACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a。在RtABD中，ABD=45°，BD=AD=a。BC= BD=a。點E是AC的中點，BE是ACD的中位線。BE=AD=a。綜上所述，A

15、C邊上的中線長是或a。例2. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2B4 CD【答案】D。 過點N作NGBC于G，四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=CM，四邊形AMCN是菱形。CDN的面積與CMN的面積比為1：4，DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=

16、BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故選D。例3.（2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，BAC=900，CED=450，DCE=900，DE=，BE=2求CD的長和四邊形ABCD的面積【答案】解：過點D作DHAC，CED=45°，DHEC，DE=，EH=DH=1。又DCE=30°，DC=2，HC=。AEB=45°，BAC=90°，BE=2，AB=AE=2。AC=2+1+ =3+。 ?！究键c】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)

17、造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，又將CEF沿EF折疊，使點C落在EB與AD的交點C處則BC：AB的值為 。例2. （2012山東泰安3分）如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是【 】A4B3C2D1【答案】D。【考點】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥窟B接DE并延長交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E是AC中點，DE=EH。DCEHAE（AAS）。

18、DE=HE，DC=AH。F是BD中點，EF是DHB的中位線。EF=BH。BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。故選D。例3.（2012山東德州12分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）如圖1，P

19、E=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90°，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQPH，垂足為Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FMAB，垂足為M，則FM=BC=AB。又EF為折痕，EF

20、BP。EFM+MEF=ABP+BEF=90°。EFM=ABP。又A=EMF=90°，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，。，當(dāng)x=2時，S有最小值6。例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在ABC中，ACB90º，A15º，AB8，則AC·BC的值為【 】A14 B16 C4 D16【答案】D?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱LBC到點D，使CDCB，連接AD，過點D作DEAB，垂足為點E。則知ACDACB，從而由已知得C

21、ADA15º，ADAB。因此，在RtADE中，AD8，BAD30º，DEAD·sin30º4。從而SADE·AB·DE16，又SADE·BD·AC·2BC·ACAC·BC，即AC·BC16。例5. （2011山東濟(jì)南3分）如圖，在ABC中，ACB90º，ACBC，分別以AB、BC、CA為一邊向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)AEF、BND、CGM的面積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是【 】AS1S2S3 BS1S2S3

22、CS1S3S2 DS2S3S1【答案】A?！痉治觥窟^點D作DQMN交CB的延長線于點P，交MN的延長線于點Q； 過點E作ERGF交CA的延長線于點S，交GF的延長線于點R。 易證CGMCAB（SAS），即S2SABC； 易證PBDCAB（AAS），BP=AC，即S3的底為BN=BC，高為BP=AC，S2SABC；易證SEACAB（AAS），AS=BC，即S1的底為FA=CA，高為AS=BC，S2SABC。S1S2S3SABC。故選A。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點O（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC

23、的關(guān)系并說明理由【答案】解：（1）證明：在ACD與ABE中，A=A，ADC=AEB=90°，AB=AC，ACDABE（AAS）。AD=AE。 （2）在RtADO與RtAEO中，OA=OA，AD=AE，ADOAEO（HL）。DAO=EAO。即OA是BAC的平分線。又AB=AC，OABC。五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則EF= 【答案】。【分析】連接EC，AC、EF相交于點O。AC的

24、垂直平分線EF，AE=EC。四邊形ABCD是矩形，D=B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，ADBC。AOECOF。OA=OC，OE=OF，即EF=2OE。在RtCED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4CE）2+22，解得：CE=。在RtABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，CO=。在RtCEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。EF=2EO=。例2.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得

25、點B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300時，求點P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題意，OBP=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點P的坐標(biāo)為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。O

26、PB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）?！痉治觥浚ǎ┦紫冗^點P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PEOA于E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90°，EPC=QCA。PCECQA。

27、PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。例3.（2012湖南岳陽3分）如圖，ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DFBC，E為BD的中點若EFAC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為 【答案】15?！痉治觥咳鐖D，過D點作DGAC，垂足為G，過A點作AHBC，垂足為H，AB=AC，點E為BD的中點，且AD=AB，設(shè)BE=DE=x，則AD=AF=4x。DGAC，EFAC，DGEF，即，解得。DFBC，ADFABC，即，解得DF=4。又DFBC，DFG=C，RtDFGRtACH，即，解得

28、。在RtABH中，由勾股定理，得。又ADFABC，。例4. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tanNPH的值為 【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥緾MDM，HN2NE，CMCD，HNHECD，又PCMPHN，即PH2CH2CD。tanNPH。六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角、對角線、中位線的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. （2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中

29、點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A B C D【答案】B?！痉治觥窟^點E作EMBC于M，交BF于N。四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90°，AD=BC，EMB=90°，四邊形ABME是矩形。AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，EGN=A=90°，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中點，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=

30、5。故選B。例2. （2012四川德陽3分） 如圖，點D是ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么PBC的面積與ABC面積之比為【 】A. B. C. D.【答案】D?！痉治觥窟^點P作PHBC交AB于H，連接CH，PF，PE。APBE，四邊形APEB是平行四邊形。PEAB。，四邊形BDEF是平行四邊形，EFBD。EFAB。P，E，F(xiàn)共線。設(shè)BD=a，PE=AB=4a。PF=PEEF=3a。PHBC，SHBC=SPBC。PFAB，四邊形BFPH是平行四邊形。BH=PF=3a。

31、SHBC：SABC=BH：AB=3a：4a=3：4，SPBC：SABC=3：4。故選D。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，則S4=2 S2 若S1= S2，則P點在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.【答案】?！痉治觥咳鐖D，過點P分別作四個三角形的高，APD以AD為底邊，PBC以BC為底邊，此時兩三角形的高的和為AB，S1+S3=S矩形

32、ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。S2+S4= S1+ S3正確，則S1+S2=S3+S4錯誤。若S3=2 S1，只能得出APD與PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故結(jié)論錯誤。如圖，若S1=S2，則×PF×AD=×PE×AB，APD與PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。DAE=PEA=PFA=90°，四邊形AEPF是矩形，矩形AEPF矩形ABCD。連接AC。PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。點A、P、C共線。P點在矩形的對角線上。故結(jié)論正確

33、。綜上所述，結(jié)論和正確。例4.（2012廣西貴港8分）如圖，在ABCD中，延長CD到E，使DECD，連接BE交AD于點F，交AC于點G。（1）求證：AFDF；（2）若BC2AB，DE1，ABC60°，求FG的長?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1，連接BD、AE， 四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD。DECD，ABDE，ABDE。四邊形ABDE是平行四邊形。AFDF。（2）如圖2，在BC上截取BNAB1，連接AN， ABC60°，ANB是等邊三角形。AN1BN，ANBBAN60°。BC2AB2，CN1AN。ACNCAN×60°30

34、76;。BAC90°。由勾股定理得：AC。四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD。AGBCGE。，解得AG。在BGA中，由勾股定理得：BG。，GE，BE2。四邊形ABDE是平行四邊形，BFBE。FG。例5.（2012江蘇常州7分）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF。求證：AE=AF?！敬鸢浮孔C明：連接CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，。 又AO=CO，AEOCFO（AAS）。AE=CF。四邊形AECF是平行四邊形。又EFAC，平行四邊形AECF是菱形。AE=AF。【考點】菱形的判定和性

35、質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。

36、 ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得CEM=B=900，在EMF中，F(xiàn)EMEFM。FMEM。四邊形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作NHAB于H，則HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四邊形NMQP

37、是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2?！究键c】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理、切線與過切點的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例3.（2012山東日照4分）如圖，過A、C 、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D，如果A=63°，那么= 來源【答案】1

38、80?！痉治觥咳鐖D，連接CE，DE， 過A、C 、D三點的圓的圓心為E，過B、F、E三點的圓的圓心為D， AE=CE=DE=DB。A=ACE，ECD=CDE，DEB=DBE=。 A=63°，AEC=18002×630=540。 又ECD=CDE=2，AEC=ECDDBE=3，即3=540。=180。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=OC且ACB=30°，則AOB的大小是【 】 A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】C?！究键c】圓周角定理?！痉治觥縊A=OB=OC，A、B、C在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上

39、。 作O。 ACB和AOB是同弧所對的圓周角和圓心角，且ACB=30°， 根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得AOB=60°。故選C。 例5.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，以頂點A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E，以頂點C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點F，則EF的長為 【答案】?！究键c】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接AE，BE，DF，CF。以頂點A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E，AB=1，AB=AE=BE，AEB是等邊三角形。邊AB上的高線為：。同理：CD邊上的高線為：。延長EF交AB于N，并反向延長

40、EF交DC于M，則E、F、M，N共線。AE=BE，點E在AB的垂直平分線上。同理：點F在DC的垂直平分線上。四邊形ABCD是正方形，ABDC。MNAB，MNDC。由正方形的對稱性質(zhì)，知EM=FN。EF2EM=AD=1，EFEM=，解得EF=。例6.（2012廣西玉林、防城港3分）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時，NMB的度數(shù)是 .【答案】30°。【分析】連接OB，CN=CO，OB=ON=2OC。四邊形OABC是矩形，BCO=90°。BOC=60°。NMB=BOC=30°。八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點的線段、平行線、垂直線、角平

41、分線等，如連接直角三角形直角頂點與斜邊的中點構(gòu)成斜邊上的中線；過三角形一邊的中點作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過三角形一頂點作對邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點和直徑的兩端點構(gòu)成直角三角形；等等。典型例題：例2.（2012廣東佛山6分）如圖，已知AB=DC，DB=AC（1）求證：ABD=DCA，注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)（2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？【答案】證明：（1）連接AD，在BAD和CDA中， AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共邊），BADCDA（SSS）。ABD=DCA（全等三角形對應(yīng)角相等）。（2）作輔助

42、線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個三角形的公共邊?！究键c】全等三角形的判定和性質(zhì)。例3.（2012貴州貴陽3分）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若F=30°，DE=1，則EF的長是【 】A3 B2 C D1【答案】B?！痉治觥窟B接AF，DF是AB的垂直平分線，AF=BF。FDAB，AFD=BFD=30°，B=FAB=90°30°=60°。ACB=90°，BAC=30°，F(xiàn)AC=60°30°=30°。DE=1，AE=2DE=2。FAE=AFD

43、=30°，EF=AE=2。故選B。例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為ABAD的中點，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】A B C D【答案】C?！痉治觥咳鐖D，連接BD，過點F作FGAB交BD于點G，連接EG，CG。 DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點E、F分別為ABAD的中點， 根據(jù)三角形中位線定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。 圖中的六個三角形面積相等。 AEF與多邊形BCDFE的面積之比為。故選C。例6.（2012天津市3分）若一個正六邊形的周長為24，則該正六邊形的面

44、積為 【答案】?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如圖，連接OB，OC，過O作OMBC于M， BOC=×360°=60°。OB=OC，OBC是等邊三角形。OBC=60°。正六邊形ABCDEF的周長為24，BC=24÷6=4。OB=BC=4，BM=OB·sinOBC =4·。例7.（2012福建廈門10分）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PEAC、PFBD，垂足分別為E、F，PEPF（1）如圖，若PE，EO1，求EPF的度數(shù)；（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF BC34，求BC的長【

45、答案】解：（1）連接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL）。EPOFPO。在RtPEO中， tanEPO， EPO30°。 EPF60°。（2）點P是AD的中點， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL）。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 點P是AD的中點，點F是DO的中點， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BDBC。 BFBD，BC34BC，解得，BC4。例8.（2012河北省2分）如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點E，則下

46、列結(jié)論正確的是【 】AAEBE B CD=AEC DADECBE【答案】D?！究键c】垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥緾D是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點E，根據(jù)垂徑定理，得AE=BE。故選項A錯誤。如圖，連接AC，則根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，得D=B，BC=AC。根據(jù)垂徑定理，只有在AB是直徑時才有AC=AD，而AB不是直徑，ADAC。故選項B錯誤。如圖，連接AO，則根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得D=AOC。AEC是AOE的外角，AECAOC。DAEC。故選項C錯誤。根據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，得D=B，DAE=BCE，

47、ADECBE。故選項D正確。例9.（2012寧夏區(qū)6分）在O中，直徑ABCD于點E，連接CO并延長交AD于點F,且CFAD.求D的度數(shù).【答案】解：連接BD 。ABO是直徑，BD AD。又CFAD，BDCF。BDC=C。又BDC=BOC，C=BOC。ABCD，C=30°。ADC60°。九、截取和延長變換：在一個平面幾何圖形內(nèi)，延長或截取某一條線段，使條件和問題相對集中 ,達(dá)到化隱為現(xiàn)的目的，常常使線段所在的三角形與平面內(nèi)某一三角形成為全等三角形。證明兩條線段的和差，80%的情況都要用截長補短法。典型例題：例1.（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將

48、紙片折疊，點A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A?！痉治觥垦娱LDC與AD，交于點M，在菱形紙片ABCD中，A=60°，DCB=A=60°，ABCD。D=180°-A=120°。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ADF=D=120°，F(xiàn)DM=180°-ADF=60°。DFCD，DFM=90°，M=90°-FDM=30°。BCM=180°-BCD=120°，CBM=180°-BCM-M=30°。CBM

49、=M。BC=CM。設(shè)CF=x，DF=DF=y， 則BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30°=，。故選A。例2.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O則下列結(jié)論ABFCAE，AHC=1200，AH+CH=DH，AD 2=OD·DH中，正確的是【 】A. B. C. D. 【答案】D?！痉治觥苛庑蜛BCD中，AB=AC，ABC是等邊三角形。B=EAC=600。 又AE=BF，ABFCAE（SAS）。結(jié)

50、論正確。 ABFCAE，BAF=ACE。AHC=1800（ACECAF）=1800（BAFCAF）=1800BAC=1800600=1200。結(jié)論正確。如圖，在HD上截取HG=AH。菱形ABCD中，AB=AC，ADC是等邊三角形。ACD=ADC=CAD=600。又AHC=1200，AHCADC =1200600=1800。A，H，C，D四點共圓。AHD=ACD =600。AHG是等邊三角形。AH=AG，GAH=600。CAH=600CAG=DAG。又AC=AD，CAHDAG（SAS）。CH=DG。AH+CH= HG+ DG =DH。結(jié)論正確。AHD =OAD=600，ADH=ODA，ADHODA。AD 2=OD·DH。結(jié)論正確。綜上所述，正確的是。故選D。例3.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，ABC為等邊三角形，點E在BA的延長線上，點D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為【 】A2 B3 C D【答案】A?！痉治觥垦娱LBC至F點，使得CF=BD，ED=EC，EDB=ECF。EBDEFC（SAS）。B=F。ABC是等邊三角形，B=ACB。ACB=F。ACEF。A