中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 全等與相似 含答案整理

1、專題 全等與相似一1（2012年，福州）如圖，已知ABC，ABAC1，A36°，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是_，cosA的值是_(結(jié)果保留根號(hào))考點(diǎn)：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義ABCD分析：可以證明ABCBDC，設(shè)ADx，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，則E為AB中點(diǎn)，由余弦定義可求出cosA的值2（2012年，桂林）(12分)如圖，在ABC中，BAC90°，ABAC6，D為BC的中點(diǎn)(1)若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AECF，求證：AEDCFD；(2)當(dāng)點(diǎn)F、E分別從C、A兩

2、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA、AB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A、B時(shí)停止；設(shè)DEF的面積為y，F(xiàn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)F、E分別沿CA、AB的延長(zhǎng)線繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式二.1. （2012安徽，22，12分）如圖1，在ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長(zhǎng)；解：（2）求證：DG平分EDF;證：（3）連接CG，如圖2，若BDG與DFG相似，求證：BGCG.證：2（2012銅仁）如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AECF，AE

3、=CF，BE=DF求證：ADECBF3（2012年，南通）如圖，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形若a，求PQ的長(zhǎng)；是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由4（2012無錫）如圖，在ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且BE=CF

4、求證：BAE=CDF5（2012資陽(yáng)）（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程）；（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；（3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時(shí)HD：GC：EB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程）6（2012年，遵義）（12分）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形， 是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由向運(yùn)動(dòng)（與、不重合），是延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)同時(shí)以相同的速度由向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（不與

5、重合），過作于，連接交于. （1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)； （2）在運(yùn)動(dòng)過程中線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段的長(zhǎng)；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由7（2012年，河北）如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，分別以為直角頂點(diǎn)的均是等腰直角三角形，且在的同側(cè)（1）的數(shù)量關(guān)系為_，的位置關(guān)系為_；（2）在圖中，以點(diǎn)為位似中心，作與位似，點(diǎn)是所在直線上的一點(diǎn)，連接，分別得到了圖和圖； 在圖中，點(diǎn)在上，的相似比是，是的中點(diǎn).求證：在圖中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的相似比是，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使得（用含的代數(shù)式表示）8、（2012年，河南）（10分）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)

6、案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.原題：如圖1，在中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G，若，求的值。（1）嘗試探究 在圖1中，過點(diǎn)E作交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，的值是 （2）類比延伸如圖2，在原題的條件下，若則的值是 （用含的代數(shù)式表示），試寫出解答過程。（3）拓展遷移 如圖3，梯形ABCD中，DCAB，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，若，則的值是 （用含的代數(shù)式表示）. 9.（2012年，廣元）（本小題7分）如圖，在AEC和DFB中，E=F，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，有如下三個(gè)關(guān)系式：AEDF，AB=CD，C

7、E=BF。（1）請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的所有命題（用序號(hào)寫出命題書寫形式：“如果，那么”）；（2）選擇（1）中你寫出的一個(gè)命題，說明它正確的理由。答案：一 1.解答：解： ABC，ABAC1，A36°， ABCACB72° BD是ABC的平分線， ABDDBCABC36° ADBC36°，又 CC， ABCBDC，ABCDE ，設(shè)ADx，則BDBCx則，解得：x(舍去)或故x 如右圖，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E， ADBD，E為AB中點(diǎn)，即AEAB在RtAED中，cosA故答案是：；點(diǎn)評(píng)：ABC、BCD均為黃金三角形，利用

8、相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時(shí)，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解2(1)證明: BAC 90° ABAC6,D為BC中點(diǎn)BADDACBC45° 1分ADBDDC 2分AECF AEDCFD 3分第26題圖1(2)依題意有:FCAE 4分AEDCFD 5分SADC9 6分 7分(3) 依題意有：AFBE6，ADDB，ABDDAC45°DAFDBE135° 8分ADFBDE 9分 10分 11分 12分二.1.解析：已知三角形三邊中點(diǎn)連線，利用三角形中位線性質(zhì)計(jì)算證明.（1）已知ABC的邊長(zhǎng)，由三角形中位線性質(zhì)知，根據(jù)BD

9、G與四邊形ACDG周長(zhǎng)相等，可得.（2）由（1）的結(jié)論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證. （3）利用兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，從而等角對(duì)等邊，BD=DG=CD，即可證明.解（1）D、C、F分別是ABC三邊中點(diǎn)DEAB,DFAC，又BDG與四邊形ACDG周長(zhǎng)相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，F(xiàn)DG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG與DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,則CD= BD=DG,

10、B、CG、三點(diǎn)共圓,BGC=90°,BGCG點(diǎn)評(píng)：這是一道幾何綜合題，在計(jì)算證明時(shí)，根據(jù)題中已知條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成.后面的問題可以結(jié)合前面問題來做.考點(diǎn)：全等三角形的判定。解答：證明：AECFAED=CFB，（3分）DF=BE，DF+EF=BE+EF， 即DE=BF，（6分）在ADE和CBF中，（9分）ADECBF（SAS）（10分）2.（2012年，黃石）（本小題滿分7分）如圖（8），已知在平行四邊形中，. 求證：.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】證明題ABCDEF圖（8）【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出ADBC，且AD=BC，推出ADE=

11、CBF，求出DE=BF，證ADECBF，推出DAE=BCF即可【解答】證明：四邊形ABCD為平行四邊形 ADBC,且AD=BC ADE=BCF 2分 又BE=DF, BF=DE 1分 ADECBF 2分 DAE=BCF 2分【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出證出ADE和CBF全等的三個(gè)條件，主要考查學(xué)生的推理能力3.【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)【專題】幾何綜合題【分析】（1）由ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得BD與CD的長(zhǎng)，又

12、由a=2，BPQBDA，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得t的值；（2）首先過點(diǎn)P作PEBC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假設(shè)存在點(diǎn)P在ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負(fù)，故可得不存在【解答】解：（1）ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點(diǎn)，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=

13、BD-QD=6-t（cm），BPQBDA，BP BD =BQ AB ，即2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）過點(diǎn)P作PEBC于E，四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ，BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）；不存在理由如下：四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM

14、：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ若點(diǎn)P在ACB的平分線上，則PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM，CPM=PCM，PM=CM，四邊形PQCM是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），即at=6+t，PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12 =10-at 10 ，化簡(jiǎn)得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在ACB的平分線上【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)此題難度較大，

15、注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用4.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=DC，ABDC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得B=DCF，即可證明ABEDCF，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得到結(jié)論解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=DC，ABDC，B=DCF，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），BAE=CDF點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是找到證明ABEDCF的條件5.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)。分析：（1）首先連接AG，由正方形A

16、EGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，易證得GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；（2）連接AG、AC，由ADC和AHG都是等腰直角三角形，易證得DAHCAG與DAHBAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值；（3）由矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得ADCAHG，DAHCAG，ADHABE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值解答：解：（1）連接AG，正方形AEGH的頂點(diǎn)

17、E、H在正方形ABCD的邊上，GAE=CAB=45°，AE=AH，AB=AD，A，G，C共線，ABAE=ADAH，HD=BE，AG=AE，AC=AB，GC=ACAG=ABAE=（ABAE）=BE，HD：GC：EB=1：1（3分）（2）連接AG、AC，ADC和AHG都是等腰直角三角形，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG=45°，DAH=CAG，（4分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：，（5分）DAB=HAE=90°，DAH=BAE，在DAH和BAE中，DAHBAE（SAS），HD=EB，HD：GC：EB=1：1；（6分）（3）有變化，連接AG、A

18、C，矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90°，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=m：，DAC=HAG，DAH=CAG，（4分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=m：，（5分）DAB=HAE=90°，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE，DH：BE=AD：AB=m：n，HD：GC：EB=m：n（8分）6解: (1)(6分)解法一：過P作PEQC 則是等邊三角形，P、Q同時(shí)出發(fā)、速度相同，即BQ=APBQ=PF,BD=DF=,BD=DF=FA=AB=2,AP=2.解法二： P、Q同時(shí)同速出發(fā)，AQ=BQ設(shè)AP=BQ=，則PC=6-，QC=6+在RtQCP中，CQP=,C= CQP=QC=2PC,即6+=2（6-）=2AP=2（2）由（1）知BD=DF而APF是等邊三角形，PEAF,AE=EF又DE+(BD+AE)=AB=6,DE+(DF+EF)=6，即DE+DE=6DE=3為定值，即DE的長(zhǎng)不變7解：（1）2分（2）證明：由題意，位似且相似比是，.5分又.7分的長(zhǎng)為.8、（1）(2)作EHAB交BG于點(diǎn)H，則AB=CD，EHABCD