導(dǎo)數(shù)的不等式恒成立問題(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【考查重點與常見題型】題型一運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題例1設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 21且x>0時，ex>x22ax1. (1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2

2、)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)a>ln 21時，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R上是增加的于是當(dāng)a>ln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1. 已知f(x)xln x. (1)求g(x)(kR)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)x1時，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)

3、ln x，令g(x)0得xk.x>0，當(dāng)k0時，g(x)>0.函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0，)，無減區(qū)間；當(dāng)k>0時g(x)>0得x>k；g(x)<0得0<x<k，增區(qū)間為(k，)，減區(qū)間為(0，k)(2)證明：設(shè)h(x)xln x2xe(x1)，令h(x)ln x10得xe，h(x)，h(x)的變化情況如下：x1(1，e)e(e，)h(x)10h(x)e20故h(x)0.即f(x)2xe.題型二利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題例2已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值

4、；(3)若f(x)<x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍解(1)由題意知f(x)的定義域為(0，)，且f(x).a>0，f(x)>0，故f(x)在(0，)上是增加的(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上是增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時f(x)在1，e上是減少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若e<a<1，令f(x)0得xa，當(dāng)1<x<a時，f(x)<0，f(x)在(1，a)上是減少的；當(dāng)a<x<e時，

5、f(x)>0，f(x)在(a，e)上是增加的，f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上所述，a.(3)f(x)<x2，ln x<x2.又x>0，a>xln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時，h(x)<0，h(x)在(1，)上是減少的h(x)<h(1)2<0，即g(x)<0，g(x)在(1，)上也是減少的g(x)<g(1)1，當(dāng)a1時，f(x)<x2在(1，)上恒成立 已知函數(shù)f(x)ax33x1對x(0,1總有f(x)0成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案4，)解析當(dāng)

6、x(0,1時不等式ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)與g(x)隨x的變化情況如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值為4，則實數(shù)a的取值范圍是4，)導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題典例：(12分)(2011·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)xax2bln x，曲線yf(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)2x2. (1)解f(x)12ax.1分由已知條件得即解得4分(2)證明因為f(x)的定義域為(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.設(shè)g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，則g(x)12x.8分當(dāng)0

7、<x<1時，g(x)>0，當(dāng)x>1時，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是減少的10分而g(1)0，故當(dāng)x>0時，g(x)0，即f(x)2x2.12分一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個不相等的實根4a24×3(a6)>0，即a23a18>0.a>6或a<3.2 曲線yf(x)ex在點(2

8、，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為()A.e2 B2e2 Ce2 D.答案D解析點(2，e2)在曲線上，切線的斜率kf(2)e2，切線的方程為ye2e2(x2)，即e2xye20.與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為(0，e2)，(1,0)，S×1×e2.3 已知函數(shù)f(x)x2mxln x是單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是()Am>2 Bm2Cm<2 Dm2答案B解析依題意知，x>0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，當(dāng)0時，g(0)1>0恒成立，m0成立，當(dāng)>0時，則m280，2m<0，綜上，m的取值范圍是m2.4 某公司生產(chǎn)某種

9、產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的年關(guān)系是RR(x)則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A100 B150 C200 D300答案D解析由題意得，總成本函數(shù)為CC(x)20 000100x，總利潤P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300時，總利潤P(x)最大二、填空題(每小題5分，共15分)5 設(shè)P為曲線C：yf(x)x2x1上一點，曲線C在點P處的切線的斜率的范圍是1,3，則點P縱坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)P(a，a2a1)，則f(x)2a11,3，0a2.而g(a)a2a12，當(dāng)a時，g(a)min.當(dāng)a2時，

10、g(a)max3，故P點縱坐標(biāo)的取值范圍是.6 在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為_(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)答案d解析截面如圖所示，設(shè)抗彎強度系數(shù)為k，強度為，則kbh2，又h2d2b2，kb(d2b2)kb3kd2b，3kb2kd2，令0，得b2，bd或bd(舍去)hd.7 已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f(n)的最小值是_答案13解析對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即3×42a×20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上是減少的，在(0,1)上是增加的，當(dāng)m1,1時，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的圖像開口向下，且對稱軸為x1，當(dāng)n1,1時，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.三、解答題(共22分)8 (10分)設(shè)函數(shù)f(x)ax33x2 (aR)，且x2是yf(x)的極值點(1)求實數(shù)a的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)g(x)ex·f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)3ax26x3x(ax2)，因為x2是函數(shù)yf(x)的極值點，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1.經(jīng)驗證，當(dāng)a1時，x