二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(詳解)

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、 知識(shí)要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，核心是函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況設(shè)f ()x = ax2 +bx + c(a / 0),求f (x)在x w m , n上的最大值與最小值。/2 分析：將f(x)配方，得頂點(diǎn)為2, 4acb 、對(duì)稱(chēng)軸為x = _H2a 4a J2a當(dāng)a >0時(shí)，它的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合可得在m , n上f (x)的最值:(1)當(dāng)m m , n 時(shí)，f ( x)的最小值是 2ab 1 4ac - b2劍自、上f , f(x)的最大值2a 4af(m)、f(n)中的

2、較大者。(2)當(dāng)一上_皂m, n 時(shí)2a若上-cm,由f (x)在m, n上是增函數(shù)則 f(x)的最小值是 f(m),最大值是 2af (n)b右n < ，由f (x)在 m , n 上是減函數(shù)則 f (x)的取大值是f (m),取小值是f (n) 2a當(dāng)a <0時(shí)，可類(lèi)比得結(jié)論。二、例題分析歸類(lèi)：(一)、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。此類(lèi)問(wèn)題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定；(2)軸定，區(qū)間變；(3)軸變，區(qū)間定；(4)軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我

3、們稱(chēng)這種情況是定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值例1.函數(shù)y = x2 +4x -2在區(qū)間0, 3上的最大值是 ,最小值是 。練習(xí).已知2x2 <3x ,求函數(shù)f (x) = x2 +x +1的最值。2、軸定區(qū)間變定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱(chēng)這種情況是O例2.如果函數(shù)f (x) = (x _1)2 +1定義在區(qū)間R, t +1 上，求f (x)的最值。例 3.已知 f(x) = .x2 4x+3,當(dāng) x = t，t +1(t = R J,求 f (x)的最值.對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下:f (x) maxb f(m), - 2ab

4、1，、，、至(m +n)(如圖1)2f ( x) min, bf (n)，-一f (n),-:2a1-(m +n)(如圖 2)22ab、)，m2a> n(如圖3)b工一<-En(如圖4)2abf (m),-c m(如圖 5)2a7當(dāng)a < 0時(shí)f (n), - >n(如圖 6)b 1,2af (m), 一一之一(m+n)(如圖 9)b- b2a 2f (x) = * / maxf ( ), m < < n(如圖 7) f (x) min ，2a2ab1* pf (n), -<一 (m+n)(如圖 10)b工f (m), 一< m(如圖 8).2a

5、 222a3、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱(chēng)這種情況是 動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值 例4.已知x2Wi,且a-220,求函數(shù)f (x) =x2 +ax +3的最值。例5.(1)求f(x)=x2 +2ax +1在區(qū)間-1,2上的最大值。(2)求函數(shù)y x(x - a)在x W 1 , 1上的最大值。4.軸變區(qū)間變二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù)，而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱(chēng)這種情況是動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。 222例 6.已知 y =4a(xa)(a >0),求 u =(x3) +y 的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的

6、最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7.已知函數(shù)f (x) =ax 2 +2ax +1在區(qū)間-3, 2上的最大值為4,求實(shí)數(shù)a的值。2 x例8.已知函數(shù)f(x) = + x在區(qū)間m, n上的最小值是 3 m最大值是3n,求m,n的值。 2例9.已知二次函數(shù)f ( x ) =ax 2+( 2a-1 )x +1在區(qū)間3,21上的最大值為3,求實(shí)數(shù)a 的值。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值專(zhuān)題演練1 .函數(shù)y =x2+x+1在-1,1上的最小值和最大值分別是()31一 1 一(A) 1 ,3(B) ,3(C) 一一 ,3(D) 一，34242 .函數(shù)y =-x2 +4x -2在區(qū)間1,4上的最小值是()(A)

7、 -7(B) -4(C) -2(D)2一、.，83 .函數(shù)y = -2的取值為()x 7x5(A)最大值為8,最小值為0(B)不存在最小值，最大值為8(C)最小值為0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 .若函數(shù) y =2 _J_x2 +4x,x W 0,4的取值范圍是 35 .已知函數(shù)fx( ) =ax+(2a 1)x 3(a w 0)在區(qū)間，2上的最大值是 1,則實(shí)數(shù)2a的值為.6 .已知函數(shù)y =x2 _2x +3在閉區(qū)間0,m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是( )(A) 1, ,二)(B) 0,2(C) 1,2(D)(一二，27 .設(shè) f(x) = x2 -4x-

8、4,xWt,t +l(tW R),求函數(shù) f (x)的最小值.28 .已知函數(shù)f(x)=4x -kx -8在5,20上具有單倜性，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9 .若函數(shù)f (x) =(a 2) x2 +2(a 2)x 4 <0對(duì)一切xWR恒成立，則a的取值范圍()A.(-七,2B. -2,2C.( -2, 2D.(/，-2)10.1. 知函數(shù)f (x) =4x2 +4ax +2在(-七,0內(nèi)單調(diào)遞減，則 a B ()A. a _ 3B. a _3C.a <-3D.a - -311 .已知函數(shù)f(x)=x2+kx在2,4上是單調(diào)函數(shù)，求 k的取值范圍。12 .已知函數(shù)f (x) =x2 -

9、2x +3在0,m上有最大值是3,最小值是2,求m的取值范圍。13 .已知函數(shù)f (x) =3jx2 +4的最大值為 M,最小值為 m,則M+m=. 2214 .已知函數(shù)f(x)=4x -4ax +a -2a+2在0,2 上的最小值為 3,求a的值。 2.、，、一一、一15 .求函數(shù)f(x)=-x +2 x +3的單倜區(qū)間。16 .已知函數(shù)f (x) =-2x2 +6x在下列定義域上的值域：(1)定義域?yàn)閤WZ | 0 <x <3(2)定義域?yàn)?2,1.17 .已知函數(shù)f (x) =x2 +ax +3 a,若x乏2, 2,有f (x)至2恒成立，求a的取值范圍。18 .已知函數(shù)f

10、(x) =x2, -2 <x Ea,其中a >2 ,求該函數(shù)的最大值與最小值。19已知二次函數(shù)f (x) =_x2 +6x+a的函數(shù)值總為負(fù)數(shù)，求 a的取值范圍。20 .已知二次函數(shù) f (x) =(m +6) x2+2(m 1) x+m +1的圖像與x軸總有交點(diǎn)，求 m的取 值范圍。21 .已知二次函數(shù)f (x) =x2 +(m 1)x +m+3頂點(diǎn)在y軸上，求m的值。22 .已知函數(shù)f (x) = mx 2 + (m 2 -m)x十2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求m的值。23 .已知函數(shù)f (x) =(a -2) x2 +2(a -2) x -4 <0對(duì)一切x恒成立，求 m的取值

11、范圍。24 .已知函數(shù)f (x) =x2 4ax,(1 Wx三3)是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。25 .已知函數(shù)f (x) =x2 -ax +1有負(fù)值，求a的取值范圍。26 .已知函數(shù)f (x) =(m -2) x2 -3 -2m的圖像在x軸下方，求 m的值。2127 .已知函數(shù)f (x) =x2 +ax+1 >0對(duì)于一切x (0,成立，求a的取值范圍。228 .已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)xW (-), -1時(shí)是減函數(shù)，求 m的取值范圍。29已知函數(shù)f (x) = Jx2 2ax a的定義域是R,求a的取值范圍。30 .已知函數(shù)f (x) = x2 -4ax + 2a +

12、6( x W R)的值域?yàn)?, 土c,求a的值。31.已知函數(shù)f(x)=x24x之m對(duì)于x W (0,1恒成立，求m的取值范圍。32.已知函數(shù)f(x) =x2 +bx +c在0,y)上是單調(diào)函數(shù)，則 b的取值范圍。33 .已知函數(shù)f (x) =2x2 (2 +a) x + 2a(a >2),求在0, 2上的最小值。34 .已知函數(shù)f (x) =2x2 -(2 +a)x+2a ,在0, 2上是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍。35 .已知函數(shù)f (x) =2x2 -(2 +a)x +2a ,在t,t +2上是偶函數(shù)，求 a的取值范圍。236 .當(dāng) a=-2 時(shí)，求.函數(shù) f (x) =2x -(

13、2 +a)x +2a 在t,t +2上的最小值。37 .已知函數(shù)f (x) = 52x2 -(2 +a)x +2a的定義域?yàn)?R,求a的取值范圍。38 .已知函數(shù)f (x) =x2 +2 ax +1 ,求x = -2,1上的最值。39 .已知函數(shù)f (x) =x2 +2x-1 ,求x亡m, m +1上的最值。40 .已知函數(shù)f (x) x +2ax +1 - a , x w 0,1上的最值為2,求a的值。41 .已知函數(shù) f (x) =x2 +2x+2 ：(1)若x W R ,求f(x)的最小值。(2)若x W1,3,求f(x)的最小值。(3)若 xWa,a+2, aWR,求 f(x)的最小值

14、。42 .已知函數(shù)f (x) =_x2 +2kx +3 ,求xW-1,2上的最大值。43 .已知函數(shù)f (x) =kx2 +2kx +1 ,求x W 3, 2上的最值。. 一144 .已知函數(shù) f(x)=_3x 3x+-+b，求 x W b,b, (b a 0)上的取值。445 .已知函數(shù)f (x) =x(x t) +1 ,求x W1,1上的最值。2,、346 .已知函數(shù)f (x) =ax十(2a 1)x3 ,求x u 一 ，2上的取大值。247 .已知函數(shù)f (x) = x2 +ax +3 ,求x W 0,1上的最值。48 .已知函數(shù)f (x) = -x( x -a),求x W -1, a上

15、的最大值。49 .已知函數(shù)f (x) = x2 +2 ax +1 ,在x W -1,2上的最大值為4,求a的值。221150.若不等式9x2 -6 ax+a2 -2a -6 >0在Ex E內(nèi)恒成立，求 a的取值范圍。3351 .已知函數(shù)f (x) =x2 +2x +3 ,求x Wt,t +1上的最值。52 .已知函數(shù)f (x) =ax2 -2ax +5 ,求x W 0, 3上的最值。53 .已知函數(shù)f (x) =-2x2 -ax +3 ,求x= -3,1上的最值。54 .已知函數(shù)f (x) = ax 2 -3x +8 ,求x W -2,-上的最值。255 .已知函數(shù) f (x) =(4 -3a)x -2x +a ,求 x 0,1上的取值。56 .已知函數(shù)f (x) =x2 +(2t +1)x +t2 -1 ,當(dāng)t取何值時(shí)，函數(shù)的最小值為0.57 .已知函數(shù)f (x) = x2 -2tx+1 ,求x -1,1上的最大值。58 .已知函數(shù)f (x) =x2 -4x +a ,在x w 0, 6上的最大值為13,求a的值。59 .已知函數(shù)f (x) =x2 _2ax +4 ,在x W 0, 3上的最小值為