參考資料九章算術(shù)中的二元一次方程組

1、參考資料:九章算術(shù)中的二元一次方程組大自然充滿了未知領(lǐng)域，是人類的智慧架起了一座座從已知通向未知的橋 梁，構(gòu)筑了燦爛的科學文化。線性方程組及其求解，無疑就是這些橋梁中最美麗 的幾座。代數(shù)學發(fā)展的一條主要方向就是方程理論。大約在 3600年前，自埃及 祭司阿莫斯用象形文字在紙草書上寫下史上第一個一元一次方程后， 相關(guān)理論研 究逐漸向兩個方向延伸：增高未知數(shù)的次數(shù)，衍生出一元高次方程理論；增加未知項的個數(shù)，創(chuàng)造了線性方程組理論。值得驕傲的是，早在九章算術(shù)成書時代，中國古人已對較為復雜的線性方程組問題展開了研究。而西方直至17世紀相關(guān)研究尚處于初級階段。1.中國古代的線性方程組今天教科書中“方程”術(shù)

2、語源于英文Equation之翻譯（清代數(shù)學家李善蘭首譯），然而中國古代數(shù)學中的“方程”并非現(xiàn)代“含有未知數(shù)的等式”之涵義。成書早于九章算術(shù)的江陵張家山竹簡算數(shù)書記載，“方程”是由“程禾”算法發(fā)展而來?！俺毯獭本褪强己思Z食作物的產(chǎn)量。在九章算術(shù)的方程章， 其前六題皆是測算糧食產(chǎn)量冋題，可見一斑。如第 1題:今有上禾（上等稻）三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，實（谷子）三十九斗；上 禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 實二十六斗。問上、中、下禾一秉各幾何?“方程”的明確定義由劉徽在九章算術(shù)方程章開篇詮釋道:程，課程也。群物總雜,各列有數(shù)，總言其實，令每行為率。二物

3、者再程,三物者三程，皆如物數(shù)程之,并列為行，故謂之方程。其中“數(shù)”乃群物之數(shù), 性組合，相當于常數(shù)項，即諸未知項的系數(shù)，“實”是“數(shù)”與“物”的線“總”則暗示了等量關(guān)系。因而“方程”的每行都可以看作是一個多元一次方程，“方程”各行聯(lián)立起來就組成了一個線性方程組。因此，中國古代的“方程”就是現(xiàn)在的線性方程組。九章算術(shù)中的算籌圖是豎題則可表示為:排的（從左至右）。若用印度-阿拉伯數(shù)碼，方程章第1242634今有上禾七秉，損實一斗, 一斗與上禾二秉，而實一十斗。實乃現(xiàn)代線性方程組的系數(shù)排列而成的數(shù)表.若是用現(xiàn)在符號表示則為#px+2y + j = 39* 2x + 3r +1 =34x+2y + 3

4、z = 26實乃現(xiàn)代線性方程組的系數(shù)排列而成的數(shù)表。若是用現(xiàn)在符號表示則為其他國家或民族給出聯(lián)立一次方程組的解法比中國晚不少年，如在印度最早出現(xiàn)在婆羅摩笈多（Brahmagupta 598-660）的著作婆羅摩修正體系之中；而歐洲最早提出三元一次方程組解法者是法國數(shù)學家布丟J.Buteo, 1485-1572）。2.九章算術(shù)中的二元一次方程組九章算術(shù)方程章中共計18道題目，其中關(guān)于二元一次方程組的有 8題,三元的6題，四元、五元的各2題皆是用直除法求解，該演算法是我國古代求解 線性方程組的基本方法，其理論上和現(xiàn)在加減消元法基本一致。 如第2、10題就 是典型的二元一次方程組。益之下禾二秉，而實

5、一十斗；下禾八秉，益實這里的“損實”就是減去,“益實”就是加上，故而“益實”和“損實”是問上、下禾實一秉各幾何？解按術(shù)計算有：設(shè)上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗。則據(jù)題意可得JG-l)+2v = 10嚴+2y =10+1 Px+Sy = 10-/化簡，解得435X =込41V =今有甲乙二人持錢不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十。 問甲、乙持錢各幾何？題意為：今有甲乙二人，不知其錢包里有多少錢。若乙把其一半的錢給甲, 則甲的錢數(shù)為50;而甲把其2/3的錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為 50，問甲、乙各有多少錢?解設(shè)甲持錢為，乙持錢為。依題意得方程組解設(shè)甲持錢為廠乙持錢為V.依題意得方程組4

6、y = 50*護21 + 二莖=50 ”3可解欝在九章算術(shù)中，多是采用分離系數(shù)法表示線性方程組，這相當于現(xiàn)在的 矩陣(線性方程組系數(shù)用數(shù)表表示的形式)表示。而解線性方程組所使用的直除 法，與矩陣初等變換相一致(交換兩行位置；某行乘以非零數(shù)；兩行相加減)。另 求解線性方程組時中國古人還施行了正負數(shù)的乘除法，這是世界數(shù)學史上一項重 大成就。盡管在丟番圖算術(shù)中，給出題目：已知兩數(shù)之和為100，之差為40, 求兩數(shù)，但在西方直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程組解法法則。此外，我國古典數(shù)學著作孫子算經(jīng)、張丘建算經(jīng)、數(shù)書九章、詳解九章算法、九章算法比類大全、算法統(tǒng)宗等，也介紹了線性方 程組解法。清代數(shù)學家梅文鼎(1633-1721)的方程論共有90道線性方程組問 題，其中未知數(shù)個數(shù)最多達6個，解法也多是利用加減消元法。關(guān)于著方程論 的宗旨，梅文鼎曾給友人方中