第七章立體幾何

1、第7章立體幾何一、填空題1.（普陀調(diào)研）如圖，正四棱柱ABCD - ABQQ,的底面邊長 AB = 2，若直線BQ與底面ABCD所成的角的大小為 arctan2，則正四棱柱 ABCD-ABCiDi的側(cè)面積Di【答案】32【解析】試題分析：本題主要丟清直線場C與底面曲飭所成的ft,由于正四棱a,因此這個角就1 ZBfiB ,tan ZS&從而高BBi= retail=4,側(cè)面積再斗=32 .考點：複柱的側(cè)面積.2 （朝陽期末） 用一個平面去截正方體，有可能截得的是以下平面圖形中的（寫出滿足條件的圖形序號）（1 ）正三角形 （2）梯形（3）直角三角形 （4）矩形【答案】【解析】 試題分析：

2、在正方廊/F-4場qO中，當截面淘血1。時，可得正三S形，故cn正確.設(shè)AB中 點為E, BC中點為F,當截面為4G砲時，載E為梯形，故（2）正確.當截面圖傢有一個角為直角時,其截面必與正方體的一個面平行，此時載面比為四迦機不可能是三角形，所以不正確啟截面為A£j 時，可得矩冊，故 正確.3.【昆明第一中學(xué)高三開學(xué)考試】已知 A、B、C、D四點在半徑為 亞9的球面上，且2AC =BD = JT3, AD =BC =5, AB =CD，則三棱錐 D-ABC 的體積是【答案】8【解析】試題分析:Ef由題意，構(gòu)造長方愀 其面上的對角絃柏履三榜鏈D-*芳C,如圖所示.設(shè)長方體的長寬高分別為口

3、血C, EW吃十=13,.= = 16 = 1匸=4 所以三棱錐D曲C的體積是/ + / = 25,2x2x44x-x-x2xjx4=S.當點:1.球內(nèi)接多面2棱錐的悴積4.【齊齊哈爾高三第二次模擬考試】在四面體ABCD中，AB, AC AD兩兩垂直,AB= J3 ,AD=2,AC= J5，則該四面體外接球的表面積為【答案】12?！窘馕觥?由球的對稱性及 AB, AC, AD兩兩垂直可以補形為長方體 ABD C - DC AB,長方體的對稱中心即為球心，所以 2R= Jab2 + AC2 +AD2 =(3 + 5 + 4 = 2J3，所以S =4兀73 =12兀.考點：球及線面關(guān)系的應(yīng)用二、解

4、答題5.（朝陽期末）（本題滿分14分）如圖，在三棱錐P ABC中，平面PAC丄平面ABC , PA丄AC，AB丄BC .設(shè)D , E分別為PA,AC中點.（川）與平面求證:求證:DE /平面 PBC ；BC丄平面PAB;試問在線段AB上是否存在點PBC平行？若存在，指出點F，使得過三點 D, E, F的平面內(nèi)的任一條直線都F的位置并證明；若不存在，請說明理由.C【答案】（1 ）詳見解析，（IB詳見解析1 （III）存在，點.F是線段中點【解析】試題分析：（I ）由中位線直接可得PC,由線面平行的判定:宦理可直接證得DE"平面丹C °（II）根據(jù)線面垂直的判定定理需證BC_和

5、面內(nèi)的兩條相交直線都垂直.已知條件中已有又因為已知平面PM平面Y5C,由面面垂直的性質(zhì)左理可得R4面皿,有線面垂直可得 線線垂直間題即可得證（HI）要使得過三點 6 E, F的平面內(nèi)的任一條直線都2平面FEC平行，只需證面DEF與ffiPBC平行即可-根據(jù)面面平行的定理，需證面DEF內(nèi)的兩條相交線都和面PBC平仏 第一 問中已征得DE"平面P3C,根據(jù)第一問的思路，F(xiàn)別為AB的中點，就可同(I)證出PF與面FK平行.試題解析1證明1(I )因為點£是/(?中點，fSD為只4的中點,又因為D£(X面尸丹C, PC匚醞PR6 所gDM平面PEG(II)因為平面PAC-

6、面曲6 平面FJCp平面曲C=心又R扌匚平面PAC. PA-AC所以R(面 ABC.又因為45 _ BC.且巴4門0=4 所以BC _面PAB cni)當點F是線段住中點時，過點D,E, F的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PHC平行.取亠仍中點連EF,連DF.由(I)可知DE /平面PBC .因為點£是/0中點，點為(5的中點,又因處EFe平面PSC. 57=平面卩00,所以EF"平面羽C.又因為DErEF=E.AC c 平S MC t所UA平面QEF "平面PBC,所以平面Q回內(nèi)的任一條直袋都與平面PBC平行.故當盍F是錢段期中點時，過點D, E, F所在平a內(nèi)的任

7、一案直純都與平面刊C平行.14分肴點£ 1.線面平行 2.線面垂直；乳面面平行；乩面面垂直° 6.(朝陽期末)如圖，在三棱錐 P -ABC中，PA丄平面ABC , AB丄AC.(I)求證：AC丄PB ;(n)設(shè)O, D分別為AC, AP的中點，點G為 OAB內(nèi)一點，且滿足OG = -(OA + OB,3求證：DG /面PBC ；迪fc?析：證明.< I J a為平面ABC, 所以一川C.又因為一昶C.且丹TbMtf所以丿Q 一平面ea.又因為丹C平而£45”C )取且£中點恵，連則=2由已如芮=1兩+兩可#芮=-旋33劇點G在0£上連結(jié)“

8、4G并延長癸仙于F.連PF因為o疋分別為的中亂.所以0£" fiC專妒的中點.5i因閃DPA的中點. 所以DG/ PE.又DG C平而P5C尸F(xiàn)c平而PBC,7【哈爾濱市第二次模擬考試】(本小題共14分) 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB,且側(cè)面PAB丄平面ABCD , 點E是棱AB的中點.(I)求證：CD/平面PAB ;(n)求證：PE丄AD ;(川)若CA=CB，求證：平面 PEC丄平面PAB.【答案】詳見解析.【解析】 試題分析：（【）由底面血仞是菱形，可得CM乂B再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可直接證得8平面PAB（II ）由面面垂直的性質(zhì)定

9、理可證得PE丄平面ABCD,呂卩可證得尸國丄血人（III）當CZ/l = 占時LABC 為正三角形，可得Cff丄蟲瓦 可根據(jù)面円方丄面肋仞的性質(zhì)定理證得（7&丄面PAB.再根據(jù)面面垂直 的判定定理可證得面FE丄平面PAB"法二丄？時，因為（11）中已證PE丄AB、根據(jù)綻面垂直的 判宦定理可得曲丄平面從而證得面PSC丄平面PAB 試題解析：解；（I ）因為底面肋a是菱形,又因為CD工平面刊方,4分所以CM平面PAB .CII)'5分了分因PA = FB.點&是棱衛(wèi)&的中盍, 所以pg丄歷.因為平面PAB丄平® ABCD、平面PABQ平E ABC

10、D =衛(wèi)療，PE u平面PAB,所以PE丄平面ABCD,因為丄Qu平面ABCD,(III)因為=防，點£是AB的中點,10分由（II ）可得 PE1AB,11分所以曲丄平面PECS13分又因為4Eu平面FHF,所以平面P4芳丄平ffi PEC.14分考點，線線平行，線面平行，線線垂直、線面垂a、面面垂直，肴查空間想象能力、邏輯思維能力，推理論證能力，運算求解能力B8.【青島期末考試】如圖，在三棱錐P- ABC中，PA丄平面ABC，AC丄BC，D為側(cè)棱PC上一點，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示(1)證明：AD丄平面PBC ；(2)在NACB的平分線上確定一點 Q ,使得PQ/平

11、面ABD，并求此時PQ的長.側(cè)(左視圖【答案】(1)詳見解析,(3)詳見解析.【解析】 試題分析.(1)先利用三視圖將幾何f本進行還戸，證明占D丄平面PBC.要證明血垂直 于平面PEC內(nèi)的兩條相交直線，由正視圖可以知道AMC為等ffi三角形,且D為底邊PU 的中點，利用三線合一可以得到肋丄只九 再利用AC*丄BC. PA丄方C結(jié)合直線與平面垂貢的判定定理證明BC1.平面刃C于尹丄眈，最終利用直線與平面垂直 的判定定理得到AD丄平面PBC, L n到點DPC的中點因此可以以AC、 BC為鄰邊構(gòu)造平行四邊JACBQ,交*E于點6制用中位線證明PQffOD.再結(jié)合直線與平面平行吒判宦定珂可得到F07

12、平面ABD、最終利用勾股定 理求PQ的長度一試題辭析：(1)因為FA丄平面ABC所収E4丄56又ACrBC,所以丄平面PAC.所以丄衛(wèi)D.由三視圖得，在AE4C中丄FA = AC = A, DPC中點，所以 M 丄PC. :. AD丄平面 PBC,(2)取AB的中點0，連接CO并延長至Q ,使得CQ =2C0，點Q即為所求.因為O為C0中點，所以F0OD, 因次FQ住平E血Q, ODu平面ABD,所以尸0平面屈D, 連BQ,四WACBQffy對角線互相平分, 所WACBQ平行四迫形，所以/2 = 4,又R4丄平所以在直角LPAD中，吃=JaP+須 蓍點1.直線與平面垂直；2直線與平面平行；二勾

13、股定理9.【鄭州期末考試】在三棱錐 P - ABC中，側(cè)棱長均為 J97，底邊AC =4 , AB = 2 ,2BC =2晅,D、E分別為PC、BC的中點.(1 )求三棱錐P - ABC的體積;(2)求二面角C -DA -E的平面角.【答案】 三棱錐尸的體積沖3J5；二面角C-DA-Sff平面角的大小為蘭,6t解析】試題分析：(1)由于三P-ABC的側(cè)樹:都相等.以得到點F在平面血口內(nèi)的射 彫點為心恥的外心，而由于use的三條底邊満足勾定理,可知AC沖直角三垢形 血V的斜辺，從而可以ffl道BC中點.0即?直角三角酈的外卜 然右利用勾股定 理求出P0,并且計算出直®三怡皿1?旳面積，

14、fe后利用錐體的障積公式計算此三棱錐 的體積；(2)解法一是在(1)中曲2礎(chǔ)上 利甲PO丄平面得到平面P4C丄平面ABC.然后在平面曲C內(nèi)作EG丄KCn®利用茴與平面垂直的性質(zhì)定理得到EG丄平面PAC,從而得到EG丄AD.再從點.G在平面E4C內(nèi)作GH LAD于點 并連接總乩 利用三垂線法得到Z曲G為二面角(7-ZM-E的平面角，S后在直角三角 冊SHG中計算Z曲G的大??；解法二是；0曲匱蠱，以00 0P為產(chǎn)疋軸崖立空間宜角坐標系，利用空間向量法求二面角U-R4-&的平面角的大小.試題解析； 取衛(wèi)C的中點6 連接防陽,易得OP丄血吩心”護4嶺'：AC = AAB =

15、2,BC = 23.AC = AB+BC:. OS = OC=2.二 PB2 =0B2 +0 P2OP 丄 OB.又AC "bo =0 且 AC、OBu 面 ABC OP 丄平面 ABC ,1 1V 蟲BC =5。PX_ABXBC =373(2)法一：作丑G丄AC> GW丄DF于工月點，連接SH：0F 丄平面 ASC,EGu平® ABC.:. EG丄OPc又TEUnOF = O且OPu 面尸EC丄平面E4U'/ DAU 平面/MC,二加丄EG又 T £GC OH =。且EG GH u 面EGH :. DA 丄平ffi EGH,TEVu平面已二甜丄ZM

16、,二乙EHG溝二面角C-DF-S的平面角'/ 50二 C£sin 30= ,CU = CECOSiQ =加0 =彳Q由毗r必幾恥=蘇討Px AC =卜期仙，"°H =勺/HanZ£Z/C' = ,Z£/G = =10.（贛州聯(lián)考）（12分）如圖所示，已知四邊形 ABCD是正方形，EA平面 ABCD PD/ EAAD= PD= 2EA= 2, F, G, H 分別為 BP, BE, PC 的中點。（I）求證：平面 FGHL平面AEB（n）在線段PC上是否存在一點 M,使PB丄平面EFM若存在，求出線段 PM的長；若不存在，請說明理

17、由.【答案】 I）詳見解析山）在線段PC上存在一點M，“丄平面E斑【解析】試題分析'C I ）求證：平面FGH丄平面AEB.證明®面垂耳 先證線面垂a.即證一個平面過另一個 平a的垂魏.注憲到F, H分別楓段PB, PC的中盤W所以FHZ<BC-只要CB丄平麗AEB ,則FW丄平面AEB, 由已知EA丄平面AECD，則EAlCBi而四迫形A»CD是正方畛CB丄也 從而可得CB丄乎面AEB *即可證 出平面鳳3丄平面ASB、（115這是=個採索性命題.一邊假設(shè)存在，作溝條件，進行推理即可.有已 知條件，先判斷EF丄PB t因為若EF不垂直PB*則點Ma不存在），

18、若肝丄平面EFM,只需使PE丄F>注意芻三角形磁是_"角三角形，躋pn«sApcB.褓線段比例關(guān)系，聊P肛竽，皿結(jié)論.試題解析H < I）因?qū)滶A丄平面ABCS所以EA丄CB.又因再CB丄AB, ABnAE=A>所以CB丄平面ABE.3分由5MI Fl W分別為娃段P肪PCffJ中懸 所以FH#BC,則FH丄平面ABE* 5分而FHU平ffi FGH,所以平面FGH丄平面AB& “甫分（11）在線段PC上存在一點%便PB丄平麗EFM.證明如下：在直ffi三角形AEB中，因為AE=1, AB電 所L<A BE J在直角梯形EADP中，因為AE=

19、1, AD=PD=2,所以PE：的,所L<A PE=BE.又因為F為網(wǎng)的中點.所UAefIpb, .,8分要使FE丄平面EFTfl,只需使PB±FK, 因為PD丄平面ABCDi所以FD丄亡已 又因為厲丄PDQCXD, 所以CB丄平面pcm而PCU平®Fcm所以cb丄fc.口分PM PF若 PB丄珂,fflAPFT«*APCB,可得 =,- PB PC由已知可求得F滬斯，卩片履ZE所咲晉.12分苕點.S面垂直的列定，線面垂直的性質(zhì).11.（淄博期末）（本小題滿分12分）四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形；側(cè)棱 PEU底面ABCD PD=DC E是PC的中

20、點.（I ）證明：PA/平面BDE（n）求二面角 B-DE-C平面角的余弦值.試題解帕 【）如團，連接駅交BD于F,再連接EFi 因為四邊形ABCD為正方形，所以F為K中點;又因為E為FC中馬所次EF/PA;因為EFU平面BDE，P直r平面BDE，且EF/M, 所以FA "平面BDE;方法二：EbJSiClCD, BC1PD,所以占C丄平面CDI DE丄蠱C ；X因為ZkCDP為等腰直角三甬形，E為CP的中點，所UDE丄FG因為 DE1FC, DE1BC ,所以QE丄平面 BCP, DE1££ $ 由于QE丄喪E, QE丄故二面角B-MP 的平®角為Zk

21、EUj1 Fj在DCE 中，= CE=-CP =SC,2 2BEZfiC? + CE =三世y 2210分所皿喘沖故二面角BDEC平面第的余弦值為12.（濰坊期末考試）（本小題滿分12分）請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示ABCD是邊長為 60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起,使得ABCD四個點重合于圖中的點 P,正好形成一個四棱柱形狀的包裝盒，其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE=FB=x cm.(I )某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S (cm)最大，試問X應(yīng)取何值；x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與(II )某廣告商要求包裝盒容積

22、 V(cm 3)最大，試問$/>*/丸.:J 、底面邊長的比值.、匕，乜-J Z-V.T./ v；<? A/ >/ /V/.一一敢.1i I ft A X E F 工 B【答案】(I ) = 15時，S取得最犬值，(11試題分析：設(shè)包裝盒的高為耳、曲、底面邊長JS = 3 =8<30 力=-Q2 +1 阿< I)應(yīng)用二次函數(shù)知識可得疋=15時S取得最大值.(II)得到卩二=屁-通過"俅導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論區(qū)間單調(diào)性，確走極值”等歩騾.試題解析：設(shè)S裝盒的高為h(匚心，底面邊長為毬 a 由已知得嚴樂*二專皿-如“(I)S =4ah =8x(30X)=8(X1

23、5) +1800,所以當X =5時，S取得最大值.(n) V=a2h=-2層3 +60屁.=2 2 -(X2 +30X由,V'=6血x(20-X).由V' = 0得：x"(舍)或 x=20.當 X迂(0,20)時，V >0 ； 當 X 忘(20,30)時，V < 0 ；h 1 1 112分此時a =2即裝盒的高與底面邊長的比值為2考點：幾何體的體積與表面積，二次函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值13.(淄博期末)(本小題滿分12分)如圖所示，已知三棱錐A-BPC中，APL PC ACL BCM為AB的中點，D為PB的中點，且 PMB為正三角形.(I )求

24、證：DM/平面APC(n)求證：平面 ABCL平面 APC.【答案】證明：（I）由見解析；（II）見解析. 【解析】試題分析：（I）由已弼M為AB的中點，D為?B的中點，利用三角形中位線定理 得到 MDAP.（II）因為®/S為正三角形，Q為網(wǎng)的中點，得到MD1PB.又因為由MDAP,得到打丄丹.進一步得到廿丄平面PSC .府丄5C.又召C丄AC ,故可得到月C丄平面APC.平面府C丄平面/PC.試題解析：證明：（I）由已知小為AB的中點，D為PE的中鈦 所以JUD是S尸的中位線，所以MDN廿.又平面APC, dPu平故IfD"平面APC.（II）因為為正三角形，D為陽的中點，所漢丄刊.又因為昶）|腫，所氏廿丄網(wǎng).“7分又腫丄FG AP1PB, PScPC=P,所以廿丄平面PRC因為百C匸平面PEC ,所以腫丄召C又召C丄AC ,且召Q(mào)丄/只ACrAPA,所以月C丄平面APC.口分因為召Cu平面ABC,所以平面ASC1.平面廿C.12分考點：直線與平面平行平面與平面垂直.14 （普陀調(diào)研）（本題滿分14分） 本大題共有2小題,1小題6分，第2小題8分.如圖所示，一種醫(yī)用