圓錐曲線中的軌跡問題-2020高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題

1、專題六圓錐曲線中的軌跡問題專題六圓錐曲線中的軌跡問題軌跡是動點(diǎn)按照一定的規(guī)律即軌跡條件運(yùn)動而形成的，這個軌跡條件一旦用動點(diǎn)坐標(biāo)的 數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來，軌跡方程就產(chǎn)生了 .根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律求出動點(diǎn)的軌跡方程，這是 高考的?？键c(diǎn)：一方面，求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面，求軌跡方程培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思 想、函數(shù)與方程的思想以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.模塊1整理方法 提升能力曲線軌跡方程的探求有兩種題型，第一種題型是曲線類型已知，該題型常用的方法是找條件或用待定系數(shù)法，難度不大；第二種題型是曲線類型未知，該題型常用的方法有以下

2、 3種:1 .定義法：如果所給的幾何條件能夠符合一些常見定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義），則可從定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，這種方法叫做定義法.2 .直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件有明顯的等量關(guān)系，或者是一些幾何量的等量關(guān)系，這 些條件簡單明確，易于表達(dá)成含未知數(shù)x、y的等式，從而得到軌跡方程，這種方法叫做直接法.3 .參數(shù)法：求解軌跡方程有時很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借 助中間變量（參數(shù)），使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的 軌跡方程，這種方法叫做參數(shù)法. 一般來說，引進(jìn)了 N個未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)x與y 之間的關(guān)系，需要找 N

3、 1個方程.常見的消參手法是：力口、減、乘、除、平方、平方相加、 平方相減以及整體消參等.相關(guān)點(diǎn)代入法、交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況.C例1已知點(diǎn)P 2,2 ,圓C ： x2 y2 8y 0 ,過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，線 段AB的中點(diǎn)為M, O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)|OP| |OM|時，求l的方程及 POM的面積.【解析】（1）法1 （定義法）：圓心C 0,4 ,由垂徑定理可知 CM PM ,于是點(diǎn)M在以CP為直徑的圓上，所以 M的軌跡方程為x x 2 y 4 y 20,即22x 1 y 32 .3法2 （直接法）：設(shè)M的坐標(biāo)為x, y，由 CM PMuuuu

4、 uuur 可得CM PMuuurCMuuuuPM x 2,y 2 ,于法3 （參數(shù)法）：當(dāng)l的斜率不存在時,其直線方程為8y 40,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為 2,4 .當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線方程為yx, y .聯(lián)立8y2 一消去0y可得k2 1 x24 k2 k x4k22 k2k8k 120,于k2濘代人消去參數(shù)k ,可得(x 2 ).綜上所述，M的軌跡方程為x(2)212yOPOM可知點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,OP為半徑的圓上.聯(lián)立，即 x 3y25145,于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為2 14,，、一2,14 ,于是直線l的方程為5 50 . POM的面積為1632 W法2：由OP OM|可知點(diǎn)O在PM的垂直平

5、分線上，而PM的垂直平分線過圓心 1,3 ,11一所以直線l的斜率為一，直線方程為y 2 - x 2 ,即x 3y 8 0 .因?yàn)镺P 2 J2 , 33點(diǎn)O到直線l的距離為d 勺0,所以PM | 2J|OP|2 d2仝叵，于是 POM的面積為 5”51 4 10 4 10 16一.2 555【點(diǎn)評】解析幾何中兩直線垂直的常見轉(zhuǎn)化有以下4種：點(diǎn)在圓上，向量數(shù)量積為 0,斜率乘積為 1,勾股定理.用“點(diǎn)在圓上”的角度能從定義法出發(fā)直接得到軌跡方程；用“向量數(shù)量積為0”的角度能避開分類討論.求軌跡方程時，先考慮定義法，看是否滿足某種曲線的定義，再考慮直接法，看能否得到一個幾何條件，進(jìn)而將該幾何條件

6、代數(shù)化再化簡，最后再考慮參數(shù)法，引進(jìn)參數(shù)解決問題.。例2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2： x 5 2 y2 9外，且對C1上任意一 點(diǎn)M, M到直線x 2的距離等于該點(diǎn)與圓 C2上點(diǎn)的距離的最小值.（1）求曲線G的方程；（2）設(shè)Pxo,y。（y0 3）為圓C2外一點(diǎn)，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線Ci相 交于點(diǎn)A、B和C、D .證明：當(dāng)P在直線x 4上運(yùn)動時，四點(diǎn) A、B、C、D的縱坐標(biāo) 之積為定值.【解析】（1）法1:由題設(shè)知，曲線 Ci上任意一點(diǎn)M到圓C2的圓心5,0的距離等于它到直線x 5的距離，因此，曲線 Ci是以5,0為焦點(diǎn)，直線x5為準(zhǔn)線的拋物線，所以方程為y2

7、 20x .法2：設(shè)M的坐標(biāo)為x, y ,由已知得|x 2 J x 5 2y2 3 ,且點(diǎn)M位于直線x 2 的右側(cè)，于是x 2 0,所以J x 5 2 y2 x 5,化簡得曲線Ci的方程為y2 20x .【證明】（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線x 4上運(yùn)動時，設(shè)P的坐標(biāo)為 4,y0，又y03 ,則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn)，切線方程為y V。 k x 4 ,即 kx y y0 4k 0 .于5k y0 4kk2 i3,整理得2272k2i8y0ky29 0.設(shè)過P所作的兩條切線PA、PC的斜率分別為ki、k2,則ki、k2是方程的兩個實(shí)根，所以 ki k2 ”

8、出 此.724kix y y0 4ki 0k, 2由 2可得y y % 4ki 0.設(shè)四點(diǎn)A、B、C、D的縱y 20x20坐標(biāo)分別為y1、y2、y3、y4,則yi、y2是方程的兩個實(shí)根，所以yi y220 v。 4ki同理可得V420 V。 4k2k2十日400 y0 4ki V。 4k2于用 yiy2y3y4 kik；專題六圓錐曲線中的軌跡問題 222400 y0 4 k1 k2 y0 16k1k2400 y0 y0 16k1k2 6400.所以當(dāng)P在直線x 4上運(yùn) ki k2卜水2動時，四點(diǎn)A、B、C、D的縱坐標(biāo)之積為定值 6400 .【點(diǎn)評】 定義法和直接法非常相似，其出發(fā)點(diǎn)都是找?guī)缀螚l

9、件，其區(qū)別在于對所找的幾何條件的理解.如果能發(fā)現(xiàn)所找的幾何條件是滿足某種曲線的定義的，則可以根據(jù)曲線的定義馬上得到所求的軌跡方程，這就是定義法.如果所找的幾何條件究竟?jié)M足哪種定義不太明顯，則可以利用直接法，把所找的幾何條件代數(shù)化，再把代數(shù)化后的式子化簡到最簡.第(2)問的定值證明需要引進(jìn)參數(shù)，而引進(jìn)多少個參數(shù)是因題而異的，一般是從點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程這兩個角度引進(jìn)參數(shù).本題總共引進(jìn)了六個參數(shù)：k1、k2、y1、y2、y3、y4,其準(zhǔn)則是所引進(jìn)的參數(shù)都能幫助解題，且最終都能將其消去，這是解析幾何中“設(shè)而不求”的重要思想方法.例3已知拋物線C: y2 2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線li、1分

10、別交C于A、B兩 點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P、Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR/FQ；(2)若/ PQF的面積是 ABF的面積的兩倍，求 AB中點(diǎn)的軌跡方程.【證明】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F 1,0 .不妨設(shè)直線11 : y2a ,直線12:y b,則2Ja ，24i，b 于當(dāng)線段AB垂直于x軸時，不妨設(shè)則有12，112，012，1kFQ 1, kAR 1 ,所以 AR / FQ .當(dāng)線段AB不垂直于x軸時，直線AB的斜率為2a-,即 2x a b 2y ab 0 ,因?yàn)镕在線段AB上，所以ab 1 .于專題六圓錐曲線中的軌跡問題a b1 .bab bbkFQ - b ， kAR2

11、 2 馬上 _b_b ,所以 AR / FQ .11a2 1a2 11 212 22 2b 1【解析】（2） PQF的面積為a b .直線AB與x軸的交點(diǎn)為生,0 ,所以 ABF22的面積為1 1史|a b .由2 22 11 ab 一口 -yla b ,可得 ab 11 ,于是ab 0 (舍去)9或ab 2.F.式平方,可得2 b2設(shè)AB中點(diǎn)為M x, y ,則x a一b-，y42 a2 b2 2ab2y ，將代入，可得 y2 x 1.4【點(diǎn)評】 本題采用了參數(shù)法求 AB中點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)是引進(jìn)了2個未知數(shù)x、y與a2 b2 a b2個參數(shù)a、b,此時我們需要找 3個方程：x a , y

12、ab 2,通過這3個42方程消去2個參數(shù)，從而得到 x與y之間的關(guān)系.一般來說，引進(jìn)了 N個未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)x與y之間的關(guān)系，一般需要找 N 1個方程.找到方程后，通過加、減、乘、除、平方、平方相加、平方相減以及整體消參等手法進(jìn)行消參.這是參數(shù)法的關(guān)鍵所在.拋物線焦點(diǎn)弦有兩個常用結(jié)論：設(shè)AB是過拋物線y2 2px ( p 0)焦點(diǎn)F的弦，若P22A y , B義2。2 ,則有(1) x區(qū) , NN?p ; (2)以弦AB為直徑的圓與傕線相4切.模塊2練習(xí)鞏固整合提升2 o2練習(xí)1：已知圓M ： x 1 y1,圓N：x1 y9,動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C .(1

13、)求C的方程；(2) l是與圓P、圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑 最長時，求|AB .【解析】(1)設(shè)動圓P的半徑為r ,則PM r 1 , PN 3 r ,兩式相加，可得PM| PN 4,所以圓心P是以M、N為焦點(diǎn)，2a 4的橢圓(左頂點(diǎn)除外).a 2,c 1,_22b J3,所以C的方程為1 (x 2) .43(2)由(1)可知 PM r 1, PN 3 r ,所以 PM PN 2r 2 MN ,于是 r 2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為2,0時，等號成立，所以當(dāng)圓 P的半徑最長時，圓 P的方程為當(dāng)l的斜率不存在的時候，此時顯然 l就是y軸，AB 2J3 .當(dāng)l的斜率存在的

14、時候，顯然l的斜率不為0 ,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)Q ,則有BMQP即A_xQ 1,由此解得xQ4,且k :!它,于是直線方程為2 Xq 2J|QM|2 12422yx 4jx 4 .聯(lián)立 94 ，消去y,可得7x2 8x 8 0 .由弦長公式，有4x2 y2 143AB| A ：1叵苫 4 7- 18 .|a| y 47722x y練習(xí)2：已知橢圓C ： y- 1, P xo,y。為橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條42切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)P Xo,yo為定點(diǎn)時，求直線 AB的方程;(2)若PA、PB相互垂直，求點(diǎn) P的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)A X1,y、B X2,y2

15、 ,則切線PA方程為土x 里 1,點(diǎn)P在切線PA上, 42所以咨純 1.同理，切線PB方程為xx ?叱1,點(diǎn)P在切線PB上，所以 4242咨及加1.由可得直線 AB的方程為七垃1,即xox 2y0y 4 0.4242(2)若直線PA、PB的斜率都存在，不妨設(shè)其斜率分別為k1、k2,則Kk21.設(shè)y y k x x0過點(diǎn)P x0,y0的直線方程為y y k x X0 .由x2 y2消去y可得一 一 1422222k 1 x 4kq y0 x 2q y02 0 .因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以2222222.16k 呸 y04 2k 1 2 呸 y02 0,即 4 / k 2x0y0k y0 2 0 .

16、由PA、PB與橢圓相切可知ki、k2是該方程的兩個實(shí)數(shù)根，所以 Kk222y21,即x2 y26.若直線PA、PB中有一條斜率不存在，則另一條斜率為0,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,應(yīng)，滿足X2y26 .綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為X2 y2 6 .【點(diǎn)評】給定圓錐曲線C和點(diǎn)P Xo,yo ,用XoX、yoy、包心、包分別替換X2、y2、 22X、y ,得到直線l ,我們稱點(diǎn)P和直線l為圓錐曲線C的一對極點(diǎn)和極線. 其結(jié)論如下: 在圓錐曲線C上的時候，其極線l是曲線C在點(diǎn)P處的切線；當(dāng)P在圓錐曲線C外的時候, 其極線l是曲線C從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線) 錐曲線C內(nèi)的時候，其極

17、線l是曲線C過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.特別地:2橢圓X2ayoyb22二1 ( a b 。)，與點(diǎn)P Xo,yo對應(yīng)的極線方程為萼ba雙曲線2X2a2y.，1 ( a o , b 。)，與點(diǎn) bP X0,y0對應(yīng)的極線方程為XoX2a拋物線2Px ( p 0 ),與點(diǎn) P Xo,Vo對應(yīng)的極線方程為yy pXo X在橢圓2X2a2*b )中，點(diǎn)P2c,o對應(yīng)的極線方程為X ,這就是橢圓的c右準(zhǔn)線.本題采用整體法進(jìn)行消參方法，這是消參的一種方法.(2)小問也可以引進(jìn)AXi,yi 、B X2,y2、P Xo, yo ,共2個未知數(shù)x、y和4個參數(shù):X1、X2、2,利用以下5個方程進(jìn)行消

18、參:22X1Xo yyo 1 Xo Yzyo 1 立叢42、42、 421,2X242y224yiy2練習(xí)3:如圖，拋物線 C1 ： X2 4y和 C2： X22py ( p o).點(diǎn) M Xo,yo在拋物線C2上，過M作Ci的切線，切點(diǎn)分別為(M為原點(diǎn)O時，A、B重合于O) .當(dāng)Xo 1衣時，切線MA的“一,1斜率為 一.2(1)求p的值;A、 B(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A、B重合于O時，中點(diǎn)為O ).【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€G：x2 4y上任意一點(diǎn)xx, y的切線的斜率為y 一，且切線MA21的斜率為，所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為211,-,故切線MA的萬程為yM 1叵V。在切線MA及拋物線C2上，所以有y。1ck12.23力2J 2和2441 J2 22py0,由此可得p 2.22