基本不等式及的應(yīng)用

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案基本不等式及應(yīng)用一、考綱要求：1. 了解基本不等式的證明過(guò)程2會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大( 小) 值問(wèn)題3了解證明不等式的基本方法綜合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號(hào)成立的條件a ba>0，b>0a bab2三、常用的幾個(gè)重要不等式22a b 2(1)ab2ab(a ，b R) (2)ab (2 ) (a ， b R)a2 b2a b 2b a(3)2 (2 ) (a ， b R) (4)a b2(a ， b 同號(hào)且不為零 )上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是a b.四、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè) a>0， b>0，則 a， b 的算術(shù)平均數(shù)為a

2、 b，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的2算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)四個(gè)“平均數(shù)”的大小關(guān)系；， R+： 2aba ba b當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào) .五、利用基本不等式求最值：設(shè)x， y 都是正數(shù)(1) 如果積 xy 是定值 P，那么當(dāng)xy 時(shí)和 x ya ba 2b2ab22有最小值2P.1 2(2) 如果和 x y 是定值 S，那么當(dāng)x y 時(shí)積 xy 有最大值 4S .強(qiáng)調(diào)： 1、在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”. 當(dāng)條件不完全具備時(shí)，應(yīng)創(chuàng)造條件.正：兩項(xiàng)必須都是正數(shù)；定：求兩項(xiàng)和的最小

3、值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。等：等號(hào)成立的條件必須存在.2、當(dāng)利用基本不等式求最大( 小 ) 值等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？（若最值取不到可考慮函數(shù)的單調(diào)性）想一想 : 錯(cuò)在哪里？1已知函數(shù) f ( x) x ，求函數(shù)的最小值和此時(shí) x的取值 x解 : f ( x )x1x122xx當(dāng) 且 僅 當(dāng) x1 即 x1時(shí)函數(shù)x取到最小值2.精彩文檔已知函數(shù)f (x)x3 (x2) ，x2求函數(shù)的最小值3解 ： f ( x )x32xx22xx2當(dāng)且僅當(dāng)x3即 x3時(shí)，函數(shù)x2的最小值是6。大 家 把 x23代入看一看，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？用什么方法求該函數(shù)的最小值？實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1

4、13、已知兩正數(shù)x， y 滿足 xy 1，則 z (x x)(y y) 的最小值為 _111解一：因?yàn)閷?duì)a>0，恒有 a a 2，從而 z (x x)(y y) 4，所以 z 的最小值是4.2 x2y22xy22解二： zxy ( xy xy) 2 2xy · xy 22( 2 1) ，所以 z 的最小值是 2( 2 1) 【錯(cuò)因分析】 錯(cuò)解一和錯(cuò)解二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，只有等號(hào)成立時(shí)，所求出的最值才是正確的111yx1xy2 2xy2【正確解答】z (x x)(y y) xy xy x y xy xy xy xy xy

5、 2，x y 212112令 t xy ，則 0<t xy (2) 4，由 f(t) t t 在 (0 ，4 上單調(diào)遞減，故當(dāng)t 4時(shí)， f(t)t t33125有最小值 4 ，所以當(dāng)x y2時(shí) z 有最小值 4 .誤區(qū)警示：(1) 在利用基本不等式求最值 ( 值域 ) 時(shí)，過(guò)多地關(guān)注形式上的滿足，極容易忽視符號(hào)和等號(hào)成立條件3的滿足，這是造成解題失誤的重要原因如函數(shù)y 1 2x x(x<0) 有最大值1 26而不是有最小值12 6.(2) 當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否都能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)課堂糾錯(cuò)補(bǔ)練：若 0<x ，則 f

6、(x)sinx 4 的最小值為 _2sinx時(shí)， t (0,14單調(diào)遞減， t 1 時(shí) y 5.解析： 令 sinx t,0<t 2，此時(shí) y t t 在 (0,1min答案： 5考點(diǎn) 1利用基本不等式證明不等式1. 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推得所證問(wèn)題，其特征是“由因?qū)Ч?2證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號(hào)是否都成立同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式例 1：（ 1）已知 a,b, c 均為正數(shù)，求證：222222()a bb cc ab ca

7、bc a（ 2）已知 a,b, c 為不全相等的正數(shù)，求證：ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 1（ 3）已知 a>0， b>0， a b1，求證： a b 4.【證明】(1) a>0， b>0， a b 1，11a ba bba ab a b 2a bba122· 4( 當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)等號(hào)成立 ) ab21 1 ab 4. 原不等式成立練習(xí)： 已知 a、 b、 c 為正實(shí)數(shù)，且a b c 1，求證： (1 1)( 11)( 1 1) 8.abc證明： a、 b、c 均為正實(shí)數(shù)，且a b c1，111 ( a 1)( b 1)

8、( c 1)1a1 b1cabcbca cab 2 bc · 2 ac· 2 ab 8.abcabc1當(dāng)且僅當(dāng)a b c 3時(shí)取等號(hào)考點(diǎn) 2利用基本不等式求最值(1) 合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值(2) 當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法例 4： (1)設(shè) 0<x<2，求函數(shù)y2 x(2x) 的最大值【分析】由

9、和或積為定值從而利用基本不等式求最值，然后確定取得最值的條件【解】(1) 0<x<2， 2 x>0， y x 42x 2· x 2 x 2·x 2x2，2當(dāng)且僅當(dāng) x 2 x 即 x1 時(shí)取等號(hào)，當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù) y x 42x的最大值是 2.12(2) x>0 ，求 f(x) x 3x 的最小值；（ 3）已知 :x>0,y>0. 且 2x+5y=20, 求 xy 的最大值 .（ 4）已知 y4 a，求 y 的取值范圍a 2444顯然 a 2，當(dāng) a>2 時(shí)， a 2>0， a 2 a a 2 (a 2) 22a 2a 2

10、 2 6，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4當(dāng)且僅當(dāng) a 2 a 2，即 a 4 時(shí)取等號(hào)，當(dāng) a<2 時(shí)， a 2<0，444 a 2 a a 2 (a 2) 2 2 a(2 a) 2 242 a 2 2，2 a當(dāng)且僅當(dāng)4 2 a，即 a 0 時(shí)取等號(hào)，2 a4 a 的取值范圍是 ( ， 2 6 ， ) a 2(5) 已知 x>0， y>0，且 x y 1，求 3 4的最小值x y x>0， y>0，且 x y1，3434 ( )(x y)xyxy3y4x3y4x 7 x y 72x · y 74 3，3y4x當(dāng)且僅當(dāng)x y ，即 2x 3y 時(shí)等號(hào)成立，3

11、 4 xy的最小值為 7 4 3.練習(xí)：求下列各題的最值25(1) 已知 x>0， y>0， lgx lgy 1，求 z x y的最小值；解： (1)由 x>0， y>0， lgx lgy 1，可得 xy 10.則 25 2y 5x210xy 2. zmin 2. 當(dāng)且僅當(dāng)2y 5x，即 x 2，y 5 時(shí)等號(hào)成立xy101012(2)x0，求 f(x) x 3x 的最大值；121212 x>0， f(x) x 3x2x · 3x 12，等號(hào)成立的條件是x 3x，即 x 2， f(x)的最小值是 12.4(3)x<3 ，求 f(x) x 3 x 的

12、最大值44 x<3， x 3<0， 3 x>0， f(x) x3 x x 3 (x 3) 344 3 x (3 x)3 23 x3 x 3 1，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案4當(dāng)且僅當(dāng)3 x 3 x，即 x 1 時(shí)，等號(hào)成立故f(x) 的最大值為 1.（ 4） a0, b 0,4a b 1 ，求 ab 的最大值。考點(diǎn) 3利用基本不等式求最值的解題技巧1. 代換：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，易于拼湊成定值形式。2拆、拼、湊，目的只有一個(gè)，出現(xiàn)定值例 3：（ 1）已知 a, bR , ab3ab ，求 ab 的最小值。（ 2）已知 y2x 1x 2 (0x1) ，求 y 的最大值。（ 3）已知 a,bR

13、 ， a 2b21，求 a 1b 2 的最大值。2（ 4）求函數(shù)y2x152x 的最大值。2112（ 5）設(shè) a>b>c>0，求 2a ab aa b 10ac25c的最小值。A 2B 4C 25D 5【分析】通過(guò)拆、拼、湊創(chuàng)造條件，利用基本不等式求最值，但要注意等號(hào)成立時(shí)的條件22112【解析】原式(a10ac 25c ) ab aba a b a(a b) a aba(a b)211 (a 5c) abab aa b a(a b)1102ab· ab 2a a b· a a b 4，ab 12， c2時(shí)，等號(hào)成立 【答案】 B當(dāng)且僅當(dāng)a a b1，即

14、a2， ba 5c25練習(xí)：（ 1） (2011 年浙江 ) 設(shè) x， y 為實(shí)數(shù)，若4x2 y2 xy 1，則 2x y 的最大值是 _解析： 4x 2 y2 xy 1， 4x2 4xy y2 3xy 12332x y2 (2x y) 13xy 2· 2x· y2· (2)23228 (2x y) 18(2x y) (2x y)5精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案210 2x y210當(dāng)且僅當(dāng)2x y 時(shí)取等號(hào)，(2x y)210.即55最大值5（ 2）已知 x5 ，求 y4x21的最大值。44x5（ 3）已知 xy0 ， xy1 ，求 x2y 2 的最小值及相應(yīng)的 x, y

15、 的值。xy考點(diǎn) 4基本不等式的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是：(1) 仔細(xì)閱讀題目，透徹理解題意；(2) 分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，引入未知數(shù)，并用它表示其他的變量，把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)；(3) 應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值；(4) 還原實(shí)際問(wèn)題，作出解答例 4 圍建一個(gè)面積為360 m2 的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻( 利用的舊墻需維修) ，其他三面圍墻要新建， 在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口， 如圖所示 已知舊墻的維修費(fèi)用為45 元/m，新墻的造價(jià)為180 元 /m. 設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x( 單位： m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y( 單位：

16、元 ) (1) 將 y 表示為 x 的函數(shù)；(2) 試確定 x 使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用【分析】(1) 首先明確總費(fèi)用y舊墻維修費(fèi)建新墻費(fèi)，其次，列出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 利用基本不等式求最值，最后確定取得最值的條件，作出問(wèn)題結(jié)論【解】(1) 如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m.則 y45x 180(x 2) 180× 2a 225x 360a 360.360由已知 xa 360，得 a x ，3602所以 y 225x x 360(x>2) (2) x>2，36022 225x x 2225×360 10800. y 225x

17、3602225x3602 360 10440. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立xx即當(dāng) x 24 m 時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440 元方法歸納：(1) 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解(2) 在求所列函數(shù)的最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解練習(xí)：1、有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全， 交通部門規(guī)定： 大橋上的車距d(m)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案21與車速 v(km/h) 和車長(zhǎng) l(m) 的關(guān)系滿足： d kv l 2l(k為正常

18、數(shù) ) ，假定車身長(zhǎng)都為4 m，當(dāng)車速為60 km/h時(shí)，車距為2.66 個(gè)車身長(zhǎng)(1) 寫出車距 d 關(guān)于車速 v 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時(shí)通過(guò)的車輛最多？12.66l l2.162解： (1) 當(dāng) v 60 km/h時(shí)， d 2.66l， k602 l 602 0.0006， d 0.0024v 22.(2) 設(shè)每小時(shí)通過(guò)的車輛為1000v1000v1000.Q，則 Q，即 Q2d 40.0024v 60.0024v6 v 0.0024v 6 20.0024v · 60.24 ， Q 100012500.vv0.243612500當(dāng)且僅當(dāng)0.0024v v，即 v 50 時(shí)， Q取最大值3.答：當(dāng) v 50 km/h 時(shí)，大橋上每小時(shí)通過(guò)的車輛最多2、設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2 ，畫面的寬與高的比為(01) ，畫面的上下各留 8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎樣確定畫面的高于款的尺寸，使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求 2 , 3 ，那么為何值時(shí)使宣傳畫所用紙張面積最?。? 4歸納提升：1創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件：(1) 合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目的是使“和式”或“積式”為定值，且每項(xiàng)為正值；(2) 在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解