1003隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、10 03隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、概念網(wǎng)絡(luò)圖一維隨機(jī)變量T二維隨機(jī)變量T 期望 .方差1矩切比雪夫不等式期望 '方差協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣第四章數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX =Xi=Pi*i =1,2,3C若級(jí)數(shù)送xi pi絕對(duì)收斂,i #則稱級(jí)數(shù)3CZ xi pi的和為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望或均i =12、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)，若積分J xf(x)dx絕對(duì)收斂，則稱積分/ xf(x)dx的值為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望，記為 E(X)，即：E(X)=J xf(

2、x)dx tr(二)二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y).，定義它的數(shù)學(xué)期望為 E(X,Y)=(EX,EY).1.二維離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：PX =xi，丫 =比 = Pjj'i, j =1,2；"則 E(X) = 2 Xipi=22 XiPij ,i i j 1COC OCE(Y) = S yjp欄=S 2yi pjj#iT u2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X ,Y)的概率密度為f(x,y)，則E(X)=f xfx(x)dx=f f xf(x,y)dxdy，E(Y)= f yfY(y)dy=

3、f f yf(x,y)dxdy(三)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PX=xI = Pi, I =1,2,，g(x)是實(shí)值連續(xù)函C數(shù)，且級(jí)數(shù)5； g(Xi) Pi絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為I 4Eg(x)=送 g(xi)Pi .I 土2.連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)，g(x)是實(shí)值連續(xù)函數(shù)，且廣義積分-beJ g(x) f (x)dx絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望為-be數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):Eg(X) = r g(x)f(x)dx.(四)(1)設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C

4、設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量， C是常數(shù)，則有 E(CX)=CE(X).設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X +Y) = E(X) + E(Y).(可推廣到n維)設(shè)X,丫是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY) = E(X)E(Y)二、方差1.定義式:D(X)=EX-E(X) 2,標(biāo)準(zhǔn)差：b(X) = JD(X)離散型:D(X)匹Xk -E(X)2 Pkk-be連續(xù)型:D(X) = Jx-E(X)2 f(x)dx2.方差常用計(jì)算公式DX =E(X2)-E(X)2.3.方差的性質(zhì)(1 )設(shè) C 是常數(shù)，則有 D(C)=O, D(X±C)=D(X)(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量， C是常數(shù)，則有D(CX)

5、=C2D(X).(3)設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有D(X ±Y) = D(X)+ D(Y).(可推廣到n維)般地，設(shè)X,Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X ±Y) = D(X)+D(Y) ±2cov(X,Y)(4) D(X)=O的充分必要條件是 X 一概率1取常數(shù)C，即P X = C = 1，顯然，這里C = E(X)期望方差0-1 分布 B(1, p)PP (1 -P)二項(xiàng)分布B(n, p)npnp(1 - P)泊松分布P仏)ZZ幾何分布G(P)1P1 - P2P超幾何分布H(n,M,N)nMNnM U M 丫N - n N V N人N T丿均勻分布U(

6、a,b)a +b2(b -a)212指數(shù)分布e仏)1A17正態(tài)分布N(4,cr2)Ac 2/2分布n2nt分布0n (n>2)n 2常見(jiàn)分布的期望和方差三、協(xié)方差1.定義1： EXEX Y-EY稱為隨機(jī)變量 X,Y的協(xié)方差記為cov( X , Y),cov(X , Y) = EX EX Y EY2.協(xié)方差的常用公式:cov(X,Y) = E(XY) -E(X)E(Y)（按定義展開(kāi)即得）3.協(xié)方差的性質(zhì)（X）0試求：（1）常數(shù)C；（2）E（ X），D（X）；（ 3）P|X-E（X）| D（X）.(1)cov(X,X) =D(X)；當(dāng)Pxy = 0，稱X與Y不相關(guān)；當(dāng)Pxy=1時(shí)，稱X與丫完

7、全相關(guān)：P（X=aY+b）=1cov( X ,Y) = cov(Y,X);cov(aX,bY) = abcov(X,Y), a,b為任意常數(shù);cov(Xi +X2，Y)=cov(Xi,Y) + cov(X2,Y)；如果X,Y是相互獨(dú)立的，則cov（ X , Y）=o。四、相關(guān)系數(shù)1.定義2：設(shè)隨機(jī)變量 X,丫的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，稱Px= 罟以丫）為隨機(jī)變量Jd（X）D（丫）X ,Y的相關(guān)系數(shù)。2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):（1）Pxy 邙(2)Pxy=1的充分必要條件為，存在常數(shù)a,b使得PY = aX + b = 1。完全相關(guān)正相關(guān)，當(dāng)卩/時(shí)（a0），負(fù)相關(guān)，當(dāng)卩=-1時(shí)（a<0），五、矩對(duì)

8、于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,V k=E(Xk), k=1,2,對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心 矩，記為比，即六、二維正態(tài)分布及其邊緣分布1.定義：若二維連續(xù)隨機(jī)變量（X ,Y）的聯(lián)合概率密度為:f（x, y）=1!1（X-已）2exp（ I-2 PZes J1 一 P2 I 頁(yè) - P ） L（亠 V X < +=c, 一處 < y < +=6（x-41）（x-巴）+（y-巴）222其中比，卩2 2：, P都是常數(shù)，且 W ；0, b20，_比 已，卩2吒咼,Pel,我們稱（X ,Y）為服從參數(shù)

9、為 已，卩2&2，爲(wèi)，P的二維正態(tài)分布記為（X,Y ）N（已卍 2,W2,b；,P）2說(shuō)明:參數(shù)卩1，卩2分別是X和丫的數(shù)學(xué)期望，參數(shù)b 12分別是它們的標(biāo)準(zhǔn)差,參數(shù)P是它們的相關(guān)系數(shù)。3.二維正態(tài)分布的邊緣概率密度（X_R）2 172fx（x）=-e 2厲V2兀W（y_31 2fY（y）=e 2°OC < y < +oC4.二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度的關(guān)系二維隨機(jī)變量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量 X和丫相互獨(dú)立的充分必要條件P = 0 。即二維正態(tài)隨機(jī)變量（X , Y），X和丫不相關(guān)與X和丫相互獨(dú)立是等價(jià)的。常見(jiàn)題型1、一維隨機(jī)變量及其函

10、數(shù)的數(shù)字特征1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為cx2,2乞*乞2；其他.2.設(shè) E ( X2) =0，則 E ( X)=2x, 0<x<1;3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(xM則E ( XI)=0,其他，4十個(gè)獵人等候野鴨飛來(lái)，當(dāng)一群鴨飛來(lái)，獵人同時(shí)射擊，但每人任選自己的目標(biāo)，且不互相影響，若每一人獨(dú)自打中目標(biāo)的概率是P,若10只野鴨飛來(lái)，計(jì)算沒(méi)有被打中的鴨數(shù)的期望值.2、維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征xy,05.設(shè)二維隨機(jī)向量(X , Y)的概率密度為 f (X, y) = ：0< X < 1,0< y c 2; 其他,試求：(1)E(X)，E (Y ); (2) D

11、(X), D ( Y); ( 3) p xy .6.已知隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)為 PxY，若U=aX+b, V=cY+d,其中ac>0.試求U, V的相關(guān)系數(shù)PUV。7.( 01, 3 分)將一枚硬幣重復(fù)擲 n次，以X和Y分別表示正面向上或反面向上的次數(shù)，貝y X和Y的相關(guān)系數(shù)等于(B) 0(D) 18.今有兩封信欲投入編號(hào)為I、II、山 的3個(gè)郵筒，設(shè) X Y分別表示投入第I號(hào)和第II號(hào)郵箱的信的數(shù)目，試求(1) ( X, Y)的聯(lián)合分布;(2) X與 丫 是否獨(dú)立；(3)令 U=max(X,Y),V=min(X,Y)，求 E (U)和E (V)。9.假設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形

12、G=(X,Y)|0 < x w 2, 0 w y w 1上服從均勻分布，記0,X <Y,1,X >Y;0,V 6I1,<2Y,>2Y.(1) 求U和V的聯(lián)合分布；(2 )求U和V的相關(guān)系數(shù)P .10. (98, 7分)某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為 80、10和10件?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記Xi1,若抽到i等品0 其他 (i =1,2,3)試求：(1) (X, X2)的聯(lián)合分布；(2) (X, X2)的相關(guān)系數(shù) Po3、獨(dú)立和不相關(guān)11.已知隨機(jī)變量 X和丫分別服從正態(tài)分布 N( 1, 32)和N(0, 42),且X與丫的相關(guān)系數(shù)1X y2，設(shè) Z +(1) 求Z的數(shù)學(xué)期望E (Z)和方差D(Z); (2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)Pxz； (3)問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立？為什么?12.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則 E(X + e'X)-13. (93, 6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1 ix|f(X)= e 嚴(yán) ex c 畑2并冋X與| X|是否不相關(guān)?(1) 求EX和 DX (2)求X與|X|的協(xié)方差,(2) 問(wèn)X與IX是否相互獨(dú)立？為什么?14.如果X與丫滿足D (X+y) =D (X-Y),則必有(A) X與丫獨(dú)立。(B)X與丫不相關(guān)。(C) D ( Y) =0