直線與雙曲線的相交弦問答

1、直線與雙曲線的相交弦問題2例1、過雙曲線X直線與雙曲線相交的弦長公式 AB 7(X1 x2) (y1 y2)2 (兩點之間的距離)AB1 k2X2X1(1k2)(XX2)24X! X2AB'-1k2y2% (11.2) (y1 ky2)2Ayy、已知雙曲線方程和直線方程求弦長1的左焦點F1，作傾斜角為一的弦AB，求AB ；(2) F2AB的面積(F2為6雙曲線的右焦點)(1)尿曲犠撫點尺(一乙0片內(nèi)(乙0人聲銭方毎為魯(曠兒4弋入雙曲蜒方詛 * 得 8 -4jc 13=0.說 A(X|，)3T方it一t |/LEJ = -/T-rjF * /(X)-Rra)s4xi jj才址二=很擄H

2、雉曲感的共同縣膚得BFt I =u+«2 = 14-2j；-IAFl 1 = 1(*肚“一】-2不-A AHI = 151- | =1+-(-1-lJ =2+Z(ii +jci)= 3.21、求直線y x 1被雙曲線x2'1截得的弦長;41 / 102、過雙曲線2 小 29y144的右焦點作傾斜角為的弦AB，求弦長AB33、已知斜率為4、過雙曲線X22 22的直線L被雙曲線一 - 1截得的弦長為 2.5，求直線L的方程;542 _ _y 1的左焦點F2，作傾斜角為的直線與雙曲線相交于 A, B兩點，求:3(1) 弦長AB(2) RAB的周長(F2為雙曲線的右焦點)2被雙、已知

3、弦長求雙曲線方程5、已知焦點在x軸上的雙曲線上一點 P，至U雙曲線兩個焦點的距離分別為4和8，直線y x曲線截得的弦長為 20-. 2，求此雙曲線的標準方程.2 26、已知傾斜角為;的直線1被雙曲線x 4y60截得的弦長 AB & 2，求直線I的方程.2 2例2、已知雙曲線方程為3x y3，求以定點A（2,1）為中點的弦所在的直線方程.方醫(yī)一；基煞過人（2）酔卓不存在的直銭不苻合希件.逹所卑直址方程為1=以龍一 2）.由仔一 1 =肌工一 2二整理糧（F - 3）+汝（I 一甌及+U 2 幻+3=0 （D設弦於曲迄也為C5，y）D（片）*則工十工：=-弓一廠"*老4呂由瓏意咼

4、+匕二氛：二*；爲?zhàn)ザ?*解僭吏=6.代人亦竝0,所啦所求直銭才程為-1 = 6（2：-?）.即&z-H涪二七哎過A4.17的直霾與董崖踐相吏于PCjf訃】人膽）荷點. j 3jH -就 3 *_,“兩貳相減屛ma卜曲3業(yè)）（m+、ug=o ®趾1一曲=器_亍工；毗=4：+兀=2.代人式，埒E二出即“也氣則直錢PQ的方程為6x-y 11=0 z = 2代人azf-/ = 3y U.* ± A 1 1斤啊品劃“1韻甬泊出屈t右兇眉、輕匕TJ曲列和壽解圓錐曲線與直線相交所得的中點弦問題，一般不求直線與圓錐曲線的交點坐標，而是利用根與系數(shù)的 關系或“平方差法”求解此時，若

5、已知點在雙曲線的內(nèi)部，則中點弦一定存在，所求出的直線可不檢 驗，若已知點在雙曲線的外部，中點弦可能存在，也可能不存在，因而對所求直線必須進行檢驗，以免增解，若用待定系數(shù)法時，只需求出k值對判別式 >0進行驗證即可.2 2例3、雙曲線方程為3x y 3.問：以定點B(1,1)為中點的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請說明理由.jjtii 也 1* I的 JUk與舉商理 y =3 帕班于心）4.'（工,ytA»q- M _£ = qjJ J y. r槽戍tO鶴和5+甌“冷一工一5+川>&-4）°13#貿(mào)=合代入3盧一#0&

6、#163;帚険：一23-7=仏丁,=21'"n.出虬商傀曲域無丸點農(nóng)眄M ZKI.D為由E曲迄?；苎?%/217、已知中心在原點，頂點 Ai, A2在x軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過點 P(6,6)3(I)求雙曲線的方程；(n)動直線I經(jīng)過 AiPA的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M , N，問是否存在直線I使G平分線段MN。試證明你的結論。解®設祈求朗黴曲絨方程為冷-斗=，弋二J半且應(3線經(jīng)過點円(6啟幾觀曲谿T屋為蘭一疋二服 ti bi 3o 12由務件P衛(wèi)也肉坐標分別為伶上卜譏二&盒坐林為冷屈窗鋰直錢；使GQA平分弐反悶 訕耐血呃坐標介別為(巧人(觀丿一

7、得)-9(y?-0 (xi + xi)ix1-xi)-9(ji I 旳血-旳：又血 + % 二2嚴4”)=厶即4% = 4i+y = -I.=- = =22'陽一羽 312 疋-9護.訂曲程戈丿2 = (工丄) 由j 整理潯J_k +勇二0zwo.所求直線不存在-$>-2 = y(x2)題型三：中九=B仁.：垃=囂hiR.E如煤均牡卓才-IJj 16坪厲St長一創(chuàng)豆=/!代廠衛(wèi)/ m2、伍子斜-心萬箱亠AN-芒？站曲Hi馬古爭牝人上丸畀口 =爲兩束直曲帆方痢曲彳一=1負一普=LX229、設雙曲線C：t y 1 a 0與直線I : x y 1相交于不同的點 A、B. a求雙曲線C的

8、離心率e的取值范圍;5設直線1與y軸的交點為P，且PA 12PB，求a的值。解:x2(1)將y = x +1代入雙曲線 y2a2中得(1 a2)x2 + 2a2x 2a2= 0 由題設條件知,1 a2 工04a4 + 8a21 a2>0，解得0<a< “ .2且a1 ,又雙曲線的離心率e =/0<a<-2且a工1 ,.e>設 A(x1, y1), B(x2, y2), P(0,1).PA=產(chǎn)55(x1，y1 1) = 12(x2，y2 1). 'X1 = X2,12 'Tx1、X2是方程的兩根，且1 a2丸,172a252a2云 x2 = -

9、C，存2 一 C，消去X2得,2a22891 a2= 60/a>0 ,171310.已知雙曲線的焦點為F1c,0 ,F2 c,0 ,過F2且斜率為Q兩點，若OP OQ(其中0為原點)，PQ 4，求雙曲線方程。y Af (5 - 3u'才+缶応一LLfr + 曲帛丿1' lg= ”,)乍，酣巴執(zhí)尸薛廠心3gfc?+5irF* 31fl fj. W'-昨皿 y.yi =疋仃=)北-J Mprjjf；Lfk,+工.j+r .J4工國力<XLlH0俑皿工；耳亠袞已="-沖燈：丁廠知佇+jJ丄護二口W畫昕+矗甲-刖二佻御丄紂 >伽 H、紂撲=卩曲占=鮎

10、 *、人垃*、勒人遲4=JjV弓V<Jri +j：)r 4J-|Js，和川生' pi 1/ 千=|11.雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為h, J，經(jīng)過右焦點F垂直于h的直線分uuu別交h, 12于A, B兩點.已知OAuuuABumrOB成等差數(shù)列，且uuu uuuBF與FA同向.(I)求雙曲線的離心率;(n)設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.解：(I)設 OA m d , AB m, OB m d由勾股定理可得：(m d)2 m2 (m d)2得：d 1 m ,4tanAOFbatanAOB tan 2AOFABOAb2-4b15由倍角公式

11、-a解得一，則離心率eY J*1b2 3a22a2(n)過F直線方程為y a (xb化簡有丄-x2痘乂 2104bb,xC),與雙曲線方程一2 a2 y b21聯(lián)立，將a 2b, c5b代入,(Xix2)2 4x1x2將數(shù)值代入，有432 .'5b15 28b245,解得b2 2故所求的雙曲線方程為 369e = 2，點M (5,: 3)在雙曲線上.x2 y212、已知雙曲線 爲一2 = 1(b>a>0) , O為坐標原點，離心率a2 b2一 一 1 1求雙曲線的方程；若直線1與雙曲線交于P, Q兩點，且OPOQ 0 求両+芮的值.x2 y2解：(1) ve = 2 , a

12、c= 2a, b2 = c2 a2= 3a2，雙曲線方程為 二一 1，即 3x2 y2= 3a2. a23 a2點 M(：5, 3)在雙曲線上， 15 3 = 3a2.a2 = 4.x2 y2所求雙曲線的方程為一=1.412x2 y2設直線OP的方程為y = kx(k-0)，聯(lián)立；一爲=1，得2 x123 k212 k2 + 12y12k2|OP|2 = x2 + y2=3 一 k23 k2同理有|OQ|2 =112 1 k212 k2 +1小 1=3k2 1，3 k21則0Q的方程為y kx，113 k2+ 3k2 12 + 2k2: + = =|OP|2 |OQ |212 k2 + 112

13、 k2+ 113 . (2012上海)在平面直角坐標系 xOy中，已知雙曲線 C1: 2x2 y2 = 1.x軸圍成的三角形的面積;(1)過Cl的左頂點引Cl的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及(2)設斜率為1的直線I交Ci于P、Q兩點.若I與圓x2+ y2= 1相切,求證：0P丄OQ;設橢圓C2：4x2+ y2 =1若M、N分別是Ci、C2上的動點，且0M丄ON，求證：0到直線MN的距離是定值.解：(1)雙曲線Ci:2XT2y21，左頂點A2,0 ，漸近線方程為:2y = ± 2x.過點A與漸近線y= ” 2x平行的直線方程為 y 2 x 即 y = 2x + 1.解方程

14、組 yfX ，得y J2x 124 .所求三角形的面積為2S=2OA|y|= 82 證明：設直線 PQ的方程是y= x + b ,直線PQ與已知圓相切， 予 =1 ,b2 = 2.y x b人由 22得 x2 2bx b2 1 = 0. 設 P(X1, y1)、Q(X2, y2),貝U2x2 y21X1X22b1 b2又 y1y2 = (X1+ b)(X2+ b),uuu uuurOP OQ = X1X2 + y1y2 = 2x1x2 + b(X1 + X2) + b2 = 2( 1 b2) + 2b2 + b2= b2 2 = 0.故OP丄OQ.(3)證明：當直線ON垂直于x軸時,|0N|

15、= 1,|0M| = ¥，則0到直線MN的距離為33當直線ON不垂直于X軸時，設直線ON的方程為y = kx (顯然 k),則直線OM的方程為1 _X. kkx1 + k24x214 k2k24 k21 + k20N|2=寸.同理 |0M|2 =右設o到直線MN的距離為d.(|0M |2 + |ON|2)d2=|OM |2|0N |2,1 1= +d2|OM |2|ON |2 k2 +13 k2 + 3=3，即d =3綜上，0到直線MN的距離是定值.五、能力提升1總有公共點，貝U b的取值范圍是(1 .若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線 X y2(A)3,3(B)3,3

16、(C)2,2(D)2,22 .過雙曲線2 x2y1的右焦點F作直線2l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有()(A)1 條(B)2 條(C)3 條(D)4 條3 .過點P1,bx2-的直線1與雙曲線aa2 y b21 a 0,b0有且僅有一個公共點，且這個公共點恰是雙曲線的左頂點，則雙曲線的實軸長等于()(A)2(B)4(C) 1 或 2(D) 2 或 42 2x y4.已知雙曲線 2 1a 0,b0的右焦點為F,若過點F且傾斜角為45的直線與雙曲線的右支a b有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是()(A) (1 , 2(B) (1 , 2)(C) 2 , + R)(D) (2 , + s)2 26 .直線l : y kx 2與雙曲線C : x y6的右支交于不同兩點，則k的取值范圍是 7.已知傾斜角為一的直線I被雙曲線x2 4y2 60截得的弦長|AB8 2，求直線I的方程.4就直fcU釣方強步y(tǒng)三r十上岀7小 游古孫舟3F十站hl働闕二。日刖齊其3(常6?>45i設A5曲貝)團壺亦料的朋社；曲+曲=一蘿還1百=蛍護-