電動(dòng)力學(xué)-郭碩鴻-第三版-課后題目整理

1、2.設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明：- df _' f(u)u ，A(u)二dudA'、A(u)八 u -du證明：dAu 一du電動(dòng)力學(xué)答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符I的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：'(A B)= B C A)A A C B) (A ' )BA (' A)二計(jì) A2 -(A ' )A3.設(shè) r = (x -X)2 ( y')2 (z- Z)2 為源點(diǎn) x'到場(chǎng)點(diǎn) x的距離，r的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。4.應(yīng)用高斯定理證明f dW x 4dSx f，應(yīng)用斯托克斯VS(Stokes )定理證明dS

2、dl(1) 證明下列結(jié)果，并體會(huì)對(duì)源變量求微商與對(duì)場(chǎng)變量求微 商的關(guān)系：3r - - ' 'r 二 r/r ；、(1/r) -'(1/r) - r/ r ；3'、(r / r )=0 ；33'、(r/r ) - - '(r/r )0， (r = 0)。(2 )求 r , r ， (a 人)r ， ''、(a r)， E osin( k r)及'、Eosin( k r)，其中a、k及E。均為常向量。6.若m是常向量, 的旋度等于 < A = . 7' :-點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。證明除R = 0點(diǎn)以外，向量A( m R)/

3、R3 標(biāo)量 =m R /R3的梯度的負(fù)值，即 ，其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原5. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t)(x',t)x'dV'，利用電荷守恒定律J0Vct證明p的變化率為：坐=J (x',t)dVdt V8.內(nèi)外半徑分別為 恒定均勻自由電流 磁化電流。ri和a的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有J f，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為 J，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和7.有一內(nèi)外半徑分別為 r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為；，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷4，求：（1 ）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。9.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度p總是等于體

4、自由電荷密度陥的- （1 - ；0 / ；）倍。10.證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向 相反（但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）11.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為11和|2，電容率為；1和；2，今在兩板接上電動(dòng)勢(shì)為 E的電池，求：（1） 電容器兩極板上的自由電荷面密度- f1和f 2 ；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度- f3。（若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和二2當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體 的結(jié)果如何？）12.證明：(1) 當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的 曲折滿足tan I _ ；2tan 齊 “其中；1和；2分別為

5、兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，宀和二2分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。(2) 當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場(chǎng)線的曲 折滿足tan 二2 二2ta nt- 1其中二1和二2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。13. 試用邊值關(guān)系證明： 在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況 下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。14. 內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器， 單位長度荷電 為f，板間填充電導(dǎo)率為 二的非磁性物質(zhì)。（1） 證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因 此內(nèi)部無磁場(chǎng)。（2）求'f隨時(shí)間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為r的地方

6、的能量耗散功率密度。（4） 求長度I的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這 段的靜電能減少率。第二章靜電場(chǎng)1. 一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為 P = Kr/r2，電容率 為；。（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：（2 ）計(jì)算自由電荷體密度；（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；（4 ）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。2.在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為R0的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保 持電勢(shì)差叮0 ；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷 Q3.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷 Qf，球的電容率為；，球外為 真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理 所得結(jié)果

7、比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷 Qf的電勢(shì)Qf /4二；R與球面 上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。球殼上帶電Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和電荷分布。4.均勻介質(zhì)球（電容率為“）的中心置一自由電偶極子pf ,球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為名2），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布。5.空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為R1和R2，球中心置一偶極子p6. 在均勻外電場(chǎng) E0中置入一帶均勻自由電荷球（電容率為z），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。的絕緣介質(zhì)7.在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為二2的液體，使其中流著均勻的電流Jfo。今在液體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為；一的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，討論二r &#

8、39;2及二2 2'"兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。8.半徑為Ro的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)；，導(dǎo)體球接地，離球心為a處(a >Ro)置一點(diǎn)電荷Qf，試用分離變量法求空 間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。(R- Ro)9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為 R1和R2，在球內(nèi)離球心為 a處 (a < Ri)置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷 有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？10.上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q0,或使具有確定電勢(shì);：o，試求這兩種情況的電勢(shì)。 又問與Qo是何種關(guān)系時(shí), 兩情況的解是相等的？11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球

9、凸部(如圖)，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷 Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平 面相距為b (b>a)，試用電象法求空間電勢(shì)。J-Q.A(X°,-a,b1):1半Q(Xo,-a,七)Q(x°,a,b)I!by12.有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)， 它到兩個(gè)平面的距離為 a和b， 電勢(shì)。求空間-Q(Xo,a,七)內(nèi)充滿電導(dǎo)率為13.設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其 廳的液體。取該兩平面為 xz面和yz面在(xo, yo,zo)和(xo, yo,-zo)兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流 I，求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。14.畫出函數(shù) d (x) / dx

10、的圖，說明r - -(ph )、：( x)是一個(gè)位 于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。Q( x。, yo, zo)Q ( - xo , yo, zo)Q(xo,yo,z。)Q(xo, yo,zo)x( 0 , _y0, -z0)-Q(x。，-y。，)-Q(xo,yo, -z0)15.證明：(1) (ax) =、：(x)/a (a 0)，(若 a : 0，結(jié)果 如何？)(2) x6(x) = 016. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x')，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為'二P(X')3 dV'，另外V g°r根據(jù)極化電荷公式 p = -'

11、- 'P(x')及二p = n P，極化介 質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為遲兇 dV: P(X')dS'，試證明以上兩表達(dá)V 4二；0rS 4二；0r式是等同的。18.一個(gè)半徑為R0的球面，在球坐標(biāo) 0 : v :17.證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的 變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的。（2） 在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變2 -J二n P / p，而電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。± c而靠的很近的兩個(gè)面，形成面（各帶等量正負(fù)面電荷密度偶極層，而偶極矩密度P = lim 匚1 ）l0勢(shì)為;：0在二/ 2 ： v : :的半

12、球面上電勢(shì)為 點(diǎn)電勢(shì)。提示:2n 1J-0 , (n=奇數(shù))Pn (0)n/2 1 3 5(n1)(T)I.2 4 6 n/2的半球面上電-；：0，求空間各即円,（n =偶數(shù)）第三章靜磁場(chǎng)1.試用A表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場(chǎng)種不同表示式，證明二者之差為無旋場(chǎng)。4. 設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，x>0空間為真空,今有線電流I沿z軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對(duì)稱磁場(chǎng)。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知 Bz : Bo -C(z? -/2)，其中B。為常量。試求該處的B：、。提示：用'B = 0，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足' H =0。6. 兩個(gè)半

13、徑為a的同軸圓形線圈，位于z=L面上。每個(gè)線圈 上載有同方向的電流I。(1)求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。(2)求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時(shí)的提示：用條件2 Bz / £0L和a的關(guān)系。7. 半徑為a的無限長圓柱導(dǎo)體上有恒定電流J均勻分布于截面上，試解矢勢(shì) A的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。8. 假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為Qm ,它的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 H二Qmr/4更br3。給出它的矢勢(shì)的一個(gè)可能的表示式，并討論它的奇異性。9.將一磁導(dǎo)率為 J，半徑為R0的球體，放入均勻磁場(chǎng) H 0內(nèi)， 求總磁感應(yīng)強(qiáng)度 B和誘導(dǎo)磁矩 m（對(duì)比P49靜電場(chǎng)的例子。）10.有一個(gè)內(nèi)外半徑為 R和

14、R2的空心球，位于均勻外磁場(chǎng)H 0內(nèi)，球的磁導(dǎo)率為 丄，求空腔內(nèi)的場(chǎng) B，討論 J0時(shí)的 磁屏蔽作用。12.將上題的永磁球置入均勻外磁場(chǎng)H 0中，結(jié)果如何?11.設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為B = H < -0M 0，其中M o是恒定的與H無關(guān)的量。今將一個(gè)理想鐵磁體做成的均勻磁化球（M o為常值）浸入磁導(dǎo)率為 丄的無限介質(zhì)中，求磁感應(yīng)強(qiáng) 度和磁化電流分布。13.有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體殼其半徑為Ro，總電荷為Q，今使球殼繞自身某一直徑以角速度 -轉(zhuǎn)動(dòng)，求球內(nèi)外的磁場(chǎng) B。 提示：本題通過解 A或的方程都可以解決，也可以比較 本題與§ 5例2的電流分布得到結(jié)果。14.電荷按體均勻分布

15、的剛性小球，其總電荷為 Q，半徑為R0， 它以角速度繞自身某一直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，求（1）它的磁矩；（2） 它的磁矩與自轉(zhuǎn)角動(dòng)量之比（設(shè)質(zhì)量 M是均勻分布的）。15.有一塊磁矩為 m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實(shí)物 的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力F。第四章電磁波的傳播1.考慮兩列振幅相同、偏振方向相同、頻率分別為 6 -和-d 的線偏振平面波，它們都沿 z軸方向傳播。（1 ）求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個(gè)波。（2 ）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。2.平面電磁波以“ =45從真空入射到；r = 2的介質(zhì)，電場(chǎng) 強(qiáng)度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。3.有一可見平面

16、光波由水入射到空氣，入射角為60 °，證明這時(shí)將會(huì)發(fā)生全反射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉?空氣的深度。設(shè)該波在空氣中的波長為飛=6.28 10cm,水的折射率為n=1.33 。4.頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若E , D, B, H仍按ei（I 一°變化，但D不再與E平行（即D = E不成立）。（1）證明0，但一般k E- 0。（2）證明 D 二k2E- （k E）k八“。（3）證明能流S與波矢k一般不在同一方向上。6.平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電 磁波能量全部變?yōu)榻苟鸁帷?.已知海水的r =1，c - 1S m1，試計(jì)算頻率、為5

17、0，106 和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。5.有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x方向偏振，另一個(gè)沿y方向偏振，但相位比前者超前-2， 求合成撥的偏振。反之，一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè) 線偏振？8.平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為 宀。求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬， 結(jié)果如何？提示：導(dǎo)電介質(zhì)中的波矢量 k = P i a, a只有z分量。（為 什么？）9.無限長的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體10.電磁波E (x,y, z,t)二E (x, y)ei(kzZ_)在波導(dǎo)管中沿z方向 傳播，試使用IH 及 H= -i"oE證明電磁平板完全封閉，求在 z 到z=0這段管內(nèi)可能存在的波