《空間向量的夾角》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、空間向量的夾角教學(xué)設(shè)計(jì)第二冊（下） “空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”第三課時蔣敏慧一、教材分析空間1、教材的地位與作用 本節(jié)課是在已完成了 “平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標(biāo)表示， 向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進(jìn)行的，是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的第 3 課時，是空間 向量在立體幾何中的簡單應(yīng)用。 這節(jié)課的教學(xué)， 為向量在數(shù)學(xué)和物理上的綜合運(yùn)用奠定了基 礎(chǔ)。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題， 需要有較強(qiáng)的空間想象能力、 演繹推理能力以及作圖能力， 學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。 用向量法處理立體幾何問題， 把對空間圖形的 研究從“定性推理”轉(zhuǎn)化為“定量計(jì)算” ，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而

2、順利解題。2、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示法；選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線的夾角。 難點(diǎn)： 兩條異面直線的夾角與兩個空間向量的夾角之間的區(qū)別； 恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐 標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系， 正確寫出空間向量的坐標(biāo)， 將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)：使學(xué)生掌握空間向量的夾角公式及其簡單應(yīng)用； 提高學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線夾角的技能；2、能力目標(biāo)： 在與平面向量的夾角公式的比較基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比轉(zhuǎn)化的能力； 通過對空間幾何圖形的探究， 使學(xué)生會恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系； 通過空間向量的 坐

3、標(biāo)表示法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷對空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計(jì)算”的轉(zhuǎn)化過 程，從而提高分析問題、解決問題的能力。3、情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲， 充分體 通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置， 現(xiàn)學(xué)生的主體地位； 通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù)學(xué)的魅力， 培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情。三、教學(xué)方法與手段1、教學(xué)方法：采用啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價(jià)等授課方式， 充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，營造生動活潑的課堂教學(xué)氛圍。2、學(xué)習(xí)方法：自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。3、教學(xué)手段：借助多媒體計(jì)算機(jī)（幾何畫板、實(shí)物投影、幻燈片等）輔助教學(xué)，

4、增強(qiáng) 課堂教學(xué)的生動性與直觀性。四、教學(xué)程序教學(xué)程序教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說明1、創(chuàng)設(shè)七情境情境：如圖復(fù)習(xí)學(xué)生活動一一復(fù)習(xí)回顧1已知正方體 ABCD-A 1B1C1D1UJUU UUJ-AA1，求證DF1與BE垂直。4中，AE D1F11、學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的問題1:若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動，若移至UUJU LULUA1B1的E1處，如圖2,又如何確定 DF1與BE1的F1兩個非零向量CiEAB(xi, yi, Zi),b (X2, y2, Z2),b a bX1X2%丫2Z1Z20leZbTAiED1_FCi2、由教師提出當(dāng)點(diǎn) E在AAi、A1B1上移動時,JJJ JUULBE與DF1還是否垂

5、直？E移至E1處為例，ULUU UJLUDF1與BE1的3、以將點(diǎn)我們又將如何確定夾角？從而很自然的引出本節(jié)課的課 題，拉開了本節(jié)課教學(xué)的序幕。2、建構(gòu)數(shù)學(xué)（學(xué)生歸納，教師總結(jié)）學(xué)生活動一一類比推廣類比：對于平面內(nèi)兩個向量的夾角問題我們通過與平面向量的夾角公式的是如何求得的？問題2:是否可以將平面內(nèi)求得兩個向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式有何變化?類比，讓學(xué)生猜想空間兩個非零向量的夾角公式，然后推廣到空間。希望提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力。教學(xué)程序教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說明rr對于空間兩個非零向量 a (xi, yi ,Zi), b (x2, y2, z2)，其夾角為0,仍有aCOS 卄b，用坐標(biāo)表示為C

6、OSbxix2 yy? zizjyi zi 尺(將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，讓學(xué)生體驗(yàn)將空間形式的研究，從“定性”量”計(jì)算的轉(zhuǎn)化。提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生感受知識貨的的過程)求下列兩個向量夾角的余弦值(2, 3j3),b(i,0,0),r(i)au(2)a(1,i,i)b ( i,0,i)。3、知識運(yùn)用(學(xué)生活動為主，教師活動為輔)例i .如圖，在正方體 ABCD-A iBiCiDi中，BiEi DiFi iAiBi，求 BEi 與 DFi 所成角的4余弦值。分析:FiAiB|D*=DiFiEiABCi1CiEiAoz22推理到“定學(xué)生活動一一及時鞏固為了及時鞏固空間向量的夾角 公式，我設(shè)

7、計(jì)了以下兩道直接利用 公式求空間向量夾角的練習(xí)題， 達(dá)到學(xué)以致用，熟能生巧的目的。學(xué)生活動思維)一方面解決課題引入中的問題，一方面體現(xiàn)空間向量的應(yīng)用。學(xué)生可能想到的解法有：方法一：傳統(tǒng)的幾何法-平移法， 即將兩條異面直線平移直至構(gòu)成 一個三角形，利用余弦定理而求 得；方法二：向量法由學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系， 求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對應(yīng) 向量的坐標(biāo)，代入公式，由于學(xué)生 所取向量的方向不一樣，求出1517例題講解(發(fā)散性LULT UUUT COS DFi,BEi而有的學(xué)生求出的是LULT muo COS FD,BEi1517突破難點(diǎn)學(xué)生提問：此題所求的是兩條異面直線的夾 角，而不是兩個空間向量

8、的夾角，兩者有什么區(qū) 別？我們又如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論？由師生共同比較兩條異面直線 的夾角與兩個空間向量的夾角的 區(qū)別，以突破本節(jié)課的難點(diǎn)之一。問題3:利用空間向量解決立體幾何中求夾角問 題的一般步驟是什么？(1) 當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求得所對應(yīng)點(diǎn)的 坐標(biāo)；(2) 用坐標(biāo)表示空間向量及其數(shù)量積；(3) 代入空間向量夾角公式的坐標(biāo)形式；(4) 提煉共性，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。使學(xué)生養(yǎng)成對新的一種方法及 時總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使得學(xué)生達(dá)到 系統(tǒng)掌握的目的。同時將利用向量 求兩條異面直線的夾角的方法推 廣到一般。為學(xué)生解決異面直線夾 角問題提供新視角。如圖，在正方體 ABCD-A iBiCiDi中，M是AB

9、的中點(diǎn)，求對角線 DBi與CM所成角的余弦Di值。AiC1BidU<1.學(xué)生活動一一掌握理解讓學(xué)生分組討論，尋求解決某個 問題的多種途徑，再對各種途徑進(jìn) 行比較。歸納學(xué)生的方法， 何法、向量法兩類。 議學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中，大致可分為幾 通過本題，建選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，使得我們解題過程變得更簡 單。倡導(dǎo)一種自主探索、動手實(shí)踐、 合作交流的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。例2.沿著正方體 ABCD-A iBiCiDi相鄰的三個面的對角線去截正方體，得到一個新的幾何體Bi-AiBCi,已知E、F分別是AiB和BCi的中點(diǎn),求異面直線BiE與AiF的夾角。DiDC1AiB-C |=>AB問題4:如何正確放置幾何

10、體，可以構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系?C1學(xué)生活動一一例題講解從我們較為熟悉的正方體中截 出一個我們不熟悉的新的幾何體， 如何在一個新的幾何體中研究兩 條異面直線所成的角？由于學(xué)生初次接觸到這樣一個 幾何體，學(xué)生開始時可能會感到有 些茫然不知所措，所以教師將通過 提出問題4將學(xué)生帶入到一個建 系的過程中去，建系是本節(jié)課的一 個難點(diǎn)，同時也是關(guān)鍵。優(yōu)化方案法二:通過學(xué)生探究幾何圖形，并思考 討論，由學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生可能 給出以下兩種方法： 方法一：補(bǔ)形一一將問題轉(zhuǎn)化為 正方體中的兩條異面直線的夾角問題。方法二：翻轉(zhuǎn)一一將圖形翻轉(zhuǎn)， 以Bi為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo) 系。課后思考：是否有其它建系的方

11、 法。建系之后，將求空間內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)。 求得對應(yīng)向量的坐標(biāo)， 式，求得uuu UUULCOS BiE,AiF再代入夾角公uuur uLur COS EBi,AiF至或6旦6加強(qiáng)學(xué)生對兩個空間向量的夾角 與兩條異面直線的夾角的概念的 理解。突破了本節(jié)課的另一個難點(diǎn)，提 高學(xué)生分析問題、解決問題的能 力。必做題:1.設(shè)點(diǎn)0(0,0, 0), A(0 , 1 , 1), B(1 , 1, 1),C（0，0，1），的值為異面直線OA與BC夾角為0,則BA.60B. 120( )C. -60 ° D. 2401B1C1D1，請用不同的方法題 組 練 習(xí)2.已知正方體A

12、BCD-AC1沿著正方體 ABCD-A 1B1C1D1對角面A1BCD1去截正方體，得到一個新的幾何體D1CC1-A1BB1, E、F 分別是 A1D1，D1C1 的中點(diǎn)， 求異面直線BE與A1F所成的角。學(xué)生活動一一鞏固提高我設(shè)計(jì)了兩組不同層次的練習(xí) 題：必做題和選做題，讓學(xué)生自主 選擇，然后由學(xué)生利用實(shí)物投影展 示自己的解答，并分析解題思路。 設(shè)計(jì)意圖：1、鼓勵學(xué)生選擇不同的解題 方法，提倡創(chuàng)新思維；2、通過學(xué)生對題目和方法的 自主選擇，為不學(xué)生習(xí)能力的學(xué)生 提供廣闊的空間；3、充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位， 發(fā)展學(xué)生的個性；4、培養(yǎng)學(xué)生善于分析、樂于 探索的鉆研精神。反饋評價(jià)：對學(xué)生在動手實(shí)踐

13、過程中勇 于思考、積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度給予 充分的肯定；同時指出學(xué)生在練習(xí)中值得注意的以下幾個問題：1、將求空間點(diǎn)的坐標(biāo)正確轉(zhuǎn) 化為平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；2、理解兩個空間向量的夾角 與兩條異面直線夾角的區(qū)別；3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髪A角， 理解向量法不是求夾角的唯一方 法，也不一定是最佳途徑。4、歸納總結(jié)（師生共同歸納）（1）空間向量的夾角公式及其坐標(biāo)表示；（2）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出點(diǎn) 的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；（3）兩條異面直線的夾角與兩個向量的夾角之 間的區(qū)別；（4）掌握類比猜想的方法，將平面問題向空間 問題推廣，將幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，提高類 比轉(zhuǎn)化的能力。學(xué)生活動一一歸納總結(jié)通過對本節(jié)課

14、的知識和方法的 回顧，讓學(xué)生自己歸納小結(jié)本節(jié)課 的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能 力。5鞏固作業(yè)感受理解：1. 如圖，在正方 ABCD-A iBiCiDi中，M、N分 別是AAi、BBi的中點(diǎn)，求直線CM與DiN所 成角的正弦值。思考運(yùn)用：2.已知正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面 垂直）ABC-A iBiCi中，底面邊長AB=2，求異面鞏 固 作 業(yè)題1圖C1題2圖學(xué)生活動一一理解掌握從三個不同的層次布置鞏固作 業(yè)，通過自主解決作業(yè)中的問題， 既讓學(xué)生體會到收獲成功的喜悅， 又能在層層提高的作業(yè)中讓學(xué)生 檢查自己對知識和方法的掌握程 度，并且培養(yǎng)學(xué)生課后復(fù)習(xí)，課前 預(yù)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。探究拓展

15、：3.利用空間向量是否可以求直線與 平面所成的角，二面角，點(diǎn)到平面的距離, 兩異面直線之間的距離等其它空間夾角與距離問題？五、教學(xué)評價(jià)1、教學(xué)過程中以問題為載體，學(xué)生活動為主線，重視為學(xué)生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間；空間向量是教材新增加的內(nèi)容，它將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，具有相對的優(yōu)越性，但不是絕對的，實(shí)際應(yīng)用時要恰當(dāng)選擇，合理運(yùn)用。2、注意觀察學(xué)生在教學(xué)各環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，看其是否能做到積極的探究和主動地與他人合作交流。對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的良好表現(xiàn)及時鼓勵； 通過對學(xué)生解題方法的收集與評價(jià)， 及 時肯定學(xué)生表現(xiàn)出的創(chuàng)新能力和解決問題的能力；通過設(shè)置不同層次的變式訓(xùn)練、 題組

16、練習(xí)和課后作業(yè)，對學(xué)生學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效果進(jìn)行及時檢驗(yàn)，為補(bǔ)償性教學(xué)提供依據(jù)。設(shè)計(jì)說明一、對教材的地位與作用的說明本節(jié)課是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 的第三課時，有平面向量的數(shù)量積公式及其變形公式 的知識基礎(chǔ)，是在學(xué)習(xí)了空間向量的坐標(biāo)表示，以及空間向量的數(shù)量積以后，對空間向量的簡單應(yīng)用，為后面向量在物理和數(shù)學(xué)上的綜合運(yùn)用奠定了基礎(chǔ)。 按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題， 需要有較強(qiáng)的空間想象能力、 邏輯推理能力以及作圖能力， 學(xué)生往往由于這些能力的不足造 成解題困難。 用向量處理立體幾何問題， 可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。 尤其 是向量用坐標(biāo)表示后，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”

17、 推理轉(zhuǎn)化 為“定量”計(jì)算，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。二、對教法與學(xué)法的說明 本節(jié)課的目的是希望學(xué)生通過對空間立體幾何圖形的探究， 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象 能力， 通過與平面向量的類比運(yùn)算， 和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算將幾何問題代數(shù)化， 培養(yǎng)學(xué)生的 類比轉(zhuǎn)化思想， 從而提高學(xué)生分析問題、 解決問題的能力。 所以在教學(xué)方法和教學(xué)手段的選 擇上，遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，倡導(dǎo)學(xué)生“自 主探索、動手實(shí)踐、合作交流”的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，力求體現(xiàn)教師的設(shè)計(jì)者、組織者、幫助 者的地位，突出學(xué)生的主體地位。三、對教學(xué)流程的說明本節(jié)課的教學(xué)過程以問題為載體， 學(xué)生活動為主線， 有意識地留給學(xué)生適度的思維空間， 讓學(xué)生在思考與實(shí)踐中探索、類比、猜想、發(fā)現(xiàn)并獲得新知，主要流程是：通過創(chuàng)設(shè)情境， 以師生的活動為主線，將構(gòu)建數(shù)學(xué)知識運(yùn)用鞏固提高總結(jié)作業(yè)等環(huán)節(jié)串聯(lián)一 體。利用多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生營造一種良好的探究、 創(chuàng)新的學(xué)習(xí)氛圍， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的 興趣， 體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。 并從不同的角度訓(xùn)練不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)， 使傳授知識和培 養(yǎng)能力融為一體。四、對評價(jià)的說明1、教學(xué)過程中以問題為載體，學(xué)生活動為主線，為學(xué)生提供了探究問題、分析問題、 解決問題的活動空間； 空間向量作為新增加的內(nèi)容， 將