不等式的證明(一)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)目標(biāo)(1)(2)(3)(4)理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義； 掌握用比較法、綜合法和分析法來(lái)證簡(jiǎn)單的不等式； 能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來(lái)證不等式； 能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決 問(wèn)題的能力；(6) 通過(guò)不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；(7) 通過(guò)組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于 思考、善于思考的良好 學(xué)習(xí)習(xí)慣.教學(xué)建議(一) 教材分析1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)2. 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用;難點(diǎn)：理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的; 綜合性問(wèn)題選

2、擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.(1) 不等式證明的意義不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立(或都不成立)，而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.(2) 比較法證明不等式的分析 在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法. 證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.由于，因此，證明，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的.這種證法就是求差比較法.由于當(dāng)時(shí)，因此，證明可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的.這種證法就是求商 比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件. 求差比較法的基本步驟是:“作差一一變形一一斷號(hào)”.其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.變形的目的全在于判

3、斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等， 為此，有時(shí)把 差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式. 或者 變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差 的符號(hào)是正或負(fù)即可. 作商比較法的基本步驟是：“作商一一變形一一判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證 明.（3）綜合法證明不等式的分析 利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式 成立，這種證明方法通常叫做綜合法. 綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過(guò)一系列的推

4、出 變換，推倒出求證的不等式. 綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是:（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論） 利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān) 系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián) 系，在分析所證不等式左右兩端的差異后， 合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換 是證明不等式的關(guān)鍵.（4）分析法證明不等式的分析 從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件 被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立， 逐步推出一個(gè)已知成立 的不等式，只要這個(gè)推出過(guò)程中的每

5、一步都是可以逆推的， 那么就可以斷定所給 的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”， 并說(shuō)出可 逆的根據(jù). 分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的 充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是:（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論 分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步 驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定成立”等.分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法. 當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，

6、有 時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行 之有效.（5）關(guān)于分析法與綜合法分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步 地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論已知.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證 結(jié)論或需求問(wèn)題.即：已知 結(jié)論.分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知” 推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.,其逐步綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”， 理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.其逐步推各有其優(yōu)缺點(diǎn):從尋求解

7、題思路來(lái)看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?，往往枝?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.思路自然,從書寫表達(dá)過(guò)程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理 清晰.也就是說(shuō)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析 法來(lái)書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證 明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.（二）教法建議選擇例題和習(xí)題要注意層次性.不等式證明的三種方法主要是通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明的. 教師在教學(xué)中要注意例題 安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法

8、的意義和邏 輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).要堅(jiān)持精講精練的原則.通過(guò)一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系， 對(duì)知識(shí) 進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力. 在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)通過(guò)精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng) 學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.通過(guò)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意 義，通過(guò)訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過(guò)實(shí)數(shù) 運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0（或1）比較大?。粡?fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié) 論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏， 最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問(wèn) 題. 學(xué)生素質(zhì)較好

9、的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明 不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過(guò)多過(guò)難.第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)1.掌握證明不等式的方法比較法;2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.教學(xué)重點(diǎn)比較法的意義和基本步驟.教學(xué)難點(diǎn)常見的變形技巧.教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式.教學(xué)過(guò)程（）導(dǎo)入新課（教師活動(dòng)）教師提問(wèn)：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過(guò)的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比 較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大?。?（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問(wèn)題，找學(xué)生甲口答問(wèn)題.（學(xué)生甲回答:點(diǎn)評(píng)（待學(xué)生回答問(wèn)題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的 差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來(lái) 學(xué)習(xí)： 用比較法證明不等式.（板書

10、課題）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證 明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課 學(xué)習(xí)的知識(shí).（二）新課講授【嘗試探索，建立新知】（教師活動(dòng)）教師板書問(wèn)題（證明不等式），寫出一道例題的題目問(wèn)題求證教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問(wèn)題.（得出證明過(guò)程后）點(diǎn)評(píng)通過(guò)確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí) 數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過(guò).通過(guò)求差將不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒等問(wèn)題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為 一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問(wèn)題簡(jiǎn)化. 理論依據(jù)是: 由，知：要證明 只要證；要證明 這種證明不等

11、式的方法通常叫做 比較法.設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系， 培養(yǎng)學(xué)生化歸的 數(shù)學(xué)思想.【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】（教師活動(dòng)）教師板書例題，弓I導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題 過(guò)程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).例1求證（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問(wèn)題.與教師一道完成問(wèn)題的論證.分析由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問(wèn)題獲證.證明：點(diǎn)評(píng)作差后是通過(guò)配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常 數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定. 不等式兩邊的差

12、的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)變形 后，才能判斷.變形的目的全在于判斷差的符號(hào), 要靈活處理，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形, 例1介紹了變形的一種常用方法一一配方法.已知都是正數(shù)，并且，求證:這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào),分析應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.證明:因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，所以即:點(diǎn)評(píng)作差后是通過(guò)通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推 出差的符號(hào).本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法一一通分法.例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).1.當(dāng)時(shí),2 .當(dāng)時(shí)，.以后要記住.設(shè)計(jì)意圖：鞏

13、固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中, 對(duì)差式變形的常用方法一一配方法、通分法.【課堂練習(xí)】（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙 兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥 和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問(wèn)題.字幕練習(xí)：1 .求證2.已知，d都是正數(shù)，且，求證（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形 差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).【分析歸納、小結(jié)解法】（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程， 小結(jié)用比較法證明不等式的 解題方法

14、.（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.比較法是證明不等式的一種最基本、 重要的方法.用比較法證明不等式的步 驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握用比較法證明不等式的方 法.（三）小結(jié)（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.作差是配本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中， 依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法: 方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù) 學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能

15、力，鞏固所學(xué)知識(shí).（四）布置作業(yè)1.課本作業(yè)：P16.1, 2, 3.2.思考題：已知，求證:3.研究性題：設(shè)，,都是正數(shù)，且，求證:培養(yǎng)設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成, 其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).（五）課后點(diǎn)評(píng)1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時(shí)，教師提出問(wèn) 題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的， 從而引入用比較法證 明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.2.在建立新知過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試 探索過(guò)程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).3 .例1,例2兩道題主要目的在于