《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》學(xué)習(xí)筆記

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（19）電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，徐全智呂恕 主編。2004版第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是兩個(gè)緊密聯(lián)系的姊妹學(xué)科，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì) 學(xué)的理論基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)則是概率論的重要應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是使用概率論和數(shù)學(xué)的方法，研究如何用有效的方式收 集帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型下，對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析, 提取數(shù)據(jù)中的有用信息，形成統(tǒng)計(jì)結(jié)論，為決策提供依據(jù).這就不難理解，數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的廣泛性，幾乎滲透到人類活動(dòng)的一切領(lǐng)域！如：農(nóng) 業(yè)、生物和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的“生物統(tǒng)計(jì)”，教育心理學(xué)領(lǐng)域的“教育統(tǒng)計(jì)” 管理領(lǐng)域的“計(jì)量經(jīng)濟(jì)”，金融領(lǐng)域的“ 保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)”等等，這些統(tǒng)

2、計(jì) 方法的共同基礎(chǔ)都是數(shù)理統(tǒng)計(jì).數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容十分豐富，概括起來可以分為兩大類：其一是研 究如何用有效的方式去收集隨機(jī)數(shù)據(jù)，即抽樣理論和試驗(yàn)設(shè)計(jì)；其二是研究如何有效地使用隨機(jī)數(shù)據(jù)對(duì)所關(guān)心的問題做出合理的、盡可能精確 和可靠的結(jié)論，即統(tǒng)計(jì)推斷.本書主要介紹統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容和基本方法.在這一章中先給出 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一些必要的基本概念， 然后給出正態(tài)總體抽樣分布的一些重 要結(jié)論.6.1總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量一、總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們將研究對(duì)象的全體稱為總體或母體，而把組成 總體的每個(gè)基本元素稱為個(gè)體.、樣本樣本是按一定的規(guī)定從總體中抽出的一部分個(gè)體"這里的“按一定 的規(guī)定”，是指為保證總體中

3、的每一個(gè)個(gè)體有同等的被抽出的機(jī)會(huì)而采 取的一些措施"取得樣本的過程，稱為抽樣.三、統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)樣木是對(duì)總休a行統(tǒng)汁分析與推斷的依據(jù)，當(dāng)我們?nèi)飬颖緩R往往不 足點(diǎn)接利用樣木進(jìn)行推撕，而是要對(duì)樣本進(jìn)行“加一 y 整MS以把它們所提供 的關(guān)上總休X的信息集中起來.為此我們引a統(tǒng)計(jì)fi的定義.設(shè)A,亠.A為來門總體A的一個(gè)樣本t若樣木函數(shù)以A）中 不含任何術(shù)知參數(shù)，則稱彈A , .n）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量般是樣木的連續(xù)餉數(shù)，顯然它足隨機(jī)變量.常用的統(tǒng)計(jì)fi有：1 “A = X f稱為樣木W(wǎng)j值*它與總休均值白切的關(guān)系；用二匕 i CA-V）稱為樣木方幷虧用是樣本昭分敢程度 N I （=1的一個(gè)

4、合理的刻畫它與總體方斧仃密W的關(guān)系 “稱為樣水標(biāo)比從:兒=丄I A'J （A為fF意整數(shù)）！稱為樣木k階原點(diǎn)矩；弘=丄7 （人"為任意整數(shù)人稱為樣木k階中心炬.樣本IS點(diǎn)矩和樣木+心審統(tǒng)稱為樣本祁-顯然占二特別值得注;克的是樣 木一階屮心矩必，它與樣木方差屮只相基一個(gè)實(shí)數(shù)因了:必=G吐6.2抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是我們對(duì)總體的分布規(guī)律或數(shù)字特征進(jìn)行推斷的基礎(chǔ).由于 統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，所以在使用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)必須要知道它的 分布.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.一、三個(gè)重要分布L才2分布有&-0*I.V0：定義6,M 設(shè)隨機(jī)變量r的概率密度函數(shù)為iWO.則稱隨機(jī)變fir服從門市

5、度為的X分彳人記為/ -Z5） 其中門2為r函數(shù)，定義為rC .S） = £ V'e Mv（5 >0）.定理6. 2. 1設(shè)H個(gè)相互獨(dú)立并口都服從正態(tài)分布泓（K1 ）的隨機(jī)變量龍 J昇氾(6, 2. 1)尤=1昭i - I則稱隨機(jī)變fiF服從自由度為"的F分布定理6. 1 I中,nrtl®是指（6. 2. I ）式右端所包含的獨(dú)立變屋的個(gè)數(shù).這介定理nJ利用隨機(jī)變量的函數(shù)的分布并村口山度n運(yùn)用數(shù)學(xué)01納法得到證I從此處從略.不同門山度的F分布的槪率密度曲線圖形如圖6. I所示 設(shè)r ?（ H，對(duì)于給定的止數(shù)«（0<«<

6、1）.稱満足關(guān)系式的數(shù)龍：（川）為F（h）分布的上側(cè)臨界值或上側(cè)分位數(shù)見圖仗2.分位數(shù)的概念 在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用.RJ6. I給定H及Q（O<a < I九由附表3可查得£5）.例如 就山IR）%茨扁"（5）廠匕S33.r分布具有以下重要性質(zhì).性質(zhì)1設(shè)r人則有肛兀）=/；,（才2）=2”.NnJI證 E（f）= M V A ；） = y E（ ） = V /）（ A；）二兒”帶）=y /（ A；）= y /«A ；）- A C A ：）r fTiE"'小.工丄I !.v - IiTiE已二二 f 眉一=V （3-1） =2/；.i

7、 =性質(zhì)2設(shè)互獨(dú)立，且y,-r5,則有此性質(zhì)的證明可利用相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度公式得到.#實(shí)上, 直觀地從式（6.2. I）出發(fā)，將,+打看成（個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變最的平方 和亦可解釋此結(jié)論”性質(zhì)2說明”2分布具有可加性,它還可以推廣到任意有限個(gè) 相互獨(dú)立且服從F分布的隨機(jī)變量之和的情況性質(zhì)3當(dāng)足夠大時(shí)，有處（MH + % tST,式中J如是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，即I仃是滿足等式/= I -«的數(shù).事實(shí)上，出獨(dú)立同分布中心極限定理吠'=V巧”5人當(dāng)，F(xiàn)足夠大時(shí),i=ir近似服從正態(tài)分布A（.即得性質(zhì)3.當(dāng)45時(shí)，在附表3中杳不到Ms）的值,這時(shí)可由性質(zhì)3作近似計(jì)算.王

8、/分布定義6Z 2設(shè)隨機(jī)變童F的概率應(yīng)度函數(shù)為f( -t)= ( I + ),冃佇)川則稱F服從n由度為的t分布，記為71(心左理6, 2.2設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立.VA'<OJ兒記則隨機(jī)變T服從門由度為的/分布. 證明從略+/分布的概率密度曲線的圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱，如圖6. 3所示.設(shè)心亠對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<l).稱滿足關(guān)系式"£ > f口(") = /j-C .V )il.t = tv的數(shù)嘉J)為2分布的上側(cè)分位數(shù)，見圖H丄給運(yùn)H及a( 0 < a < I )»由附表4可査得/( n ).例如訂o詔10)

9、 = 2. 2281.lhny( .V ) = W(龍)=75因此，當(dāng)H足夠大時(shí)畀近似服從A<0,1分布.實(shí)際上當(dāng)n>45時(shí)八分布便與正 態(tài)分布兒乎沒有差異，此時(shí)3. F分布 定義6. 2.3設(shè)隨機(jī)變量r時(shí)概率密度函數(shù)為J11 +Ftj忤）_1+-1 （們 T + "T, .V > 0；帥倚 0,則稱卜、服從第一口由度為第二S由度為幻的0分布，記為F - E（.秋1 ,“2定理6, 2,3 設(shè)隨機(jī)變tt .V,相互獨(dú)立八J -疋弋巾人記頁，則隨機(jī)變量*服從第一口由度為町第二fi由度為的*'分布. 證明從略.卜'分布的槪率密度曲線圖形如圖a 5所示設(shè)屮

10、“），對(duì)于給定的正數(shù)a（O<a<J），稱滿足關(guān)系式P F > 心 “4 ） = I/f （A ）di = Ct爲(wèi)5,叱廠的數(shù)F心"4 ）為/（町）分布的上側(cè)分位數(shù).見圖6. 6.給® 及qCO <Q < I人可由附表5査得/*'（ ；1,川2人例如心昭乳&）=5” 60.附表5僅給出了 a較?。╧ 10.0. 05 J）. 0253）. 01,0.癥）時(shí)的上側(cè)分位數(shù) 值，對(duì)于口較大（接近I ）的匚J也）值可利用如下性質(zhì)計(jì)算.5 ) = 1 -at.=1 -r1 1>."?。ㄐ膭瘢?n =/< <I*人一山，心所以圖6. 6從而利用上式,可計(jì)算a接近I的55 “2 '的值+例如,r分布和分布和F分布常常被人們稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的三大統(tǒng)計(jì)分布.二、抽樣分布定理定理6. 2,4 設(shè)h，1三，仁是止態(tài)總體一（如十）的樣本八，屮分別是樣 本均值和樣本方差，則有A S-相互獨(dú)立；5 - 1 ） f2 片疔"(2)(3 )(4)定理念2.5 設(shè)L 勺和5J叱分別是來自正態(tài)總體 'SiPp和'5才用）的樣本，并且它們相互獨(dú)及八分別是這兩組 樣本的樣本均值和樣本方