不含參數(shù)的極值點偏移問題專題

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)專題03=極值點偏移第一招不含參數(shù)的®值點偏移問題函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常 簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)學(xué)問題，不管待證的是兩個 變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量 的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)例.(2010天津理)已知函數(shù)f(X)=xe(x R)，如果X1HX2，且f(Xi) =f(X2).證明：捲+ X2 :2.【解析】法一(判定定理)：易得/在上單調(diào)遞増，在(1,2)上單調(diào)遞減,時/(0)=0,時函數(shù)在x = i取得極大值/(I).且

2、/亠如圖所示. 總<12 ； Kg丨臨2由/不妨設(shè)1則必有0西1：花，構(gòu)造函數(shù) F(x) = f(1+x) -f (1-x),x 巳0,1， 則 F'(x) = f'(1 +x) -f'(1-x)=呂(e2x-1) >0 ,e所以F(x)在x-(0,1上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x) aF(0) =0 , 也即 f(1 +x)Af(1-X)對 x(0,1恒成立.由 OCX, <1 <X2，貝J 1-X1(0,1，所以 f(1+(1G) = f(2-G >f(1 (1-X1) = f(X1)= f(X2)，即f (2 -Xi)f(X2)，又因為2 xi,

3、X2珂1,，且f (x)在(1,+=c)上單調(diào)遞減，所以2石c%，即證X, + *2 >2.法二：欲證畫+為a2,即證花A2畫，由法i 0 < jq < 1 < JCj 故 2 嗎占為 (L+x), 又因為/(力在(1蟲上里調(diào)遞減，故只需證/<x,)</(2-;q), 又因為才3)=/(花)，故構(gòu)造函數(shù) Jy<x> = /(x>-/(2-zXx (0J>, 則等價于證明Hg cO對xe(OJ)恒成立.由-嚴 E,則H(k)在xe(04)上單調(diào)ii增, 所以Hg <jy(l)=O,即已證明jy<x) <04xe(0,l

4、)恒成立、X2_Xi故原不等式西+兀1 A 2亦成立一 法三：由f(X1)= f(X2)，得xb1 =X2e*，化簡得e1 =昱 不妨設(shè) X2X1，由法一知，0X1TX2.KS5UKS5U.KS5UX1令t=X2-X1，則t：>0,X2=t+X1，代入 式，得6=匸區(qū) 反解出Xe*-r貝J X1 +x2=2x1 +t=+t，故要證 X1+ X2 , KS5UKS5UKS5U e -1即證尋+22 ,e -1又因為d-1a0，等價于證明：21+(2)-1)>"0， 構(gòu)造函數(shù) G(t) =2t +(t -2)(-1),(t >0)，則 G'(t) =(t-1)e

5、 +1,G"(t) =te >0 , 故G在(0)上單調(diào)遞增，G> G 0)= 0 , 從而G(t)也在t迂(0,母)上單調(diào)遞增，G(t) >G(0) = 0 , 即證®式成立，也即原不等式畫+乃a2成立一法四：由法三中式，兩邊同時取以總為底的對數(shù)，得玉碼,互+1 也即沁如=1,從而屮可二(坷+切込至丑=也血翌=如豈 在一可花一坷 花-jq A 衛(wèi)_TTf + 1令則欲證+>2,等價于證明,畫f1構(gòu)造 M (t)=億 t1)" t =(1+2)ln t,(t >1),t-1t -1則 M®,t(t-1)2又令® =

6、t2 -1 -2tl nt,(t >1)，貝J ® '(t) =2t -2(l n t+1) = 2(t-1-l nt)，由于t>1 nt對yt壬(1,母)恒成立，故WaO， ®(t)在t (1, P)上單調(diào)遞增，所以化)八(1) = 0，從而MZt)A0,故 M(t)在 t - (1,址)上單調(diào)遞增，KS5UKS5UKS5Uitl M .輕卄 1 斗)1 t 7 =XTt -1t_ ， (t H1即證M(t):>2，即證 式成立，也即原不等式 為+ x2成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元 不等式，方法一、二利用構(gòu)造

7、新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編（附詳解）四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示， 從 而達到消元的目的.例.（2013 湖南文）已知函數(shù) f（x）=±mex，證明：當 f （xj = f （X2）（x, HX2）1 + x時,N 十X2 w°.ks5ukS5UKS5U【解析】易知，f（x）在（Y,0）上單調(diào)遞增，在（0,畑）上單調(diào)遞減.I -jr當xlB寸，由于一所以/（力0；1 + x同理，當el時，/（x0.當=工七）時，不妨設(shè)西花，由函數(shù)單調(diào)性知Jq在e（Ql）.下面證明：林陽心3，即證：診憐1 +兀此不等式等

8、價于(1 -力扌-竽< 0.1 _1_ V令 F(x) - (l-xX-il±,xe (04),則 rx)- 一衛(wèi)7(/ -1),當xe(OJ)日寸，嚴(力<0, F(功單調(diào)遞減，從而F(a)<F(0) = 0,1 + V 即(1 一工)詁一字 <0,-t所以 Vx e (0) /(jc) < /(-Jt)-而花所以/s）y（花），X/）=/（X,）.從而 /() < /<-)- 由于坷花e（TO,O）,且/（力在（TD.O）上單調(diào)遞増 所碼C花，艮卩證羽+花2 0.招式演練: 已知函數(shù) f(X)=1 n X +x2 +x，正實數(shù) x1,x2

9、滿足 f (xj + f (x2Vx1x2 = 0 .全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸大題專題匯編(附詳解)證明：X1 +X2 二1 .KS5UKS5U2【解析】 由 f (xj + f(X2)+x1X2 = 0 ,得 In xi + X12 +為 +ln x2 +X22 +X2 + x1x2 = 0從而(Xi + X2)2 +(Xi +X2) =XiX2-In(XiX2),令t詁%2，構(gòu)造函數(shù)®(t) =t -1nt ,得®“-”二十 ,可知W(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1)上單調(diào)遞增， 所以 W(t)沁(1)=1，也即(X1+X2)2+(X1+X2)31 , 解得：捲72

10、>歸2已知函數(shù)f(x) = lnx-X .(I)求函數(shù)f(X )的單調(diào)區(qū)間;(n)若方程f(x) = m (me2)有兩個相異實根 為,他，且 < x?，證明:2 cX1X2 <2【答案】(I)y=f(x )在(0,1)遞增，y=f(x )在(1 + r 遞減；(n)見解析【解析】試題分析：求出廣(力，可得函數(shù)得/(刃的增區(qū)間，fx)<Q得可得函數(shù)得/(X)的減區(qū)間j ( 2 )由可設(shè)/&) = /« 的兩個相異實根分別為坷亠滿足西一胡=(皿一?一剛=0，只需證明.胚(西)<営 即可、試題解折；了 (工)=血L兀的定義域為(0,他)當忑E(oj)時廠"所以$ =冷在(0山遞増 當xea+00)時fO)" 所以y = /W在(1，他)遞堿(2)由(1)可設(shè)他二m的兩個相異實根分別為X,滿足nx-x-ffs=D且0珂1,兩1，血可一-| =血可一*一戰(zhàn)=0由題意可知 In<-2 <ln2-2又有(1)可知/W = hx-A在(1,+ra)遞減故巧22 所以，令g(M = lnx-x-犧2 2 2 2 2 或X)g(y) =血心xJ-血一y r)=山乃乃)他-)2=一乃 + +3In Aj -In 2片22令吃) = +3111