南京理工大學(xué)考研題

1、南京理工大學(xué)2004年碩士研究生入學(xué)考試試題（量子力學(xué)）一、質(zhì)量為m的粒子處于定態(tài)波函數(shù)甲=-eikr,計(jì)算其幾率密度和幾率 流密度。（15分）r二、 粒子在一維勢(shì)場(chǎng) V（ X）中運(yùn)動(dòng)，證明屬于不 同能級(jí)的束縛態(tài)波函數(shù) 彼此正交。（15分）三、設(shè)q,p =,f （q）是q的可微函數(shù)，試證明：q,p2f（q）L2i/ipf.（15分）（15分）四、求角動(dòng)量的Z分量|篤=匚衣2的本征值和本征函數(shù)。五、試證明在動(dòng)量表象 中算符的表示為2=用0。（ 15分）P =卩。證明 SX = P,SyP =i ot（15分）T丿22任a b0且E10HE0, a,b為實(shí)數(shù)。用微擾公式求 能量至二級(jí)修正值。（15

2、分）bE； +a 丿儀0六、設(shè)a =七、在能量表象中H?八、體系哈密頓算符的矩陣表示為H?=a、0，其中2丿a1。寫出（1）微擾哈密頓的矩陣表 示;（2）能量至一級(jí)修正。九、在S表象中，求（1）S?x, S的本征值和本征態(tài)；（2）如果粒子處于Sx =?的本征態(tài)，求在此態(tài)中 Sy的值為-2 2的幾率為多少?十、求在狀態(tài)屮=1訪嚴(yán)乙（Sz） 丫10單）+ 7閃（Sz）丫仆（日W）A，力學(xué)量Jz =? +Sz的可能值是多少?9、護(hù)2和3為態(tài)空間中得基矢，體系哈密頓量算符H?及力彳0 0 =*1 0 0、學(xué)量A的矩陣表示分別為：H?=屜00 2 0，A =a0 0 10 0 20 10,求（1）對(duì)處于

3、屮態(tài)的體系進(jìn)行能量測(cè)量體系能量的平均值為多少？ （3）在屮態(tài)上力學(xué)量A的平均值為多少?、已經(jīng)體系處于狀 態(tài)屮=-丄 +丄為+丄也中, 2 2a是正的實(shí)數(shù)。可測(cè)得哪些值？各個(gè)值 出現(xiàn)的概率是多少？南京理工大學(xué)2005年碩士研究生入學(xué)考試試題1、設(shè)q, P =i矗，f(q)是q的可微函數(shù)，試證明：p, f(q) p質(zhì)量為卩的粒子束被球殼勢(shì)場(chǎng)散 射，V(r)-V03(r-a)，在高能近似下，用 計(jì)算散射振幅和微分截面。=-fp2。 i2、證明厄米算符的本征 值是實(shí)數(shù)。3、一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) U (X)= 處，X 0,0,0xa,中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí) 和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。處，X Aa4、5、(1)6、證明在

4、Iz的本征態(tài)下，？ =0。設(shè)體系處于屮=C1Y1(Sz)中，Sx和Sy的不確定關(guān)系：(ASx；2 Sy 2 =?量Z分量的可能值、這些可 能值出現(xiàn)的幾率和這些 力學(xué)量的平均值。7、用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算氦原子的基態(tài)能量。8、證明 &x%&Z =i 9、設(shè)已知在L2和Lz的共同表象中，算符LX的矩陣為L(zhǎng)x = 2和本征函數(shù)。13、Born近似南京理工大學(xué)2006年研究生考試試題一、填空題。1德布羅意關(guān)系為：本假設(shè)中任意兩個(gè):2、寫出量子力學(xué)五個(gè)基3、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件為4、能量算符的表達(dá)式為 動(dòng)量算符表達(dá)式為：系為X, Px】5、坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)子的自旋，能級(jí)的簡(jiǎn)并 與軌道角動(dòng)量的耦合時(shí)成的全同粒子體

5、系的波測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是（AxPx f6、對(duì)氫原子，不考慮電 考慮自旋但不考慮自旋7、費(fèi)米子和玻色子所組性。度為：，能級(jí)的簡(jiǎn)并度為：函數(shù)分別具有性和8原子躍遷的選擇定則9、考慮自旋后，波函數(shù)中角量子數(shù)應(yīng)滿足 兇= ,磁量子數(shù)應(yīng)滿足= 在自旋空間表示為徉Zyz）已歸一化），則在態(tài)甲1甲2儀y.z ）丿下，自旋算符G二爐11的結(jié)果可表示為。Gi2G22丿、，對(duì)自旋的平均可表示 為 ；對(duì)坐標(biāo)和自旋同時(shí)求 平均的10、算符（?的本征刃|門組成完備系，貝 |n的封閉性為 甲（X, t）=。；n）在以I X）為基矢的X表象中分量二、計(jì)算題。處，X V 0,1 一粒子在一維勢(shì)場(chǎng) U（x）=j0,0x0.微擾哈密頓

6、算符為 H = -qs（t）x。設(shè)在加上電場(chǎng)之前兀T（即 t =-垃），線性諧振子處于基 態(tài)，求電場(chǎng)作用終了時(shí)（ 即t= 線性諧振子被激發(fā)到 第一 激發(fā)態(tài)4的幾率，準(zhǔn)確到一級(jí)近 似。附：*-dx =1 E；02Ya遞推公式：x嚅（X） = J勺（甌）Q（ n 訕2%（X） +yQH-1（x）】7、 一束自旋為1/2的粒子，相繼穿過三個(gè) 斯特恩-革拉赫實(shí)驗(yàn)裝置（如圖 所示）。ISGz可使自旋 Sz =甲2的粒子通過而濾掉Sz =-牝的粒子，Sn =n S。n為xy平面內(nèi)與z軸成8角方向的單位矢量。 而IIISGz可使自旋Sz =勺2的粒子通過而濾掉Sz =/2的粒子。（1）求自旋算符Sn =n

7、S的本征態(tài)。（2）求穿過IIISGn后的粒子有多大概率可 以IIISGz穿過。（3）如何調(diào)整IIISGn的方向（即0角）使穿過IIISGz的粒子數(shù)最多？南京理工大學(xué)2008年研究生考試試題1、（1）當(dāng)勢(shì)能V （x）改變一常量C時(shí)，即V（x）T V（x）+C,粒子的波函數(shù)與時(shí)間 無關(guān)的部分 變化否？粒子的能量本量子力學(xué)有哪些假設(shè)征值變化否?2、利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)3、求下列算符的對(duì)易關(guān)1 L?xPx-Pxl?x =? 2fyPx-Px?y = ? 3）?zPx-Px?z =?4、證明：L, Lz以為線性諧振子的基態(tài) 能量。 系式：=卉的氫原子中的電子，在02 2已知算符？的不確定度為仏F2 = F

8、2 -F。=45度和135度的方向上被發(fā)現(xiàn)的概 率最大。 t0時(shí)處于方向沿X軸正方向的弱電場(chǎng)激發(fā)態(tài)的概率。5、帶有電荷e的以為線性諧振子，在t =0時(shí)處于基態(tài)，& = e0e-t之中（T為大于0的常數(shù)），試求該諧振 子在長(zhǎng)時(shí)間后處于第一6、 證明：為了保證角動(dòng) 量算符的Z分量？z =-i?？帐嵌蛎芩惴?，波函數(shù)周期性邊界條件 屮（r,巧=屮（r, 0, W +2兀.q0丿 ?乍；0）+ ab 、H- 1bE（ 0）+V bE2 +a值，準(zhǔn)確到二級(jí)近似；（2）嚴(yán)格求解能量的本征值并與微擾論的計(jì)算結(jié)果比較。9、 設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學(xué)不 容許區(qū)（E-V = T2）作用的一個(gè)粒子的波函

9、數(shù)和能量允許值。四、已知?dú)湓拥碾娮硬ê瘮?shù)為屮nmm（ r，日，咒5）嚴(yán)31（）Y11（ 8,旳負(fù)（Sz）+ 只32（）丫20（也巧這些力學(xué)量的平均值。篦（sz）。求在屮態(tài)中測(cè)量氫原子能量 E，L2、Lz、S2、sz的可能值和五、一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)屮（x）3 X-0之中，其中A 0, A為待求的歸一化常，X 0時(shí)?x，sy, ?的平均值。2也是K?的本征矢，相應(yīng)的本征 值分別為A-1,兀+1. H0表象中，H的矩陣為：十三、設(shè)在E1（0）0十二、設(shè)K=i?M, i?M-M?f=1, W為K?的本征矢，即K?w=z5P，幾為本征值，試證明 卩三抄V0 aE2（0） b Ec e2 e30試用

10、微擾論求能量的二 級(jí)修正。e30）附：1、一維線性諧振子的能 量本征函數(shù)和能量本征 值分別為：1 f Ct 衛(wèi)X2網(wǎng) f 1 咒(x) =iTnJe2 Hn（g）； 帀已十+2嚴(yán) nh，2,3,2、 氫原子的本征值：En =-：e 232；!乜用n23、定積分：jxne心dx-gO,n為正整數(shù)0 04、 寬度為a的非對(duì)稱一維無限深勢(shì) 阱中，粒子的歸一化能 量本征函數(shù)為:f . n；ix屮 nHLin gXa0, xa1x十宀切 八 xcosaxdx =cosax + - sin ax + C5不定積分：fa2a南京理工大學(xué)2010年研究生考試試卷簡(jiǎn)答題1、寫出五個(gè)量子力學(xué)基本假設(shè)中的兩個(gè)2、波

11、函數(shù)是用來描述什么的？歸一化條件的物理意義？波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件?3、不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同的表象中不變的量有哪些?4、何為玻色子和費(fèi)米子？描寫它們波函數(shù)具有怎樣的性質(zhì)?5、敘述泡利不相容原理和全同性原理。二、計(jì)算題一質(zhì)量為4的粒子在一維無限深勢(shì)阱u(x)=I 0,0wxa中,處，X c0,xa1求其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式。2kax,0 X V2、若粒子受到微擾：H(x)詔2ka2 ,求基態(tài)能量的一級(jí)近似值。(a -x), 0開始受微擾H 的作用，求經(jīng)從分長(zhǎng)時(shí) 間tT 乂以后體系躍遷到屮（X）：=_J10（X ）+、gw2（X）+ C5屮 5（x）式中屮n（x）表示諧振子第n個(gè)定

12、態(tài)波函數(shù)，求：（1）系數(shù) c5 -?（2）寫出t時(shí)刻的波函數(shù)；、（3） t=0時(shí)刻諧振子的能量的可能取值和其相應(yīng)幾率，并求其平均值。5、求自旋角動(dòng)量在2 cosa ,cos P ,cosY）方向上的投影& =SxCOsa +SyCOsP + z cos Y的本征值和本征函數(shù)。6、 對(duì)于一維諧振子，取 基態(tài)試探波函數(shù)形式為 exP（-泳2仏為變分參數(shù)。用變分法 求基態(tài)能 量，并與嚴(yán)格解比較。k示:計(jì)二篤佶1）#1_02 aV a7、設(shè) I n）（n =1,231 r fn +1= x2exp（-2ktXk為常數(shù)，且 k 0） 2態(tài)的幾率。北京工業(yè)大學(xué)2009年研究生考試試題部分邊否？能量的本征、

13、當(dāng)勢(shì)能V（ r改變一常量C時(shí)，即V（ r T V（ r）C,粒子的波函數(shù)與時(shí)間 無關(guān)的 值邊否？（獸+礬二、設(shè)在一維無限深勢(shì)竺描述，求粒子能量a阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài) 用：屮（x）-s in cos2兀X J aa竺展開）a的可能值及相應(yīng)的幾率。（用本征態(tài)波函數(shù)屮（X）PsinY a三、設(shè)算符A、B與它們的對(duì)易式 A，B都對(duì)易。證明（1）A，Bn L nBnA, B】:（2）An, BlnAA, B 3（遞推法）四、 設(shè)一體系未受微擾 作用時(shí)有兩個(gè)能級(jí)：E01和e02,現(xiàn)受微擾H?的作用，微擾矩陣元為 H；2 -H；, =a，Hn =H22 =b； a，b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。

14、/ 匸（2） _ P|H mn（En =乞 EWm En五設(shè)粒子的哈密頓量為4+v（r）.（1）證明 ddt（2）證明：對(duì)于定態(tài)2T二莎維里定理）六、證明 KBLa,b；其中A（P ,q）,B （p ,q）是正則動(dòng)量和坐標(biāo)的函 數(shù)，上式左方是相應(yīng)的算符。a,B屣經(jīng)典力學(xué)中的poisso n括弧在多變量情形a,b = Z 俚宜_絲空, y 2q cpi cpj Eq 丿i =1,2,3,k為自由度。北京工業(yè)大學(xué)2008年研究生考試試卷ra2 x2二、一維諧振子處在基 態(tài)屮（X）、證明在定態(tài)屮（t ）=屮（0滬中，幾率流 j = _V屮* _屮*7屮）與時(shí)間無關(guān)。 2m/,求：（1勢(shì)能的平均值U J曲22oC02%n，它的能量的經(jīng)典表示式是:（2）動(dòng)量的平均值T-jj3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。（肢晉怙亠5（21）三、一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)I?2