歸納推理與類比推理

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)經(jīng)典學(xué)案專題 附詳解歸納推理與類比推理、基礎(chǔ)知識:（一）歸納推理:1、歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的 推理，稱為歸納推理（簡稱歸納），簡言之，歸納推理是由部分到整體, 由個(gè)別到一般的推理2、處理歸納推理的常見思路:（1）利用已知條件，多列出（或計(jì)算出）幾個(gè)例子，以便于尋找規(guī)律（2）在尋找規(guī)律的過程中，要注意觀察哪些地方是不變的（形成通式的結(jié)構(gòu)），哪些地方是變化的（找到變量），如何變化（變量變化的規(guī) 律）（3）由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形，看是否符合題意 3、常見的歸納推理類型:（1 ）

2、函數(shù)的迭代：設(shè)f是DtD的函數(shù)，對任意xD，記f Hx ） = X, f C Xx ）= f（X ） f f kx ）= f f（X ）1" I f ©r X ） = f f（n Xx ，貝y稱函 數(shù)）為f（x ）的門次迭代；對于一些特殊的函數(shù)解析式，其f（臥X ）通 常具備某些特征（特征與n）有關(guān)。在處理此類問題時(shí)，要注意觀察解 析式中項(xiàng)的次數(shù)，式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點(diǎn)，以便于從具體例子中尋 找到規(guī)律，得到f（n）（x ）的通式（2）周期性：若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性，則可利用函數(shù)周期性（或數(shù)列周期性）的特點(diǎn)求出某項(xiàng)或分組（按周期分組）進(jìn)行求和。（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）

3、：從數(shù)列所給的條件中，很難利用所學(xué)知識進(jìn)行變形推導(dǎo)，從而可以考慮利用條件先求出幾項(xiàng)，然后找 到規(guī)律，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式（求和公式）（4）數(shù)陣：由實(shí)數(shù)排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確 定數(shù)陣的規(guī)律及求某項(xiàng)。對于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向?yàn)椤靶小?，縱向?yàn)椤傲小保陧?xiàng)的表示上通常用二維角標(biāo) aij進(jìn)行表示，其中i代表行，j代表列。例如：a34表示第3行第4列。在題目中經(jīng) 常會出現(xiàn)關(guān)于某個(gè)數(shù)的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的 特點(diǎn)，確定所求數(shù)的序號，再根據(jù)每行元素個(gè)數(shù)的特點(diǎn)（數(shù)列的通項(xiàng)）， 求出前n行共含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而確定該數(shù)位于第幾行，然后再根據(jù) 數(shù)之間的規(guī)律確

4、定是該行的第幾個(gè)，即列。（二）類比推理:1、類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡 稱類比）2、常見的類比類型及處理方法:（1）運(yùn)算的類比：通常是運(yùn)算級數(shù)相對應(yīng): 加法乘法, 數(shù)乘（系數(shù)與項(xiàng)的乘法）指數(shù)幕 減法除法（2）運(yùn)算律的類比：在數(shù)學(xué)中的其它領(lǐng)域，如果滿足加法，乘法的交換律，以及乘法的分配律，則代數(shù)表達(dá)式部分運(yùn)算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如 在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則:代數(shù)中的平方差公式：a2-b2 =(a + b)(a-b)，和差完全平方公式：(a ±b)= a2 ±2a

5、b +b2均可推廣到向量數(shù)量積中：)，斗 彳2 彳2 彳4 牡(a ±b ) =a ±2a b +b在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，滿足交換律與分配律，則實(shí)數(shù)中的運(yùn)算公式可推 廣到復(fù)數(shù)中(甚至是二項(xiàng)式定理)(3) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比：等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一，二 級運(yùn)算(加減，數(shù)乘)，等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二，三級運(yùn)算(乘 除，乘方)。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運(yùn)算上的類比。例如：設(shè) 屛為等差數(shù)列，公差為d ； bj為等比數(shù)列，公比為q,則遞推公式:忙q-12 -通項(xiàng)公式:雙項(xiàng)性質(zhì):an =ai +(n -1 )d bn = bi d，m+n=p +q 二 am+an=ap+aq m

6、 + n = p +qu tmbn = bpbq等間隔取項(xiàng)，在數(shù)列匕，bn沖等間隔的取項(xiàng): 則aki 2,川akm，|)|成等差數(shù)列bki，bk2|bkm川 成等比數(shù)列(4) 維度的類比：平面幾何(二維)的結(jié)論與立體幾何(三維)的結(jié) 論進(jìn)行類比，當(dāng)維度升高時(shí)，涉及的要素也將維度升高，例如: 位置關(guān)系：平面中的線的關(guān)系空間中的面的關(guān)系，線所成的角線 面角或二面角, 度量：線段長度圖形的面積，圖形面積幾何體體積，點(diǎn)到線的距離點(diǎn)到平面距離 衍生圖形：內(nèi)切圓內(nèi)切球，外接圓外接球，面對角線體對角（5）平面坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的類比：平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)（x,y）空間直 角坐標(biāo)系坐標(biāo)（x,y,z）,在有些坐標(biāo)運(yùn)算

7、的問題中，只需加上豎坐標(biāo)的運(yùn) 算即可完成推廣，例如: 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式: 平面：設(shè)A（Xi,yi）,B（X2,y2 ），則AB中點(diǎn)m 迸產(chǎn)，答里空間：設(shè) A（xi，yi，Zi ）B（X2，y2，Z2 ），則 AB 中點(diǎn) M； X2, yi ； y2, Zi ；z2兩點(diǎn)間距離公式:平面：設(shè) A（Xi，yi ）,B（X2，y2 ），則 |AB空間：設(shè) A（Xi，yi，Zi ）B（X2，y2，Z2 ），貝HAB/ 2 2= V（xi - X2）中（yi - y2）/ 2 2 2 =V（xi X2）中（yi y2） +（zi Z2）3、同一個(gè)命題，不同的角度類比得到的結(jié)論可能不同，通常類比只是提供一個(gè)

8、思路與方向，猜想出一個(gè)命題后通過證明才能保證其正確。在有關(guān)類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結(jié)論 二、典型例題:已 知 f（x） = W efi（X）= f '（X ） f2（X ）= fi（xd|, fn4t（X）= fn（X）fi （ ）=x eX , （ 2 f = e"，）3斟*照此X規(guī)律，貝y f20i5（i） =D.AcX. 20i4A. -20i5B. 20i5C. e2014e思路：由定義可知：fn(X )即為fn二(X )的導(dǎo)函數(shù)，通過所給例子的結(jié)果可以推斷出 fn(X)=(1，從而 f2015(X) =e2015 X r匚r A 2014 ，所以 f

9、2015(1) =e答案：C例2:蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師,單個(gè)蜂巢可以近似的看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7 °個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律,第六幅圖的蜂巢總數(shù)為(A. 61B. 90 C. 91 D. 127思路：從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖可以視為在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上， 外面 圍上一個(gè)正六邊形，且這個(gè)正六邊形的每條邊有 n個(gè)小正方形，設(shè)第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)為f(n )，則可知f(n )比f (n-1)多的蜂巢數(shù)即為外圍的 蜂巢數(shù)。即6n-6 (每條邊n個(gè)，其中頂點(diǎn)被計(jì)算了兩次，所以要減6)， 所以有f(n )-f(n-

10、1) = 6(n-1)，聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法，從而由 f(n)-f(1) = 6x( n-1)+( n-2 )+川+1 = Bn2-3n，且 f(1)=1 貝 U f (n ) = 3n2 -3n +1。代入 n =6可得 f (6 ) = 3 ”62 -3 6+1 = 91答案：C例3 :將正整數(shù)排成數(shù)陣(如圖所示),則數(shù)表中的數(shù)字2014出現(xiàn)在A.第44行第78列B.78列第45行第'23561() I I47 K 耳12 13 14 15 |<>C.第44行第77列D.第45行第77列思路：從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個(gè)完全平方數(shù)，即第k行最 后一個(gè)數(shù)為k2，

11、所以考慮離2014較近的完全平方數(shù)：442 =1936,452 =2025，所以2014位于第45行，因?yàn)?936是第44行的最后一個(gè)數(shù)，所以2014為第45行中第（2014 1936）=78個(gè)數(shù)，即位于第45 行第78列 答案：Ba b C ”，若把該結(jié)論推廣到空間，則結(jié)論為：“在三棱錐例4 :已知結(jié)論：“在L ABC中，各邊和它所對角的正弦比相等，即 sinA si nB sinCA-BCD中，側(cè)棱AB與平面ACD，平面BCD所成的角為 gP，則有A.BC ADAD BCsin a sin PB.- nsi na si nPC.SlbCDSACDS ACD S BCDsin a sin P

12、D.sin n3思路：本題為維度推廣題，平面中的線段所成的夾角推廣為線面角, 所以可將正弦定理的邊長（一維度量）類比推廣為面積（二維度量） 正弦定理中為角所對的邊長，則在三棱錐中推廣為線面角所對的側(cè)面 面積，即a所對的側(cè)面為平面BCD , P所對的側(cè)面為平面ACD，所以猜 測 注=逸，再考慮證明其正確性。證明過程如下:sina sin P證明：分別過B,A作平面ACD，平面BCD的垂線，垂足分別為 E,F 由線面角的定義可知：NBAE =a,NABF = P1 1 ./. Vb acd =，S|acd "BE = S acd "AB "Sinet -3 L3 -1

13、1同理：二 Vaacd =3 Sbcd IE = 3 bcd AB sin P3311二-Slacd AB sina =- “S bcd AB sin P = Sacd sina = S bcd sin P 33二注得證sin a sin P答案：C 例5:三角形的面積S=1（a+b+c）r，其中a,b,c為其邊長，r為內(nèi)切圓 半徑，利用類比法可以得出四面體的體積為（A. V+S2+S3 + 3 ）（其中Si +S2 + S3+S4分別為四個(gè)面的面積，r2為內(nèi)切球的半徑）B. V=S'h（ S為底面面積，h為四面體的高）3C. V =1（S, +S2 +S3 +S4 ”r （其中Si

14、+S2 +S3 +S4分別為四個(gè)面的面積，r為3內(nèi)切球的半徑）1D. V =-（ab + bc+ac）、h （ a,b,c為底面邊長，h為四面體的高）3思路：本題為維度題，在三角形中，面積依靠內(nèi)切圓半徑與邊長求解。則在四面體中，內(nèi)切圓類比成內(nèi)切球，邊長類比為面積。所以四面體 的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān)，即在 A, C中挑選?？紤]在三角形中，可通過連接內(nèi)心與各頂點(diǎn)，將三角形分割為三個(gè)小三角形，底邊為各邊邊長，咼均為半徑r ,所以面積S=1（a+b + c）T ，其中系數(shù)-來2 2源于三角形面積公式。進(jìn)而類比到四面體中，可通過連接內(nèi)切球的球 心與各頂點(diǎn)，將四面體分割為 4個(gè)小四面體，以各面為

15、底面，內(nèi)切球 半徑為高。從而心（心+5+$4円。系數(shù)2來源于棱錐體積公式答案：C 例6:若數(shù)列aj是等比數(shù)列，且an aO ,則數(shù)列0=曲&川£n（n迂W）也 是等比數(shù)列.若數(shù)列%是等差數(shù)列，可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè) 性質(zhì)為（B. h/g+iiz是等差數(shù)A. 0嚴(yán)2川an是等差數(shù)列nC. bn =妬利"0?是等差數(shù)列D. bn =廠川藥是等差數(shù)思路：考慮在等比數(shù)列中，很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級運(yùn)算（乘除法，乘方開方），至打等差數(shù)列中，很多性質(zhì)可類比為一二級運(yùn)算（加減，數(shù)乘）。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開方，所以可聯(lián)想到類比等差數(shù)列，乘法運(yùn)算對應(yīng)類比為加法，開方運(yùn)

16、算對應(yīng)類比為除法。所以 該性質(zhì)為：若數(shù)列a,是等差數(shù)列，則d=ai+比+川+an是等差數(shù)列。這個(gè)命題是正確的，證明如下:證明：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)aj的公差為d，貝Jbn十弋 /宀2 Eg +時(shí)aWliZnn +1nn(ai +a2 +tH+an +an4t )-(n +1 丫 g +a2+可)n( n +1)nan十但1 +a2 + HI+an ) (an-g )+(an -a1)+l|+(an41-an)n(n +1 )n(n +1)Tn 為等差數(shù)列二 an+ -ai =(n +1 -i )d,(i =1,2,|H,n )n(n +1)n （n +1）-侃為公差是2的等差數(shù)列n(n +1)n(n+

17、1)2n d+( n- 1)d+)| + d d(1+2+H)十 n) d2d答案：B 例7:對于大于1的自然數(shù)m的三次幕可用奇數(shù)進(jìn)行一下方式的“分裂”:2= 5 + , 33 =7 +9 +11 , 43 =13 + 15+17 +19 ,，仿此，若 m3 的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是61，則m的值是（A. 6B. 7C. 8D. 9 思路：觀察這幾個(gè)等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征：（1）n3可分解為n個(gè)連續(xù)奇 數(shù)的和，（2）從23開始這些奇數(shù)是按3,5,7,9川 順次排列的。所以在第n 個(gè)數(shù)時(shí)，所用的奇數(shù)的總數(shù)為2+3+川+=5+2"-1）個(gè)。從3開始算起，61是第罟十30個(gè)奇數(shù)。當(dāng)n=7，可知

18、所用的奇數(shù)總數(shù)為27個(gè),當(dāng)n =8,可知所用的奇數(shù)總數(shù)為35個(gè)。所以m =8答案：C例&從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則1234%67S9W金1415詢1720A232427282932333435托373940這九個(gè)數(shù)的和可以為（A. 2097 B. 2112C. 2012 D. 2090思路：當(dāng)三角形在移動時(shí),觀察其規(guī)律，內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為，則第二行的數(shù)為a+7,a+8,a+9，其和為3（a+8），第三行的數(shù) 為a+ 14,a +15,a+16,a+17,a+18，其和為5（a + 16），所以這

19、九個(gè)數(shù)的和為S=a+3（a+8）+5（a+16）= 9a+104，代入到各個(gè)選項(xiàng)中看能否算出a即可。通過計(jì)算可得：9a +104 = 2012時(shí)，a = 212符合題意答案：C例9 :某種游戲中，黑，白兩個(gè)“電子狗”從棱長為1的正方體ABCD - ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是AA,t ADiT i 11 ,白“電子狗”爬 行的路線是ABt BB ） H，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線（其中 飛屮），設(shè)黑“電子狗”爬完優(yōu)白“電子狗”爬完優(yōu)質(zhì)試題段后各自停止在正方體的某個(gè) 頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白“電子狗”質(zhì)試題段,2間的距離是a_"tBi思路：首先根據(jù)題目中所給規(guī)則，觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為 AAt ADjT DQt GCt CBt ba，然后周而復(fù)始，以6為周期；白“電子狗”