導數(shù)的基本概念(培優(yōu))-學案

1、全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編(附詳解)5授課主題第23講-導數(shù)的基本概念授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)理解導數(shù)的概念及幾何意義；教學目標掌握幾個基本函數(shù)的導函數(shù)求法及導數(shù)的基本運算法則; 會求函數(shù)過定點的切線方程。授課日期及時段T (Textbook-Based )司步課堂知識梳理一、導數(shù)的概念f(X0+"I(X0)，我們稱它為函數(shù)AyAx定義：函數(shù)f (X)在x=x0處瞬時變化率是丁二jjmy = f(X在X = X0處的導數(shù)，記作f '(X0 )或 y"= limf(x0"xis二、求導數(shù)的方法:求導數(shù)值的一般步驟:求函數(shù)的增量:也y =

2、f (xo +也X)-f(X0)；求平均變化率:卻f(X0 +也X)- f(X0).求極限，得導數(shù)也y,f(x0+也X)-f(X0)(X0)=螞懇。也可稱為三步法求導數(shù)。三、導數(shù)幾何意義函數(shù)y = f(X)的平均變化率 細=f(X2)-f (Xi)的幾何意義是表示連接函數(shù)ZX2 -Xjy = f (x)圖像上兩點割線的斜率。如圖所示，函數(shù) f(x)的平均變化率 0= f(X2)-f(X1)的幾何意義是：直線氐XX2 -X1AB的斜率。全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編（附詳解）事實上，kABm _ f (X2)- f (Xi) _AyXa XbX2 -Xi換一種表述:曲線上一點P（Xo,yo）及

3、其附近一點 Q（X0 +Ax,y0 + 紉），經(jīng)過點p、Q作曲線的割線PQ,則有kpQ Jyo+即)-yo。(Xo +&) -Xo四、曲線的切線（1）用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟:求出切點（X0, f（X0）的坐標； 求出函數(shù)y= f （x）在點Xo處的導數(shù)f'（xo） 得切線方程y - f（xo） = f （x）（x - Xo）（2）在點（Xo, f（Xo）處的切線與過點（X0，yo）的切線的區(qū)別。在點（Xo,f（Xo）處的切線是說明點（Xo,f（Xo）為此切線的切點；而過點（Xo，yo）的切線，則強調(diào)切線是過點（xo, yo）,此點可以是切點，也可以不是切點。

4、因此在求過點（xo, yo）的切線方程時，先應(yīng)判斷點（X0, y。）是否為曲線f（X）上的點，若是則為第一類解法， 若不同則必須先在曲線上取一切點（X1, f（X1），求過此切點的切線方程y-yi= f'（Xi）（x-Xi），再將點（X0，yo）代入，求得切點（xi,f（Xi）的坐標，進而求過點（X0，yo）的切線方程。五、基本初等函數(shù)的導數(shù)基本初等函數(shù)導數(shù)特別地常數(shù)函數(shù)y =c(c為常數(shù))y' =0兀=0,e'=0幕函數(shù)y = X氣n為有理數(shù))y = n x"P卜丄y- 1 lx丿X*八2#指數(shù)函數(shù)y = axy ax In a(ex )'=ex對數(shù)

5、函數(shù)y=logaXy'=11(In X)' =_X正弦函數(shù)y =sin Xy' =cosx(si nx】1(tanx)= =LIcosx 丿 cos X 丄,fcosx)1(COtX 尸一= '* Is in X) si n X余弦函數(shù)y = cos Xy' = -sin X六、和、差、積、商的導數(shù)導皴加法法則/(x)+gwx/a)+ga)導數(shù)的減法法則/(A)-gW'=/'(A)-gU)導數(shù)的乘法法則/(a) gU)-=/'WgW + /(x)g'(x)導數(shù)的除法法則嚴當=廣曲)7(譏優(yōu)) gW蠱 s)F七、復合函數(shù)的求

6、導法則：復合函數(shù)y = f(g(x)的導數(shù)和函數(shù) y=f(u)，u=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx'=幾Ux'。典例分析考點一：求平均變化率 例1、求函數(shù)y= Jx2 +1在xo到X0+ Ax之間的平均變化率.例2、已知函數(shù)f (x)= x2 +x的圖象上的一點A(1, -2)及臨近一點B(-1 + Ax, - 2 + Ay),則全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編（附詳解）考點二：用定義求導函數(shù)1例1、用導數(shù)的定義，求函數(shù) y = f（X）在X=1處的導數(shù)。例2、設(shè)函數(shù)f（x）在點X0處可導,hmf(Xo +h)-f(Xo-h)2h考點三：利用公式求導函數(shù)例1、求下列各函數(shù)的導數(shù):

7、(1)y=X2(2)y=（x+1）（x+2）（x+3）；X2 X(3)y=-sin -(1-2cos -)；例2、求下列函數(shù)的導數(shù):(1) ynx+'cosx ；XX4y 2 + loga X全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編(附詳解)1 1八匚廠喬;反；(4) y=x sinx，lnx .考點四：求曲線的切線方程例1、已知直線y =kx是曲線y =1 n X的切線，貝U k的值為(C.丄 e例2、已知函數(shù)f(x) = xlnx ,過點A-丄,0 1作函數(shù)y = f(x)圖象的切線，則切線的方程為I e '丿例3、已知曲線y= -x3+ 4.33(1 )求曲線在x=2處的切線方程

8、;(2)求曲線過點(2, 4)的切線方程.考點五：利用導數(shù)求解析式中的參數(shù)例1、若函數(shù)f(x)=(a +2)x3-ax2+2x為奇函數(shù)，則曲線 y = f(x)在點(-1,f(-1)處的切線方程例2、已知直線x-y+1=0與曲線y=lnx + a相切，則a的值為例3、已知拋物線y=ax2+bx + c通過點(1,1)，切在點(2,-1)處與直線y=x-3相切，求a,b,c的值.P(P ractice-Oriented)實戰(zhàn)演練9實戰(zhàn)演練課堂狙擊2k1.若f'( X0)=2,則當k無限趨近于0時f(x0 k)心0)2.設(shè)曲線y=鋁在點(3, 2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=

9、3 .若點P在曲線y=x24.曲線y=x -2x -4x+2在點(1,-3)處的切線方程是-3x2+(3- J3 )x+ 3上移動，經(jīng)過點P的切線的傾斜角為a ,則角a的取值范圍.條.47.x軸所圍成的三角形面積是曲線y= 1和y=x2在它們交點處的兩條切線與x若函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x-x(x+1),則函數(shù)g(x)=f(log ax)(0 < av 1)的單調(diào)遞減區(qū)間是9.求下列函數(shù)在x=xo處的導數(shù).(1) f(X).23兀=cosx sin x+cos x, xo=;3(2) f(x)(3) f(x)xx=，x0=2;1 _Jx 1 +仮Jx x3 +x2 ln x-,x0=1

10、 .10求曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離.11設(shè)函數(shù)f(x)=ax+ ( a,b Z),曲線 y=f(x)在點(2, f (2)處的切線方程為 y=3. X +b(1 )求f (x)的解析式;(2)證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編（附詳解）值.11OQ12.偶函數(shù)f (X)=ax +bx +cx +dx+e的圖象過點P （0, 1）,且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（ x）的解析式.課后反擊1.設(shè) f(X)=ax +4，若 f '(1)=2，則 a=

11、(B . 2D .不確定全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編(附詳解)152兀2.在曲線八X上切線的傾斜角為4的點是()A. (0,0)B (2,4)3.已知函數(shù)y = f(x)的圖象如圖，貝Uf' (xa)與f' (xb)的大小關(guān)系是()丁A . f' (xA)>f' (xb)B . f' (xA)<f' (xb)C . f' (xa)= f' (xb)D.不能確定:；1 1 3心4.已知曲線y= f (x)在x = 5處的切線方程是 y = x +8,貝U f (5)及f '(5)分別為A. 3,3B. 3,

12、- 1C. 1,3D. 1 , 15設(shè)f' (xo)= 0，則曲線y= f(x)在點(xo, f(xo)處的切線(A .不存在B .與x軸平行或重合C .與x軸垂直D .與x軸斜交6.設(shè)函數(shù)f (x)可導，則螞竺3等于(A. f '(1) B.不存在1.3f'(1)D.以上都不對B (2, 4)。求:7.曲線y=x2+4x上有兩點A (4, 0)、(1)割線AB的斜率Kab及AB所在直線的方程;(2)在曲線上是否存在點 C,使過C點的切線與AB所在直線平行？若存在，求出C點的坐標及切線方程；若不存在，請說明理由。直擊高考1.【優(yōu)質(zhì)試題新課標III，文】已知f(X )為偶

13、函數(shù)，當x<0時，f(x)=e7j-x，則曲線y=f(x)在(1,2)處的切線方程.式2.優(yōu)質(zhì)試題天津，文11】已知函數(shù)f(x) = axlnx,x0O,址)，其中a為實數(shù)，f'(x)為f(x)的導函數(shù)，若f'(1 ) = 3，則a的值為3.【優(yōu)質(zhì)試題新課標1，文14】已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點的處的切線過點(2,7 ),4.【優(yōu)質(zhì)試題-陜西，文15】函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為5.【優(yōu)質(zhì)試題-安徽卷文第15題】若直線I與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線I在點Px0,y0處與曲線C相切；(ii)曲線C在P附近位于直線I的兩側(cè)，則稱直線I在點P處

14、 切過”曲線C.下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號 )直線I : y =0在點P(0,0 )處切過”曲線C : y直線x = -1在點P(-1,0 M切過”曲線C :y=(x + 1)2直線y=x在點P (0,0 )處切過”曲線C : y=si nx直線y=x在點P(0,0 )處切過”曲線C : y = tanx直線y=x-1在點P(1,0 )處切過”曲線C : y=InxSsummary-Embedded)歸納總結(jié)全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編(附詳解)重點回顧一、導數(shù)的概念要點詮釋:增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于o。蟲XT o的意義：Ax與o之間距離要多近有多近，即

15、|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)。o時， y在變化中都趨于 o,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)。無限接近。即存在一個常數(shù)與 =f（Xo+Ax）-f（Xo）Z氐X導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率。如瞬時速度即是位移在這一時 刻的瞬間變化率。二、求導數(shù)的方法:求導數(shù)值的一般步驟:求函數(shù)的增量:也y = f （xo +也X）- f（Xo）；求平均變化率:y _ f（X0 + ix） - f （Xo）；求極限，得導數(shù)Ax（Xo）=胚存回f（XoSf。Ax也可稱為三步法求導數(shù)。三、導數(shù)幾何意義函數(shù)y = f （x）的平均變化率 空=f（X2）f（Xi）的幾何意義是表示連

16、接函數(shù)y = f（X）圖像上兩點割X2-X1線的斜率。要點詮釋：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率。四、曲線的切線（1）用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟:求出切點（xo,f（xo）的坐標；求出函數(shù)y= f（X）在點x0處的導數(shù)f'（xo）得切線方程y - f（Xo） = f "（xx -Xo）（2）在點（Xo, f（Xo）處的切線與過點（X0, yo）的切線的區(qū)別。在點（Xo,f（Xo）處的切線是說明點（Xo, f（Xo）為此切線的切點；而過點（xo, yo）的切線，則強調(diào)切19全國名校高考數(shù)學復習培優(yōu)學案匯編（附詳解）線是過點（xo, yo）,此點

17、可以是切點，也可以不是切點。因此在求過點（xo, yo）的切線方程時，先應(yīng)判斷點（Xo, yo）是否為曲線f（x）上的點，若是則為第一類解法， 若不同則必須先在曲線上取一切點（x1, f （x1）,求過此切點的切線方程y % = f '（xiXx xJ，再將點（xo, yo）代入，求得切點（為，f （x1）的坐標，進而求過點（X0, yo）的切線方程。五、基本初等函數(shù)的導數(shù)1.常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為 0,即c'=0（ c為常數(shù)）.其幾何意義是曲線 f（x）=c （ c為常數(shù)）在任意點處的切線平行于X軸.2有理數(shù)幕函數(shù)的導數(shù)等于幕指數(shù)n與自變量的（n 1）次幕的乘積，即（xn）'

18、; = nxn（n亡Q ）.3.在數(shù)學中，In ”表示以e（e=2.71828）為底數(shù)的對數(shù)；“g ”表示以10為底的常用對數(shù).4.基本初等函數(shù)的求導公式不需要證明，只需記住公式即可.六、和、差、積、商的導數(shù)1.上述法則也可以簡記為:（i）和（或差）的導數(shù):(u ±v)' =u'±v',推廣：(Ui ±U2 +±un)'=1±2±" ±u'n .（ii）積的導數(shù)：（u v）'=u 'v +uv',特別地：（cu）' =cu'（ c為常數(shù)）.（iii）商的導數(shù)：！u '=Vv丿u