(人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)）21.2《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》名師教案

1、21.2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系胡雯雯一、教學(xué)目標(biāo)一核心素養(yǎng)本節(jié)是一元二次方程的解法的最后一節(jié)課.在之前一元二次方程的解法已經(jīng)掌握的根底上 ,學(xué)生經(jīng)歷探索 ,嘗試發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理 ,感受不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明 ,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和綜合判斷的能力 ,激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性 ,鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索的精神.二學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系.2. 靈活運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題.3. 提高學(xué)生綜合運(yùn)用根底知識(shí)分析解決較復(fù)雜問題的能力.三學(xué)習(xí)重點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系四學(xué)習(xí)難點(diǎn)對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的理解和推導(dǎo)二、教學(xué)設(shè)計(jì)一課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)1：填寫下表.abc方程x

2、1x2x1 x2x1·x2132-2-1-321-3-186-33-1814-10-4-10112<0 ,故無實(shí)根觀察上面的計(jì)算結(jié)果 ,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 a=1時(shí) ,假設(shè)一元二次方程有實(shí)根0兩根和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù) ,兩根積等于常數(shù)項(xiàng) 文字表達(dá)；結(jié)論： a=1時(shí) , 用字母表達(dá).2：填寫下表.abc方程x1x2x1 x2x1·x2231-1-386-16-82-6-16211<0 ,故無實(shí)根觀察上面的計(jì)算結(jié)果 ,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 假設(shè)一元二次方程有實(shí)根0, 兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.文字表達(dá)；結(jié)論

3、： 假設(shè)一元二次方程有解x1 ,x20 ,那么 用字母表達(dá).預(yù)習(xí)自測(cè)1.解方程,那么=_,=_;=_,=_.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程【解題過程】解方程可得=3 ,=-1.進(jìn)而得到=2 ,=-3.【思路點(diǎn)撥】解出方程的根即可得解.【答案】=3 ,=-1；=2 ,=-32.解方程,那么=_,=_;=_,=_.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程【解題過程】解方程可得= ,=-1.進(jìn)而得到= ,=-.【思路點(diǎn)撥】解出方程的根即可得解.【答案】= ,=-1； = ,=-.3.一元二次方程的一個(gè)解是-1,那么另一個(gè)解_.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】-1是方程的一個(gè)解 ,而=2, =3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根之和

4、和其中一根可求出另一根.【答案】34.一元二次方程的一個(gè)解是1, 那么=_.=【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】=-3 ,=1, =-3, =-2 m=4【思路點(diǎn)撥】方程中a ,c確定 ,即可確定兩根積；從而可得到另一根 ,進(jìn)而得出兩根和 ,由此得到m的值.【答案】4 (二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回憶1一元二次方程的一般形式:2一元二次方程根的判別式:3一元二次方程的求根公式：2.問題探究探究一 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的猜測(cè)與證明活動(dòng)大膽猜測(cè) ,探索新知回憶預(yù)習(xí)活動(dòng)中的表格兩個(gè)根兩根和兩根積a與b之間的關(guān)系a與c之間的關(guān)系-2-1-32326-33-18-3-18 -4-104-10-1-

5、82 -6-166-16 猜測(cè)：一元二次方程的兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.師問：方程,有上述特征嗎？生答：沒有.因?yàn)樯厦鎯蓚€(gè)方程的判別式小于0 ,故方程無實(shí)根.總結(jié)：上面猜測(cè)的規(guī)律的前提是一元二次方程有實(shí)根 ,即 【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè) ,引導(dǎo)學(xué)生由觀察得到的初步認(rèn)識(shí) ,再從特殊到一般 ,體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性和邏輯推理的嚴(yán)密性.活動(dòng) 從特殊到一般 ,嚴(yán)密推理推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系請(qǐng)學(xué)生小組討論 ,并形成小組結(jié)論設(shè)x1、x2是方程ax2bxc=0a0的兩個(gè)根試計(jì)算1x1x22.故有：一元二次方程,當(dāng)時(shí) ,它

6、的兩根滿足注：使用條件： 注意符號(hào)【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從前面的感性認(rèn)識(shí) ,逐步推廣到一般情況 ,鍛煉數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯思維能力.探究二 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理的應(yīng)用活動(dòng) 熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系口答以下方程中 ,兩根的和與兩根的積各是多少？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【解題過程】1a=1 ,b=-2 ,c=1 =2 ,=1.2a=1 ,b=-9 ,c=10 =9 ,=10.3a=4 ,b=-7 ,c=14先整理為一般式：a=1 ,b=-9 ,c=0 =9 ,=0.【思路點(diǎn)撥】尋找一元二次方程的兩根和與積 ,首先要化為一般式 ,找準(zhǔn)各項(xiàng)系數(shù) ,同時(shí) ,要注意使用定理的前提是判別式0.

7、【答案】1=2 ,=1.2=9 ,=10.3= ,=.4=9 ,=0.【設(shè)計(jì)意圖】更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系活動(dòng) 方程一根 ,求另一根例1：方程的根是2 ,求它的另一根及k的值【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】2是方程的一個(gè)解 ,而=, k=-7【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根之積和其中一根可求出另一根 ,繼而得到兩根和并求出待定系數(shù)的值.【答案】-7【設(shè)計(jì)意圖】此題有多種解法 ,可請(qǐng)同學(xué)展示多種方法 ,從中比擬各種方法的優(yōu)劣性 ,從而認(rèn)識(shí)到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值.活動(dòng) 方程兩根 ,求待定系數(shù)值.例2：方程的兩個(gè)根是1和3 ,求m ,n的值【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】1和

8、3是方程的兩個(gè)解 ,而=, =4 n=12【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩根可求出兩根之積與兩根之和 ,進(jìn)而得出待定系數(shù)的值.【答案】 ,n=12【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)上例中方法 ,更多地表達(dá)根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值.探究三 綜合應(yīng)用活動(dòng) 由根與系數(shù)的關(guān)系求相關(guān)代數(shù)式的值例3：是一元二次方程的兩根 ,那么【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式的應(yīng)用【解題過程】首先化為一般式 ,可由根與系數(shù)關(guān)系得到兩根和與兩根積 ,【思路點(diǎn)撥】將各式變形為的式子 ,即可解決.【答案】練習(xí)：x1 ,x2是方程的兩個(gè)根 ,試求：1 (2) .【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】 ,【思路點(diǎn)撥】將各式變形為的式子

9、 ,即可解決.【答案】【設(shè)計(jì)意圖】通過前面的訓(xùn)練 ,同學(xué)們已經(jīng)對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系有了初步的了解 ,此例題的目的在于穩(wěn)固前面的知識(shí) ,并能和完全平方公式相關(guān)的式子進(jìn)行靈活求解.活動(dòng)2 根與系數(shù)的關(guān)系中的整體思想例4設(shè)a、b是方程的兩實(shí)數(shù)根 ,那么【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過程】由根與系數(shù)的關(guān)系可知 ,而a是方程的一個(gè)根 ,故有 ,即.所以=2019.【思路點(diǎn)撥】將所求的代數(shù)式分解成可求的代數(shù)式【答案】2019練習(xí)：設(shè)是方程的兩實(shí)根 ,求的值.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過程】是方程的解 ,.即 ,故原式=2019.【思路點(diǎn)撥】降次 ,將所求代數(shù)式分解成

10、可求的代數(shù)式.【答案】2019【設(shè)計(jì)意圖】能夠在較為復(fù)雜的代數(shù)式中別離出可整體求出的式子 ,從而整體代入求解.活動(dòng)3 含參方程的根與系數(shù)的關(guān)系例5的兩實(shí)根的平方和為2 ,求m.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式 ,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【解題過程】 ,m=±3. ,m=3【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的前提是判別式0.【答案】3.練習(xí)：有兩個(gè)不相等的實(shí)根；求k的取值范圍是否存在k ,使兩根的倒數(shù)和等于0？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式 ,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 , 【解題過程】（1） k0 ,且 ,且.（2） 那么 ,即 ,故不存在.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用一元二次方程

11、根與系數(shù)的關(guān)系的前提是判別式0.【答案】(1) 且. (2)不存在【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)含參方程的分析 ,提高學(xué)生符號(hào)計(jì)算的能力. 同時(shí) ,加強(qiáng)對(duì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用 ,注意前提：判別式0的理解.3. 課堂總結(jié)知識(shí)梳理1假設(shè)一元二次方程有實(shí)根0, 兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.2應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的前提是判別式0重難點(diǎn)歸納1一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2隱含條件：二次項(xiàng)系數(shù)不為0 ,判別式非負(fù).3常見題型：不解方程 ,判斷方程兩根的和與積； 方程和方程一根 ,求另一個(gè)根及字母系數(shù)；方法：根據(jù)兩根之積和其中一根可求出另

12、一根 ,繼而得到兩根和并求出待定系數(shù)的值. 不解方程求含有方程兩根的式子的值. 方法：先得出兩根和與積 ,再通過完全平方公式等數(shù)學(xué)公式 ,或一些特殊結(jié)構(gòu)整體代入求值.三課后作業(yè)根底型 自主突破1判定以下各方程后面的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根1； -1 ,72； 3 3 ,3【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】1-1×77 ,故不是；2 ,故不是；3先化為一般式 , ,故是【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷.【答案】1、2不是 ,3是2. 一元二次方程的兩個(gè)根分別是x1和x2 ,那么【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：一元二次方程x23x2=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1 ,一次項(xiàng)

13、系數(shù)b=3 , 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 ,解答即可【答案】33.關(guān)于x的方程的兩根為3和1 ,那么p= ,q= 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：關(guān)于x的方程x2pxq=0的兩根為3和1 ,31=p ,3×1=q ,p=4 ,q=3【思路點(diǎn)撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于p或q的一元一次方程 ,解之即可得出結(jié)論【答案】4；34. 關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2 ,那么另一個(gè)根是A3 B2 C3 D6【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t ,根據(jù)題意得2t=1 ,解得t=3 ,即方程的另一個(gè)根是3【思路點(diǎn)撥】設(shè)方程的另一個(gè)根為t ,利用根與系數(shù)

14、的關(guān)系得到2t=1 ,然后解一元一次方程即可【答案】A5.實(shí)數(shù)x1 ,x2滿足 ,那么以x1 ,x2為根的一元二次方程是A B C. D 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解： 一元二次方程中： ,=30當(dāng)a=1時(shí) ,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩根之和及兩根之積的即可得出, =30 ,當(dāng)a=1時(shí) ,即可找出b、c的值 ,此題得解【答案】A6.假設(shè)x1 ,x2是方程 的兩個(gè)根 ,且 ,那么m的值為A1或2 B1或2 C2 D1【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：x1 ,x2是方程x22mxm2m1=0的兩個(gè)根 , ,即 ,解得： 方程 有實(shí)數(shù)根 ,解得：m1m=1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)

15、根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合 ,即可得出關(guān)于m的一元二次方程 ,解之即可得出m的值 ,再根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式 ,即可得出關(guān)于m的一元一次不等式 ,解之即可得出m的取值范圍 ,從而可確定m的值【答案】D能力型 師生共研7.設(shè)x1 ,x2是方程的兩個(gè)根 ,利用根與系數(shù)的關(guān)系 ,求以下各式的值1；2【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】1原式= 2原式=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得.【答案】 ,8. 是方程的實(shí)數(shù)根 ,求的值.【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：為的實(shí)數(shù)根 , ,即 ,、為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,= ,= ,2235=5×3×1=12【思路點(diǎn)

16、撥】根據(jù)一元二次方程解的定義得到 ,即 ,那么可表示為531 ,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到= ,= ,然后利用整體代入的方法計(jì)算【答案】12探究型 多維突破9.關(guān)于的一元二次方程k為常數(shù)（1） 求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,且試求方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和k值【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式 【解題過程】解：1=0 ,故方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2 , x2=8 ,x1=-2 ,故有k=±4【思路點(diǎn)撥】1根據(jù)關(guān)于x的方程, 得出0 ,即證.2由兩根之和為6 ,可得x2=8 ,進(jìn)而得出另一根和k的值.【答案】見解析10.關(guān)于x的方程x22k1x4k=01求

17、證：無論k取什么實(shí)數(shù)值 ,這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；2能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)k ,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？假設(shè)能找到 ,求出k的值；假設(shè)不能 ,請(qǐng)說明理由3當(dāng)?shù)妊切蜛BC的邊長a=4 ,另兩邊的長b、c恰好是這個(gè)方程的兩根時(shí) ,求ABC的周長【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程因式分解法；根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì) 【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】證明：1=2k1216k=2k320 ,方程總有實(shí)根；解：2兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù) ,x1x2=2k1=0 ,解得k=0.5；3當(dāng)b=c時(shí) ,那么=0 ,即2k32=0 ,k= ,方程可化為x24x4=0 ,x1=x2=2 ,而b=c=

18、2 ,bc=4=a不適合題意舍去；當(dāng)b=a=4 ,那么4242k14k=0 ,k= ,方程化為x26x8=0 ,解得x1=4 ,x2=2 ,c=2 ,CABC=10 ,當(dāng)c=a=4時(shí) ,同理得b=2 ,CABC=10 ,【思路點(diǎn)撥】1整理根的判別式 ,得到它是非負(fù)數(shù)即可2兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù) ,讓=0即可求得k的值3分b=c ,b=a兩種情況做【答案】見解析自助餐1.關(guān)于x的方程2x2mxn=0的兩個(gè)根是2和1 ,那么nm的值為A8 B8C16D16【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【解題過程】解：關(guān)于x的方程2x2mxn=0的兩個(gè)根是2和1 ,=1 ,=2 ,m=2 ,n=4 ,nm= =16 【思路點(diǎn)

19、撥】由方程的兩根結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求出m、n的值 ,將其代入nm中即可求出結(jié)論【答案】C2.關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù) ,那么a的值為A2B0C1D2或0【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：設(shè)方程的兩根為x1 ,x2 ,根據(jù)題意得x1x2=0 ,所以-a22a=0 ,解得a=0或a=2 ,當(dāng)a=2時(shí) ,方程化為x21=0 ,=40 ,故a=2舍去 ,所以a的值為0【思路點(diǎn)撥】設(shè)方程的兩根為x1 ,x2 ,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得-a22a=0 ,解得a=0或a=2 ,然后利用判別式的意義確定a的取值【答案】B3.一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ,那么x11x21的值是 【知識(shí)點(diǎn)

20、】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：一元二次方程x23x2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 ,x2 ,x1x2=3 , =2 ,x11x21=x1x21=231=4【思路點(diǎn)撥】由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=3, =2 ,將其代入中 ,即可求出結(jié)論【答案】44.a、b是方程x2x3=0的兩個(gè)根 ,那么代數(shù)式a3a23b2的值為 【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系 【解題過程】解：a、b是方程x2x3=0的兩個(gè)根 ,a2a=3 ,ab=1 ,a3a23b2=aa2a3b2=3a3b2=3ab2=1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系 ,即可得出a2a=3、ab=1 ,將其代入a3a23b2=aa2a3b2中 ,即可求出結(jié)論【答案】15.關(guān)于x的一元二次方程x2m3xm=01求證：方程有兩個(gè)