《2.4二項(xiàng)分布》導(dǎo)學(xué)案

1、2.4 二項(xiàng)分布 導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2. 能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)的概率的計(jì)算重點(diǎn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件的概率及二項(xiàng)分布的求法，試驗(yàn)的概念及二項(xiàng)分布的概念.難點(diǎn)二項(xiàng)分布模型的構(gòu)建 .教學(xué)過程擲一次硬幣可看作一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果 :正面、反面 .由于硬幣均勻， 所以出現(xiàn)正面的概率為，如果將這枚均勻硬幣隨機(jī)擲 100次，那么正好出現(xiàn) 50次正面的概率 是否也是呢？問題1:前一次拋擲的結(jié)果是否影響后一次的拋擲的結(jié)果？或者說每次拋擲是否相互獨(dú) 立？前一次拋擲的結(jié)果 不會(huì) 影響后一次的結(jié)果， 因?yàn)樗窃谙嗤?/p>

2、條件下作的試驗(yàn)， 每 一次試驗(yàn) 都是 相互獨(dú)立的，不會(huì)有影響 .問題2:什么是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？有什么特點(diǎn)？在相同條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) .獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)特點(diǎn)如下 :每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的； 各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互 獨(dú)立的； 每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果， 即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生， 并且在任何一次試驗(yàn) 中，事件發(fā)生的概率均相等 .問題3:什么是二項(xiàng)分布？一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的 概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)= pk(1-p嚴(yán) ，k

3、 =0, 1, 2,，n此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作 XB(n, p)，并稱p為 成功概 率.利用二項(xiàng)分布來解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于在實(shí)際問題中建立二項(xiàng)分布的模型,也就是看它是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)， 滿 足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布,否則就不服從二項(xiàng)分布 .學(xué)習(xí)交流1某一試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P，則在n次這樣的試驗(yàn)中，發(fā)生 k次的概率為().k k n-kA. 1-pB.(1 -p) pk k n-kC.(1-p)kD.(1 -p)kpn-k【解析】在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰發(fā)生k次，符合二項(xiàng)分布，而 P(A)=p，則P()=1

4、-p，故 P(X=k)=(1 -p)kpn-k，故選 D.【答案】 D2已知隨機(jī)變量XB(5,),則P(X紹)=.【解析】P(X >4)=P (X= 4) +P (X= 5)= ()4(1-)+ ()5(1-)0=.【答案】3. 已知某種療法的治愈率是 90%，在對(duì) 10位病人采用這種療法后，正好有90%被治愈的概率是多少？ (精確到 0.01)【解析】10位病人中被治愈的人數(shù) X服從二項(xiàng)分布，即XB(10 , 0.9)，故有9人被治愈的概率為 P(X= 9)=x 0.99 X0.110.39.4. 二項(xiàng)分布公式的應(yīng)用種植某種樹苗，成活率為 90%，現(xiàn)在種植這種樹苗 5棵，試求 :(1)

5、 恰好成活 4棵的概率；(2) 至少成活 4棵的概率；(3) 至多成活 4棵的概率 .(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字 )【方法指導(dǎo)】由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的概率求解.【解析】 (1) 恰好成活 4棵的概率為4 5-4P(X=4) = X0.9 X1-0.9) 弋.33;(2) 至少成活 4棵的概率為45-455-5P(X4)=X0.9 X(1-0.9) +X0.9 X(1-0.9) 胡.92;(3) 至多成活 4棵的概率為5 5-5P(X<4)=1-P(X= 5)=1 - X).9 X1-0.9) P.41.【小結(jié)】 由于各次種植的概率相同， 各次種植之間相互獨(dú)立，

6、 雖然各次種植的時(shí)間不同， 但可以看作是在相同的條件下進(jìn)行的五次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在解決實(shí)際問題時(shí)要把握好獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的基本特征 每次發(fā)生的概率相同、各次之間相互獨(dú)立 .5. 二項(xiàng)分布的概率分布列9粒種子分別種在 3個(gè)坑中，每坑 3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為 0 . 5 .若一個(gè)坑內(nèi)至少有 1粒 種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，每補(bǔ)種 1個(gè)坑需10元，用X表示補(bǔ)種的費(fèi)用，寫出 X的分布列.【方法指導(dǎo)】只需計(jì)算每個(gè)坑補(bǔ)種的概率即可 .【解析】因?yàn)橐粋€(gè)坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1-0.5)3=，所以一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為1-=

7、.3個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為03X() X() P670,恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為1 2X() X()弋.287,恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為2 1X() X() P.041 ,3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為X()3X()0«0.002.補(bǔ)種費(fèi)用X的分布列為：X0102030P0.6700.2870.0410.002【小結(jié)】如果是在相同的條件下進(jìn)行的某種活動(dòng)，如射擊、投籃等，其每次活動(dòng)成 功的概率相同，則其成功次數(shù)就服從二項(xiàng)分布有放回與不放回抽取問題在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件不放回，求抽到次品數(shù) X的分布列 【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意判斷試驗(yàn)類型，進(jìn)一步計(jì)算【解析】抽取一次

8、，抽到次品的概率為=0.2，連抽3次抽到次品數(shù)X, XB(3 , 0.2),P(X=k)=X0.2kX0.83"k, k=0, 1, 2, 3.所以X的分布列為：X0123PX0.832 1X0. 8 XJ.21 2X0.8 X0.2X0.23問題這樣做對(duì)嗎？結(jié)論不對(duì).此題的題目中是不放回地抽取，每次抽取的條件不同，不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),不屬于二項(xiàng)分布正解如下：由于是不放回試驗(yàn)，故X服從超幾何分布P(X=O)= , P(X=1)= , P(X=2)=.所以X的分布列為：、XZ0121)【小結(jié)】在這類問題中如果是有放回地抽取，則每次取出次品的概率相等，取出的次品數(shù)就服從二項(xiàng)分布；但如果是不

9、放回地抽取，則抽出的次品的概率就會(huì)發(fā)生變化，這時(shí)取出的次品數(shù)服從超幾何分布例題應(yīng)用例一某車間有5臺(tái)車床，每臺(tái)車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車床在任一時(shí) 刻處于停車狀態(tài)的概率為，求：(1) 在任一時(shí)刻車間有3臺(tái)車床處于停車的概率；(2) 至少有一臺(tái)處于停車的概率.【解析】設(shè)有X臺(tái)車床處于停止?fàn)顟B(tài)，則XB(5 ,).(1) 在任一時(shí)刻車間有3臺(tái)車床處于停車的概率為P (X= 3)=X()3X(1-)5" 3=.(2) 至少有一臺(tái)處于停車的概率為P(X羽)=1-P(X=0)=1-馮(1-)5-0=.例二加工某種零件要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的合格率分別為，且各道工序互不影響

10、(1) 求這種零件合格的概率；(2) 從該種零件中取4次，求合格品的概率分布列【解析】(1)設(shè)事件A表示零件合格的概率，由每道工序是相互獨(dú)立的，則有 P(A)=XX =.(2)設(shè)X表示合格品的個(gè)數(shù)，則04-0P(X=0)=X() X(1-)=,1 4-1P(X=1)=X() X(1-)=,2 4-2P(X=2) = X() X(1-)=,3 4-3P(X=3) = x() x(1-)=,4 4-4P(X=4) = X() X(1-)=.故合格品的概率分布列為：X 01234P例三 若把探究三的條件改為每次抽1件，然后放回”求抽到次品數(shù)X的分布列，那么答案是什么？【解析】抽取一次抽到次品的概率為

11、=0.2,抽到次品數(shù)X，XB(3，0.2)，P(X=k)=X0.2kX0嚴(yán),k=0, 1, 2, 3.所以X的分布列為：X0123P».832 1».8 X0.21 2».8 ».2X0.23課堂練習(xí)1. 某學(xué)生解選擇題出錯(cuò)的概率為0.1，該生解三道選擇題至少有一道出錯(cuò)的概率是().A. 0.12 >0.93 22B. 0.1 +0.1 X0.9+0.1X0.9C. 0.13D. 1-0.93【解析】設(shè)該生錯(cuò)了 X道選擇題，則有P(X)=1-P(X=0)=1-».10 >1-0.1)3-0 = 1-0.93.【答案】D2. 某人射擊

12、1次，擊中目標(biāo)的概率是 0.8，他射擊4次，至多擊中3次的概率是. 【解析】設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為 X,則 P(X<3)=1-P(X=4)= 1- X).84X(1-0.8)4-4=0.5904.【答案】0.59043. 在一次測(cè)試中，甲、乙兩人獨(dú)立解出一道數(shù)學(xué)題的概率相同，已知該題被甲或乙解出的概率是0.36，寫出解出該題人數(shù) X的分布列.【解析】設(shè)甲、乙獨(dú)立解出該題的概率為x,由題意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.所以解出該題人數(shù)X的分布列為：X012P0.640.320.044. (2010年 湖北卷)一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個(gè)病人中至

13、少3人被治愈的概率為(用數(shù)字作答).【解析】本題主要考查二項(xiàng)分布 .340.9 0.1 + 0.9 =0.9477.【答案】 0.9477課后練習(xí)1. 流星穿過大氣層落在地面上的概率為0 . 002，流星數(shù)為 10的流星群穿過大氣層有 4個(gè)落在地面上的概率為 ( ).A.3.32X10-5B.3.32X10-9-5-9C.6.64X10D.6.64X10【解析】相當(dāng)于1個(gè)流星獨(dú)立重復(fù)10次，其中落在地面上的有 4次的概率P=X 0.0024x(1 -6 -90.002) P.32X10-，應(yīng)選 B.【答案】B2. 甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為3 : 2,比賽時(shí)均能正常發(fā)揮

14、技術(shù)水平，則在 5局3勝制中，甲打完 4局才勝的概率為 ().32A.() B.()()33C.() ()D.()()【解析】由題意可知，甲最后一場(chǎng)一定取勝，前3場(chǎng)有2勝1負(fù)，服從二項(xiàng)分布，P=()3 :【答案】A3. 如果XB(20, p),當(dāng)p=且P(X=k)取得最大值時(shí)，k=.【解析】當(dāng)p=時(shí)，P(X=k)= ()k ()20-k= ()20，-顯然當(dāng)k=10時(shí)，P(X=k)取得最大值. 【答案】 104. 假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p，且各引擎是否出現(xiàn)故障是獨(dú)立的 .已知 4引擎飛機(jī)中至少有 3個(gè)引擎正常運(yùn)行,飛機(jī)就能正常飛行；2引擎飛機(jī)中要 2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行

15、，飛機(jī)才能正常飛行要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是多少？【解析】由題意, 4引擎飛機(jī)正常飛行的概率為 p3(1-p)+p4, 2引擎飛機(jī)正常飛行的概率 為p2,所以p3(1-p)+p4>p2，解得<p< 1,即p的取值范圍是(,1).5. 某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次首次測(cè)到正品，則P(E=)等于().22A.() X B.() X2 2C.()2XD.() 2X【解析】P(E=)表示第3次首次測(cè)到正品的概率，故第 1、2次都是次品，即P(E=) = ()2x. 【答案】C6. 某射手射擊 1次,擊中目標(biāo)的概率是 0.9 ,他連

16、續(xù)射擊 4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響 .則他恰好擊中目標(biāo) 3次的概率為 ().33A.0.9 X0.1B.0.933C. X0.9 X0.1D.1-0.1【解析】由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可知選C.【答案】C7. 一射手命中 1 0環(huán)的概率為 0.7，命中 9環(huán)的概率為 0 .3，則該射手打 3發(fā)得到不少于 29環(huán)的概率為(設(shè)每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù))【解析】由題意知打 3發(fā)得到不少于 29環(huán)，則含有的情況為 2發(fā)10環(huán)1發(fā)9環(huán)或3發(fā)都為10 環(huán)，故所求概率為 X0.72 X0.3+X0.73= 0.784.【答案】 0.7848. 某人從第一層坐電梯到第十層，則從第二層到第九層電梯停

17、的次數(shù)不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ (假設(shè)每層停的概率為 )【解析】依題意，從第2層到第9層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，直 到停8次.所求概率 p= ()3()5+ ()4()4+ ()5()3+ + ()8= (+ + )()8=28-(+ )() 8= (28-37)()8=.設(shè)從第2層到第9層停k次，則其概率為()k()8-k=()8,.當(dāng)k= 4時(shí)，最大，即()8最大，從第2層到第9層停不少于3次的概率為，停4次概率最大.9. 下列例子中隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的有 隨機(jī)變量X表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)； 某射手擊中目標(biāo)的概率為 0.9

18、，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)X； 有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù) (M<N )； 有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù) .【解析】對(duì)于，設(shè)事件A為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是 3的倍數(shù)” P(A)=，而在n次 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生了 k次(k=0, 1, 2,，n)的概率P(X=k)=x()kX()n-k,符合二 項(xiàng)分布的定義，即有 XB(n,);對(duì)于，X的取值是1, 2, 3,，P(X=k)=0.9X0.1k-1(k=i, 2, 3,，n)，顯然不符合二項(xiàng)分布的定義，因此 X不服從二項(xiàng)分布； 和的區(qū)別在于： 是 有放回”抽取，而是 無放回”抽取，顯然中n次試驗(yàn)是不獨(dú)立的，因此 X不服從二項(xiàng) 分布，對(duì)于 有XB(n,).故應(yīng)填.【答案】 10. 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊 4次,至少有 1次未擊中目標(biāo)的概率；(2) 求兩人各射擊 4次，甲恰好擊中目標(biāo) 2次且