數(shù)學分析教案 (華東師大版)第十五章 Fourier級數(shù)

1、第十五章 Fourier級數(shù) 教學目的：1.明確認識三角級數(shù)的產(chǎn)生及有關概念；2.理解以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)的有關概念、定義和收斂定理；3.明確2L為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)是 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)的推廣，并理解奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)和Fourier級數(shù)的收斂定理。 教學重點難點：本章的重點是將一個函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；難點是Fourier級數(shù)的收斂性的判別。 教學時數(shù)：10學時 § 1 Fourier級數(shù) 一       三角級數(shù)與正交函數(shù)系. 1  &#

2、160;   背景： 波的分析：頻譜分析 . 基頻 ( ) . 倍頻. 函數(shù)展開條件的減弱 : 積分展開 . 中用Descates坐標系建立坐標表示向量思想的推廣: 調(diào)和分析簡介: 十九世紀八十年代法國工程師Fourier建立了Fourier分析理論的基礎. 2.          三角級數(shù)的一般形式: 一般的三角級數(shù)為 . 由于 , 設 , 得三角級數(shù)的一般形式 3. 三角級數(shù)的收斂性: Th1 若級數(shù) 收斂 , 則級數(shù) 在R 內(nèi)絕對且一致收斂 .證 用M 判別法.  4.

3、三角函數(shù)正交系統(tǒng): （ 1. ） 內(nèi)積和正交: 由R 中的內(nèi)積與正交概念引入. 設函數(shù) 和 在區(qū)間 上 ( R)可積 . 定義內(nèi)積為 .當 時 , 稱函數(shù) 和 在區(qū)間 上正交 .函數(shù)的正交性與區(qū)間有關 . 例如函數(shù) 和 在區(qū)間 上并不正交( 因為 ) , 但在區(qū)間 卻是正交的 .  （2）.正交函數(shù)系統(tǒng) : 標準正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 .  三角函數(shù)系統(tǒng) 是區(qū)間 上的正交系統(tǒng) . 驗證如下:, ;  , 對 且 ,有和 . 該系統(tǒng)不是標準正交系 , 因為  , .  因此 , 三角函數(shù)系統(tǒng) 是標準正交系. （與R 中的坐標系 比較

4、）二.       以 為周期函數(shù)的Fourier級數(shù)： 1   三角級數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關系： Th2 若在整個數(shù)軸上 且等式右端的級數(shù)一致收斂，則有如下關系式 ， ， 證 P64  2   Fourier系數(shù)和Fourier級數(shù)： EulerFourier公式： 設函數(shù) 在區(qū)間 上（R）可積，稱公式 ， ， 為EulerFourier公式. 稱由EulerFourier公式得到的 和 為函數(shù) 的Fourier系數(shù). 并稱以Fourier系數(shù) 和 為系數(shù)的三角級數(shù) 為函數(shù) 的Fou

5、rier級數(shù) , 記為 例1  , . 求函數(shù) 的Fourier級數(shù).解 是 上的奇函數(shù), ; .因此, . 例2  設函數(shù) 滿足條件 ( 稱滿足該條件的函數(shù)為反周期函數(shù) ). 問這種函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)的Fourier系數(shù)具有什么特性.解 .而 .因此, .時, , ;同理得 . 三.       收斂定理: 1. 按段光滑函數(shù): .定義 若 的導函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) , 則稱函數(shù) 在區(qū)間 上光滑.若函數(shù) 在區(qū)間 上至多有有限個第一類間斷點, 且 僅在區(qū)間 上有限個點處不連續(xù)且為第一類間斷點, 則稱 是區(qū)間 上的按段光

6、滑函數(shù).按段光滑函數(shù)的性質(zhì): 設函數(shù) 在區(qū)間 上按段光滑, 則 在區(qū)間 上可積; 對 , 都存在 , 且有 , ( 用Lagrange中值定理證明 ) 在區(qū)間 上可積 . 2.      收斂定理: Th3 設函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)且在區(qū)間 上按段光滑 , 則在, 的Fourier級數(shù) 收斂于 在點的左、右極限的算術平均值 , 即 , 其中 和 為函數(shù) 的Fourier系數(shù). ( 證明放到以后進行 )系 若 是以 為周期的連續(xù)函數(shù) , 在 上按段光滑,且 則 的Fourier級數(shù)在 內(nèi)收斂于 .3.   &#

7、160;  函數(shù)的周期延拓: 四.       展開舉例: 例3 把函數(shù) 展開為Fourier級數(shù).解 參閱例1 , 有 例4 展開函數(shù) .解 ; . 函數(shù) 在 上連續(xù)且按段光滑, 又 , 因此有 . ( 倘令 , 就有 , ) 例5 設 求函數(shù) 的Fourier級數(shù)展開式. P67 .例1 例6 把函數(shù) 展開成Fourier級數(shù). P68例2 例7 在區(qū)間 內(nèi)把函數(shù) 展開成Fourier級數(shù).練習1（2）（i）解法一 ( 直接展開 ) ; ; . 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)且按段光滑, 因此有 , .由于 , 該展開式在 上成立

8、.( 在該展開式中, 取 得 , ;取 , . ) 解法二 ( 間接展開: 對例3中 的展開式作積分運算 ) 由例3 , 在區(qū)間內(nèi)有 . 對該式兩端積分, 由Fourier級數(shù)可逐項積分,有 .為求得 , 上式兩端在 上積分, 有 , 因此 , , .§ 2 以 為周期的函數(shù)的展開式一.        以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù): 設函數(shù) 以 為周期 , 在區(qū)間 上 (R )可積 . 作代換 , 則函數(shù)以 為周期. 由 是線性函數(shù), 在區(qū)間 上(R )可積 .函數(shù) 的Fourier系數(shù)為 . . , ,

9、還原為自變量 , 注意到 , 就有 其中 , , 當函數(shù) 在區(qū)間 上按段光滑時, 可展開為Fourier級數(shù).註 三角函數(shù)系 是區(qū)間 上的正交函數(shù)系統(tǒng) .例1  把函數(shù) 展開成Fourier級數(shù). P72例1 二. 正弦級數(shù)和余弦級數(shù): 1.             區(qū)間 上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級數(shù):2.             奇展開和

10、偶展開:例2  設 , . 求 的Fourier級數(shù)展開式. P74 例2例3  把定義在 上的函數(shù) ( 其中之一 展開成正弦級數(shù). 例4  把函數(shù) 在 內(nèi)展開成: > 正弦級數(shù); > 余弦級數(shù).P76 例 4  § 3 收斂定理的證明 Dini定理 設以 為周期的函數(shù) 在區(qū)間 上按段光滑, 則在每一點, 的Fourier級數(shù)收斂于 在點 的左、右極限的算術平均值, 即 ,其中 和 為 的Fourier系數(shù).證明思路: 設 對每個 , 我們要證明 . 即證明 .方法是把該極限表達式化為積分, 利用RiemannLebesgue定理證

11、明相應積分的極限為零. 施證方案: 1.       寫出 的簡縮形式. 稱這一簡縮形式為的積分形式, 或稱為Dirichlet積分, 即 . 利用該表示式, 式 可化為 + , 于是把問題歸結為證明 , 和 . 這兩式的證明是相同的, 只證第一式.   2.       為證上述第一式, 先利用三角公式 建立所謂Dirichlet積分 , 利用該式把 表示為積分,即把 表示為Dirichlet積分 . 于是又把上述1中所指的第一式左端化為 . 3. &#

12、160;     利用所謂Riemann Lebesgue定理證明上述極限為零. 為此 , 先證明Bessel不等式(P78預備定理1 ), 再建立Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化為 . 4.       把上式化為應用Riemann Lebesgue定理的形式, 即令 , 則 . 為使最后這一極限等于零, 由Riemann Lebesgue定理, 只要函數(shù) 在區(qū)間上可積. 因此希望 存在. 由函數(shù) 在區(qū)間 上按段光滑, 可以驗證 存在.   預備定理及其

13、推論: 為實施以上證明方案, 我們先建立以下預備定理和其推論. 預備定理1 ( Bessel 不等式) 若函數(shù) 在區(qū)間 上可積, 則有Bessel 不等式 ,其中 和 為函數(shù) 的Fourier系數(shù).  證 P78 . 推論1 ( Riemann Lebesgue定理 ) 若函數(shù) 在區(qū)間 上可積, 則有 , .證 P79 . 推論2 若函數(shù) 在區(qū)間 上可積, 則有 , .證 P79.  預備定理2 若 是以 為周期的周期函數(shù), 且在區(qū)間 上可積, 則函數(shù)的Fourier級數(shù)部分和 有積分表示式 . 當 時, 被積函數(shù)中的不定式由極限 來確定. 證 P8081.Dirichle

14、t積分: . 證 由三角公式 , .  Dini定理的證明: P8182 .   附註 1.       Parseval等式 ( 或稱等式 ) 設可積函數(shù) 的Fourier級數(shù)在區(qū)間 上一致收斂于 , 則成立Parseval等式 .證法一 注意到此時函數(shù)在區(qū)間 可積 ,由Bessel 不等式, 有 .現(xiàn)證對 , 有 .事實上, 令 由 一致收斂于 ,對 對 , 有 , 因此 ,.即當 時有 .令 , . 由 的任意性, 有 .綜上即得所證 .  證法二 由 一致收斂于 , . 而 .因此, .由雙逼原理

15、, 即得所證等式 .  證法三 利用內(nèi)積的連續(xù)性( 可參閱一般泛函書 ) , 有  = .Parseval等式還可用公式 ( 其中 、與 、 分別是函數(shù)和的Fourier系數(shù)（ 參閱吉林大學鄒承祖等編數(shù)學分析習題課講義上冊P427）證明；也可用所謂卷積函數(shù)證明.Parseval等式的意義：設在幺正系 下函數(shù) 的Fourier系數(shù)為 和 ，可見 ， ； ， ； 同理有 ; 其中 和 為函數(shù) 的通常Fourier系數(shù).于是 , Parseval等式即成為 .注意到 , 就有 ,這是勾股定理的推廣, 即在坐標系 中的勾股定理. 因此, 可稱Parseval等式是無窮維空間中的勾股

16、定理 . ( 與三維空間中的勾股定理做比較 ) .  2.       Fourier級數(shù)與三角級數(shù): Fourier級數(shù)與三角級數(shù)的區(qū)別：Fourier級數(shù)是三角級數(shù)，但收斂的三角級數(shù)卻未必是某個可積函數(shù)的Fourier級數(shù).  一個三角級數(shù)是Fourier級數(shù)( 即是某個可積函數(shù)的Fourier級數(shù) ) 的必要條件為:若三角級數(shù) 為Fourier級數(shù), 則數(shù)項級數(shù) 收斂.( 參閱復旦大學編數(shù)學分析下冊P116117 ). 比如正弦級數(shù) 是收斂的三角級數(shù)(利用Dirichlet判別法), 由級數(shù) 發(fā)散, 正弦級數(shù) 不是Fourier級數(shù). 例 證明: 當 時, 三角級數(shù) 在R內(nèi)收斂, 但其和函數(shù) 在區(qū)間 上不是( R )可積的 .證 由Dirichlet判別法, 可得該級數(shù)在 內(nèi)收斂. 反設和函數(shù) 在區(qū)間在 上( R )可積, 則該三角級數(shù)是函數(shù) 的Fourier級數(shù) . 由于 也在上( R )可積 , 則有Bessel 不等式 .即有上式左端的正項