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1、中考圓與四邊形難題解析考點(diǎn)分析特殊四邊形主要包括梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等,中考中有關(guān)考題大多以容易題或中檔題為主,因此更多體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查。近年的中考題中也出現(xiàn)了一些探究題、折痕問題、圖形變換問題等新題型。圓是初中幾何的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容,它具有很多主要性質(zhì),知識(shí)的前后聯(lián)系密切,能考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,是歷年中考的重點(diǎn)。主要包括以下幾種類型:圓的有關(guān)性質(zhì)的考查,以基礎(chǔ)題為主;圓與三角形的有關(guān)知識(shí)(全等、相似等)相聯(lián)系的題型,此類試題要求通過圓的有關(guān)性質(zhì)得出兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊相等或成比例,進(jìn)而證明三角形全等或相似;考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系的掌握情況,這類問題考查的
2、重點(diǎn)是相切關(guān)系的性質(zhì)和判定,試題常由課本習(xí)題改編而成,解答時(shí)需要合理聯(lián)想課本習(xí)題原型;圓與函數(shù)和方程相聯(lián)系,這類題需綜合函數(shù)、方程、幾何的相關(guān)知識(shí),融計(jì)算、證明于一體,具有較強(qiáng)的綜合性;圓與特殊四邊形相聯(lián)系這類題主要是計(jì)算弧長(zhǎng)、扇形面積、陰影部分面積等。典型例題圖2.2-1例1 (2007蕪湖)已知多邊形ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成,一圓過A、D、E三點(diǎn),求該圓半徑的長(zhǎng)【解題分析】本題有機(jī)的將等邊三角形、正方形、圓融合在一道題中.解法一如圖2.1-1,將正方形BDEC上的等邊ABC向下平移得等邊ODE,其底邊與DE重合得出OD =OA=OE即可。圖2.2-2解法
3、二如圖2,作AFBC,垂足為F,并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn)設(shè)O的半徑為r,可得方程解得2該圓的半徑長(zhǎng)為2.【每題一得】 利用等邊三角形、正方形、圓的軸對(duì)稱性是解決問題的關(guān)鍵。圖2.2-3【同類變式】(2007蕪湖)如圖2.2-3,PQ=3,以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P,正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上,小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q求正方形的邊長(zhǎng)AB 例2 (韶關(guān)市2007)如圖2.2-4,四邊形ABCD中,AD不平行BC,現(xiàn)給出三個(gè)條件:CAB=DBA,AC=BD,AD=BC.請(qǐng)你從上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件,使得加上這兩個(gè)條件后能夠推出ABCD是等腰梯形,并加以證明.(只需
4、證明一種情況)【解題分析】 第一種選擇:CAB=DBA,AC=BD. 可以得出ABCD是等腰梯形;第二種選擇:AC=BD,AD=BC.也可以得出ABCD是等腰梯形,如圖2.2-4;第三種選擇CAB=DBA,AD=BC不能推出ABCD是等腰梯形,反例見圖2.2-5:圖2.2-5DCBAB圖2.2-4DCBA圖2.2-4【同類變式】(2007廈門)已知四邊形ABCD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O.現(xiàn)給出四個(gè)條件:ACBD;AC平分對(duì)角線BD;ADBC;OAD=ODA.請(qǐng)你以其中的三個(gè)條件作為命題的題設(shè),以“四邊形ABCD為菱形”作為命題的結(jié)論.DCABGHFE圖2.2-6寫出一個(gè)真命題,并證明;寫出一
5、個(gè)假命題,并舉出一個(gè)反例說明.例3 (2007臺(tái)州)把正方形繞著點(diǎn),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形,邊與交于點(diǎn)(如圖2.2-6)試問線段與線段相等嗎?請(qǐng)先觀察猜想,然后再證明你的猜想DCABGHFE圖2.2-7【解題分析】解法1:如圖2.2-6,連結(jié),證;解法2:如圖2.2-7,連結(jié),證【每題一得】圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)、平移等相關(guān)的考題越來越多地出現(xiàn)在各地的考題中,關(guān)注圖形的變換規(guī)律的探究是值得關(guān)注的考試動(dòng)向?!就愖兪健浚?007揚(yáng)州)如圖2.2-8,正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形,邊與交于點(diǎn)GDOCFEBA圖2.2-8(1)以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段(正方形的對(duì)角線除外),要求所連結(jié)
6、的兩條線段相交且互相垂直,并說明這兩條線段互相垂直的理由;(2)若正方形的邊長(zhǎng)為,重疊部分(四邊形)的面積為,求旋轉(zhuǎn)的角度例4 (2007天津)如圖2.2-8,AD是圓O的直徑,BC切圓O于點(diǎn)D,AB、AC與圓O相交于點(diǎn)E、F。求證:;如果將圖中的直線BC向上平移與圓O相交得圖,或向下平移得圖,此時(shí),是否仍成立?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,說明理由。圖2.2-8 圖2.2-9 圖2.2-10【解題分析】解:(1)如圖2.2-8,連接DE,連接DF證,分別得到,。(2)兩種情況下仍然通過證明相似可知結(jié)論依然成立.【每題一得】與圓有關(guān)的運(yùn)動(dòng)變化探究性題型體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性,同時(shí)也滲透著數(shù)形結(jié)合、分類
7、、運(yùn)動(dòng)變化等諸多的數(shù)學(xué)思想方法,并且在實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用,所以綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答以圓為背景的試題也是近年來各地中考的熱點(diǎn)題型?!就愖兪健?2007濰坊) 如圖2.2-11,線段過圓心,交圓于兩點(diǎn),切圓于點(diǎn),作,垂足為,連結(jié)(1)寫出圖1中所有相等的角(直角除外),并給出證明;(2)若圖1中的切線變?yōu)閳D2.2-12中割線的情形,與圓交于兩點(diǎn),與交于點(diǎn),寫出圖2中相等的角(寫出三組即可,直角除外);(3)在圖2.2-12中,證明: ADAB=ACAE圖2.2-12圖2.2-11AECBDGHF圖2.2-13當(dāng)堂反饋圖2.2-141(2007臨沂)如圖,在四邊形ABCD中,E、F、G、H
8、分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn),要使四邊形EFGH是菱形,四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是 。2(2007重慶)已知,如圖2.2-14:AB為O的直徑,ABAC,BC交O于點(diǎn)D,AC交O于點(diǎn)E,BAC450。給出以下五個(gè)結(jié)論:EBC22.50,;BDDC;AE2EC;劣弧是劣弧的2倍;AEBC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 。3(2007資陽)如圖2.2-15,已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),PEBC于點(diǎn)E,PFCD于點(diǎn)F.(1) 求證:BP=DP;(2) 如圖2.2-16,若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是,請(qǐng)給予證明;若不
9、是,請(qǐng)用反例加以說明;圖2.2-16圖2.2-15(3) 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn),分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié),使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長(zhǎng)度始終相等,并證明你的結(jié)論 .圖2.2-174(2007福州)如圖8,已知:內(nèi)接于,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,(1)求證:是的切線;(2)若,求的長(zhǎng)配套練習(xí)一、選擇題1(2007東營(yíng))如圖2,四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處,折痕為AF若CD6,則AF等于 ()A B CD 2(2007金華)國(guó)家級(jí)歷史文化名城金華,風(fēng)光秀麗,花木蔥蘢某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇(如圖)
10、,分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花如果有,那么下列說法中錯(cuò)誤的是( )A紅花、綠花種植面積一定相等; B紫花、橙花種植面積一定相等C紅花、藍(lán)花種植面積一定相等; D藍(lán)花、黃花種植面積一定相等3(2007內(nèi)江)如圖2.2-20,這是中央電視臺(tái)“曲苑雜談”中的一副圖案,它是一扇形圖形,其中為,長(zhǎng)為8cm,長(zhǎng)為12cm,則陰影部分的面積為( )A;B;C;D圖2.2-19ACOB圖2.2-20圖2.2-18二、填空題4(2007成都)如圖2.2-21,把一張矩形紙片沿折疊后,點(diǎn)分別落在的位置上,交于點(diǎn)已知,那么 5(2007成都)如圖2.2-22,已知是O的直徑,弦,那么的值是 圖2.2-
11、216(2007濟(jì)寧)如圖2.2-23,從P點(diǎn)引O的兩切線PA、PA、PB,A、B為切點(diǎn),已知O的半徑為2,P60,則圖中陰影部分的面積為 。圖2.2-23圖2.2-227(2007棗莊)如圖2.2-24,AB是O的直徑,BC是弦,ODBC于E,交弧BC于D圖2.2-24 (1) 請(qǐng)寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論; (2) 若BC=8,ED2,求O的半徑8(2007河池)如圖2.2-25,半圓O為ABC的外接半圓,AC為直徑,D為弧BC上的一動(dòng)點(diǎn) 問添加一個(gè)什么條件后,能使得?請(qǐng)說明理由; 若ABOD,點(diǎn)D所在的位置應(yīng)滿足什么條件?請(qǐng)說明理由;圖2.2-26BAOCE圖2.2-25D 如圖2.2-
12、26,在和的條件下,四邊形AODB是什么特殊的四邊形?證明你的結(jié)論9(2007常州)如圖2.2-27,菱形、矩形與正方形的形狀有差異,我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”在研究“接近度”時(shí),應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等圖2.2-27 設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m 2和n2,將菱形的“接近度”定義為|mn|,于是,|mn|越小,菱形越接近于正方形若菱形的一個(gè)內(nèi)角為70,則該菱形的“接近度”等于 ;當(dāng)菱形的“接近度”等于 時(shí),菱形是正方形 設(shè)矩形相鄰兩條邊長(zhǎng)分別是 a和b (),將矩形的“接近度”定義為|ab|,于是|ab|越小,矩形越接近于正方形你認(rèn)為這種說法是否合理?若不合理
13、,給出矩形的“接近度”一個(gè)合理定義10(2007南充)如圖2.2-28是某城市一個(gè)主題雕塑的平面示意圖,它由置放于地面l上兩個(gè)半徑均為2米的半圓與半徑為4米的A構(gòu)成點(diǎn)B、C分別是兩個(gè)半圓的圓心,A分別與兩個(gè)半圓相切于點(diǎn)E、F,BC長(zhǎng)為8米求EF的長(zhǎng)AEFlBC圖2.2-28答案:【典型例題】例1解:方法一如圖1,將正方形BDEC上的等邊ABC向下平移得等邊ODE,其底邊與DE重合圖1A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是O、D、EOD=AB,OE=AC,AO=BD等邊ABC和正方形BDEC的邊長(zhǎng)都是2,AB=BD=AC=2OD =OA=OE=2A、D、E三點(diǎn)不在同一直線上,A、D、E三點(diǎn)確定一圓,圖2O到A、D
14、、E三點(diǎn)的距離相等,O點(diǎn)為圓心,OA為半徑該圓的半徑長(zhǎng)為2方法二如圖2,作AFBC,垂足為F,并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn)ABC為等邊三角形,AF垂直平分BC,四邊形BDEC為正方形,AH垂直平分正方形的邊DE又DE是圓的弦,AH必過圓心,記圓心為O點(diǎn),并設(shè)O的半徑為r在RtABF中, BAF=,OH=在RtODH中, 解得2該圓的半徑長(zhǎng)為2【同類變式】6例2第一種選擇:CAB=DBA,AC=BD. 證明:CAB=DBA,AC=BD,AB=BAACBBDAAD=BC,ABC=BAD 作DEBC交AB于E,如圖(3),則DEA=CBA DAE=DEA,AD=ED ABCDDCBA圖4E又AD不平行BC,A
15、BCD是等腰梯形 DCBA圖3BBACD 第二種選擇:AC=BD,AD=BC. 證明:延長(zhǎng)AD、BC相交于E,如圖(2) AC=BD,AD=BC,AB=BA, DABCBADAB=CBAEA=EB圖5又AD=BC,DE=CE,EDC=ECD而,E+EAB+EBA=E+EDC+ECDEDC=EAB DCAB 又AD不平行BC,ABCD是等腰梯形說明:由、不能推出ABCD是等腰梯形,反例見圖5:例3 證法1:如圖6,連結(jié),四邊形,都是正方形由題意知,又DCABGHFE圖7,證法2:如圖7,連結(jié)四邊形都是正方形,由題意知【同類變式】解:(1)如圖8,我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是AO和DE理由如
16、下:證明:在與中,GDOCFEBA圖8,(即平分)(等腰三角形的三線合一)注:其它的結(jié)論也成立如(2)旋轉(zhuǎn)的角度為四邊形的面積為,三角形的面積,圖9例4 解:(1)如圖9,連接DE AD是圓O的直徑 AED=90又 BC切圓O于點(diǎn)D ADBC,ADB=90在和中,EAD=DAB ,即同理連接DF,可證, (2)仍然成立如圖10,連接DE,因?yàn)锽C在上下平移時(shí)始終與AD垂直,設(shè)垂足為圖10則 AD是圓O的直徑 AED=90又 同理 同理可證,當(dāng)直線BC向下平移與圓O相離如圖時(shí),仍然成立?!就愖兪健浚?)圖11中相等的角有:證明:連結(jié),則,又,又為直徑,(2)(三組即可)(3)圖12中易證,圖1
17、2圖11當(dāng)堂反饋1答案:ADBC,或ABCD為等腰梯形(答案不唯一)2;3 解法一:在ABP與ADP中,利用全等可得BP=DP. 解法二:利用正方形的軸對(duì)稱性,可得BP=DP. 不是總成立 .當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí),DP DCBP,此時(shí)BP=DP不成立. 圖13 連接BE、DF,則BE與DF始終相等. 可證四邊形PECF為正方形, 在BEC與DFC中,可證BECDFC . 從而有 BE=DF4(1)證明:如圖13,連結(jié), 是O的切線(2)解:,是等邊三角形,配套練習(xí)一、選擇題1A; 2C; 3B;二、填空題464;5;647解:(1)不同類型的正確結(jié)論有: BC=CE ; BED=90BOD=A;ACOD,ACBC; OE2+BE2=OB2;SABCBCOE;BOD是等腰三角形,BOEBAC;等 (2)ODBC, BECE=BC=4 設(shè)O的半徑為R,則OE=OD-DE=R-2 在RtOEB中,由勾股定理得 OE2BE2=OB2,即(R-2)242=R2 解得R5O的半徑為58(1)添加 AB=BD AB=BD = BDE =BCD又DBE =DBC BDEBCD(2)若ABDO,點(diǎn)D所在的位置是的中點(diǎn)ABDO ADO =
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