雙曲線專題練習(一)

1、雙曲線專題練習知識點歸納:1、雙曲線定義:平面內(nèi)與兩個定點1F ,2F 的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于12F F 的點的軌跡稱為雙曲線.即:_。 這兩個定點稱為雙曲線的焦點,兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距.2 3、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.4、與雙曲線12222=-b y a x 共漸近線的雙曲線系方程設為_2222=-by a x 0( 5、與雙曲線12222=-b y a x 共焦點的雙曲線系方程設為122=-+k b y k a x達標練習一、填空題19222=+ky x 與雙曲線1322=-y k x 的焦點相同,則k= 。922=-x y 的漸近線為 。3.已知12F F

2、 、為橢圓的兩個焦點,A 為它的短軸的一個端點,若該橢圓的長軸長為4,則12AF F 面積的最大值為 .4.過點(-6,3且和雙曲線x 2-2y 2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為 。5.過原點與雙曲線 13422-=-y x 交于兩點的直線斜率的取值范圍是6、若雙曲線8822=-ky kx 的一個焦點是(0,3,則k 的值是 。7. 已知直線y=kx-2與雙曲線122=-y x 交同支于兩點,則k 取值范圍 。8.點P 是雙曲線13422=-y x 上一點,F 1、F 2是雙曲線焦點,若F 1PF 2=120o , 則F 1PF 2的面積 。9.過點M(-2,0的直線L 與橢圓x 2+2y

3、2=2交于P 1、P 2兩點,線段P 1P 2的中點為P,設直線l 的斜率為k 1(k 10,直線OP的斜率為k 2,則k 1k 2的值為_.10.若對任意k R ,直線b x k y +-=2(與雙曲線122=-y x 總有公共點,則b 范圍 。11.若方程x+k-21x -=0只有一個解,則實數(shù)k 的取值范圍是_。12.給出問題:F 1、F 2是雙曲線201622y x -=1的焦點,點P 在雙曲線上.若點P 到焦點F 1的 距離等于9,求點P 到焦點F 2的距離.某學生的解答如下:雙曲線的實軸長為8,由 |PF 1|-|PF 2|=8,即|9-|PF 2|=8,得|PF 2|=1或17.

4、該學生的解答是否正確?若正確,請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi),若不正確, 將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi). 。二、選擇題13.平面內(nèi)有定點A 、B 及動點P ,設命題甲是“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是 “點P 的軌跡是以A 、B 為焦點的橢圓”,那么甲是乙的 ( A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C .充要條件 D .既不充分也不必要條件14. 經(jīng)過雙曲線1222=-y x 的右焦點2F 作直線l 交雙曲線與A 、B 兩點,若|AB|=4, 則這樣的直線存在的條數(shù)為 ( (A 4; (B 3; (C 2; (D 115.過點P(3,4與雙曲線1169:22=-y x c 只有一個

5、交點的直線的條數(shù)為 ( A .4 B. 3 C.2 D. 116 設P 是雙曲線19222=-y ax 上一點,雙曲線的一條漸近線方程為023=-y x ,F 1、F 2分別是雙曲線的左、右焦點,若3|1=PF ,則=|2PF ( A 1或5B 6C 7D 917.若k R ,則“k 3”是“方程x 2k -3-y 2k +3=1表示雙曲線”的( A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件三、解答題18.已知動圓與圓C1:(x+52+y2=49和圓C2:(x-52+y2=1都外切,(1求動圓圓心P的軌跡方程。(2若動圓P與圓C2內(nèi)切,與圓C1外切,則動圓圓

6、心P的軌跡是。若動圓P與圓C1內(nèi)切,與圓C2外切,則動圓圓心P的軌跡是。若把圓C1的半徑改為1,那么動圓P的軌跡是。(只需寫出圖形形狀 19.已知直線1+=ax y 與雙曲線1322=-y x 交于A 、B 點。(1求a 的取值范圍;(2若以A B 為直徑的圓過坐標原點,求實數(shù)a 的值;(3是否存在這樣的實數(shù)a ,使A 、B 兩點關于直線x y 21=對稱?若存在, 請求出a 的值;若不存在,說明理由。x 20(1橢圓 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的點 A(1, 3 2 到兩焦點的距離之和為 4, 求橢圓的方程; (2設 K 是(1中橢圓上的動點, F1 是左焦點, 求

7、線段 F1K 的中點的軌跡方程; (3已知橢圓具有性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩點，P 是橢圓上任意一點, 當直線 PM、PN 的斜率都存在并記為 kPM、kPN 時，那么 k PM k PN 是與點 P 位置無關的 定值。試對雙曲線 x2 a2 - y2 b2 = 1 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 一、填空題 1 k= 2 5 。2 arccos 13 。 32 x 4 18 2 - y9 = 1 2 5 (-,- 3 ( 23 2 ,+ . 6、-1 1 - k 2 0 。7. D 0 x x 0 1 2 。8 3 。 9 - 1 . 10- 3 , 3 2 11

8、 -1，1） 2 12 |PF2|=17。 二、選擇題 13. ( B 14 （ B ）15 （ B ）16C 三、解答題 2 2 2 2 17已知動圓與圓 C1:(x+5 +y =49 和圓 C2：(x-5 +y =1 都外切， （1）求動圓圓心 P 的軌跡方程。 解： （1）從已知條件可以確定圓 C1、C2 的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距 動圓半徑 r,依題意有 7r|PC1|,1r|PC2|， 兩式相減得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由雙曲線定義得：點 P 的軌跡是以 C1、C2 為焦點的雙曲線的右支。 x2 y2 - = 1 （x3） 9 16 （2）若動圓

9、P 與圓 C2 內(nèi)切，與圓 C1 外切，則動圓圓心 P 的軌跡是 （雙曲線右支） 若動圓 P 與圓 C1 內(nèi)切，與圓 C2 外切，則動圓圓心 P 的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓 C1 的半徑改為 1， 那么動圓 P 的軌跡是 （兩定圓連心線的垂直平分線） 。 18已知 M 是橢圓 y2 x2 + = 1 上的動點，N 是圓 ( x - 1 2 + y 2 = 1 的動點， 9 4 求|MN|的最小值 。 4 55 -1 2 2 19已知直線 y = ax + 1 與雙曲線 3x - y = 1交于 A 、 B 點。 （1）求 a 的取值范圍； （2）若以 A B 為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)

10、 a 的值； （3）是否存在這樣的實數(shù) a ，使 A 、 B 兩點關于直線 y = 請求出 a 的值；若不存在，說明理由。 解： （1）由 1 x 對稱？若存在， 2 y = ax + 1 3 x - y = 1 2 2 消去 y ，得 (3 - a x - 2ax - 2 = 0 （1） 2 2 依題意 3 - a 2 0 即 - 6 a 0 2a x1 + x 2 = (3 3 - a2 （2）設 A( x1 , y1 ， B( x2 , y 2 ，則 x x = - 2 ( 4 1 2 3 - a2 以 AB 為直徑的圓過原點 OA OB x1 x2 + y1 y 2 = 0 但 y1

11、y2 = a 2 x1 x2 + a( x1 + x2 + 1 由（3） （4） ， x1 + x 2 = (a + 1 2 2a -2 ， x1 x 2 = 2 3-a 3 - a2 -2 3-a 2 +a 2a 3 - a2 +1= 0 解得 a = 1 且滿足（2） （3）假設存在實數(shù) a ，使 A、B 關于 y = a 1 1 x 對稱，則直線 y = ax + 1 與 y = x 垂直 2 2 1 = -1 ，即 a = -2 2 直線 l 的方程為 y = -2 x + 1 將 a = -2 代入（3）得 x1 + x2 = 4 AB 中點的橫坐標為 2 但 AB 中點 (2,-3

12、 不在直線 y = 2 縱坐標為 y = -2 2 + 1 = -3 1 1 x 上，即不存在實數(shù) a ，使 A、B 關于直線 y = x 對稱。 2 2 2 20. 已知雙曲線方程為 2x - y = 2 與點 P(1,2, （1）求過點 P（1，2）的直線 l 的斜率 k 的取值范圍，使直線與雙曲線 有一個交點，兩個交點，沒有交點。 (2 過點 P（1，2）的直線交雙曲線于 A、B 兩點，若 P 為弦 AB 的中點， 求直線 AB 的方程； （3）是否存在直線 l ，使 Q（1，1）為 l 被雙曲線所截弦的中點？若存在， 求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由。 解：(1當直線 l 的

13、斜率不存在時，l 的方程為 x=1,與曲線 C 有一個交點.當 l 的斜率 存在時，設直線 l 的方程為 y2=k(x1,代入 C 的方程，并整理得 2 2 2 2 * (2k x +2(k 2kxk +4k6=0 ( (當 2k =0,即 k= 2 時，方程( 有一個根，l 與 C 有一個交點 (當 2k 0,即 k 2 時 =2(k 2k 4(2k (k +4k6=16(32k 當 =0,即 32k=0,k= 當 0,即 k 2 2 2 2 2 2 * 3 * 時，方程( 有一個實根，l 與 C 有一個交點. 2 3 3 ,又 k 2 ,故當 k 2 或 2 k 2 或 2 k 時， 2

14、2 方程( 有兩不等實根，l 與 C 有兩個交點. * 3 * 時，方程( 無解，l 與 C 無交點. 2 3 綜上知：當 k= 2 ,或 k= ，或 k 不存在時，l 與 C 只有一個交點； 2 3 當 2 k ,或 2 k 2 ,或 k 2 時，l 與 C 有兩個交點； 2 3 當 k 時，l 與 C 沒有交點. 2 當 0，即 k （2）假設以 P 為中點的弦為 AB，且 A(x1,y1,B(x2,y2，則 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 兩式 相減得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2

15、 2 2 y1 - y 2 =1 x1 - x 2 但漸近線斜率為 2 ,結(jié)合圖形知直線 AB 與有交點，所以以 P 為中點的弦為： y = x + 1 . (3假設以 Q 為中點的弦存在， 設為 AB， 且 A(x1,y1,B(x2,y2， 則 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 兩式相減得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2 2 2 y1 - y 2 =2 x1 - x 2 但漸近線斜率為 2 ,結(jié)合圖形知直線 AB 與 C 無交點，所以假設不正確，即以 Q 為中 點的弦不存在. x 21(1橢圓 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的點 A(1, 3 2 到兩焦點的距離之和為 4, 求橢圓的方程; (2設 K 是(1中橢圓上的動點, F1 是左焦點, 求線段 F1K 的中點的軌跡方程; (3已知橢圓具有性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩點，P 是橢圓上任意一點, 當直線 PM、PN 的斜率都存在并記為 kPM、kPN 時，那么 k PM k PN 是與點 P 位置無關的 定值。試對雙曲線 解：(1 x4 + 2 x2 a2 - y2 b2 = 1 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 y2 3 =1 2 (2設中點為(x,y, F1(-1,0 K(