二次曲線與二次曲線

1、數(shù)學(xué)高考綜合能力題選講19二次曲線與二次曲線100080 北京中國(guó)人民大學(xué)附中 梁麗平題型預(yù)測(cè)高考說(shuō)明中明確指出：“對(duì)于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題(兩圓的交點(diǎn)除外)” 但是，在解答某些問(wèn)題時(shí)（如1990年全國(guó)理科25題），難免會(huì)遇到兩個(gè)二次曲線相切或相交的問(wèn)題，因此，應(yīng)該讓學(xué)生明白：雙二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)不等價(jià)其次，有些問(wèn)題涉及兩個(gè)二次曲線，但所討論和研究的并不是交點(diǎn)，而是它們的某些參量之間的關(guān)系，由于涉及到的參量較多，問(wèn)題往往顯得較為復(fù)雜，這類問(wèn)題要特別加以注意，理清思路，順藤摸瓜，設(shè)計(jì)好解題步驟范例選講例1討論圓與拋物線的位置關(guān)系講解：圓

2、是以為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交；而當(dāng)時(shí)，圓與拋物線的關(guān)系則很難從圖形上加以判斷為此，我們需借助方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)加以說(shuō)明把代入，整理得：（）此方程的判別式可以看到：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，的確有圓與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)而當(dāng)時(shí)，雖然有方程（）的，但圓與拋物線卻并不總有公共點(diǎn)，也即判別式與方程組解的個(gè)數(shù)不等價(jià)造成這種情況的原因?qū)嶋H上是由于：在方程組轉(zhuǎn)化為方程（）的過(guò)程中，忽略了條件事實(shí)上，方程組解的個(gè)數(shù)等于方程（）的非負(fù)解的個(gè)數(shù)綜上，圓與拋物線的位置關(guān)系如下：當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)

3、，圓與拋物線相切（只有一個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（三個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（四個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相切（兩個(gè)公共點(diǎn)）點(diǎn)評(píng)：雙二次曲線的問(wèn)題，要注意判別式的符號(hào)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)并不完全等價(jià)例2 已知橢圓，它的離心率為直線，它與以原點(diǎn)為圓心，以的短半軸為半徑的圓相切（）求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)試點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離講解：（） 直線與以原點(diǎn)為圓心，以b為半徑的圓相切又 橢圓的離心率為 橢圓的方程為（）由（）可得：橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，左準(zhǔn)線的方程為：連接，則由拋物線的定義不難知道：點(diǎn)M

4、的軌跡為以為焦點(diǎn)，以：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：所以，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，實(shí)際上就是拋物線與圓上的點(diǎn)的最短距離下面我們分別從幾何和代數(shù)的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題解法一：首先，如果拋物線上點(diǎn)A與圓上點(diǎn)B之間距離最小，則AB必過(guò)圓心O（否則，連接OB、OA，設(shè)OA交圓于點(diǎn)N，則NAOA<OBABAB，即NA<BA，與AB最小矛盾所以，只需求出圓心O到拋物線上點(diǎn)的最短距離即可）在拋物線上任取一點(diǎn)M（x,y），則由于所以，（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得）所以，上述最短距離為解法二：用純代數(shù)的方法去思考設(shè)為拋物線上任意點(diǎn)，為圓上任意點(diǎn)，則F1 O F2 xQ ByP等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)拋物線和圓上的兩點(diǎn)分別為和

5、時(shí)取得點(diǎn)評(píng)：方法二需要較強(qiáng)的代數(shù)變形的能力，充分運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)可以使得問(wèn)題簡(jiǎn)化例3已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)和，兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P橢圓與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且三點(diǎn)共線，分有向線段的比為1：2，又直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若（）求橢圓的離心率（）求雙曲線和橢圓的方程講解：（）要求橢圓的離心率，可以先只考慮與橢圓有關(guān)的條件注意到：三點(diǎn)共線，且分有向線段的比為1：2所以，若設(shè)橢圓的方程為：，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為代入橢圓方程，可解得橢圓的離心率（）由（）可得橢圓的方程為：，點(diǎn)P的坐標(biāo)為直線PB的方程為：設(shè)雙曲線的方程為：，則 在雙曲線上， 化簡(jiǎn)得：故將直線PB的方程代入雙曲線方程，消去y，得：解得從而 橢圓方程為，雙曲線方程為點(diǎn)評(píng)：解答本題，最大的問(wèn)題在于：所給條件雜亂無(wú)序，不知從何入手為此，應(yīng)該理清頭緒，層層遞進(jìn)，分步解答高考真題（1988年全國(guó)高考題）直線L的方程，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為問(wèn)：p在那個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，他們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離2(19