圓錐曲線動態(tài)結構探究

1、由一道習題所想到的圓錐曲線動態(tài)結構探究杭州學軍中學聞杰一、問題的起源與拓展先從一道大家熟悉的習題說起：習題?！耙阎c在圓：內(nèi)，則直線與圓的位置關系是（）A相交B。相切C。相離D。不確定在解此題時很多同學會想到圓心到直線的距離公式，進而列出式子，由于點在圓內(nèi)，所以，故知直線與圓相離，至此完事。但又有多少同學和老師會去深究這個問題更深層的問題呢，如：對于給定的圓，點P，直線與圓是簡單的位置關系？還是內(nèi)在有某種必然的聯(lián)系？其實我們只要關注一下上式的結構就會發(fā)現(xiàn)，圓心到點P的距離與圓心到直線的距離關于圓的半徑平方成反比，即在動態(tài)情況下當點P向圓心移動時，直線背離圓心向外平移，當點P背離圓心向外移動時，

2、直線向圓心平移，當點P移動到圓上時兩者恰好相遇，（圖1）真是奇妙。如果說上述問題給人以奇妙之感，那么下面的問題將讓你更驚奇。當點P在圓外時，只要過點P作圓的兩條切線，切點分別記為A、B，則過切點的直線正是直線（平面上一點向二次曲線作切線得兩切點，連結兩切點的線段我們稱切點弦），當點P在圓內(nèi)時，只要過點P作中點弦AB，再過端點A、B分別作切線，其切線之交點正好在直線上，且交點與圓心的連線恰過點P，且交點與圓心的連線與中點弦垂直，而中點弦與直線也正好平行，且關系式仍成立。（圖3）這相當于點P與直線關于圓作了一次對偶替換。 （圖1）（圖2）（圖3）同時又發(fā)現(xiàn)直線PO與圓的交點處的切線和直線，切點弦A

3、B均平行（圖4）。不僅如此，進一步探究發(fā)現(xiàn)，過點P任作一割線交圓于點C、D，交切點弦于點Q，此時有與圓冪定理（）相似的性質(zhì)：。當直線運動到切線位置時不難得到圓冪定理的定值是切線長，而后者應該為2（因為此時）但對于一般情形下結論是否成立，將是一個大膽的猜想，具有很好的創(chuàng)新精神，由于有現(xiàn)代技術的支持，結論立馬可以驗證，當然結果是可喜的（圖5）。然而如果我們從圖形（四條線段）的結構特征來看，考慮到平衡性，可嘗試內(nèi)項積與外項積，從對稱美的角度看似乎有相等的可能，好在有幾何畫板的支持，設想立即可以驗證，結果真的成立（圖6）。（圖4）（圖5）（圖6）現(xiàn)在再回頭看性質(zhì)時，感覺兩者應該能統(tǒng)一，于是我們作了變換

4、的嘗試，把線段QD分拆為PDPQ，線段CQ分拆為PCPQ，代入后竟與前者吻合。多么和諧的內(nèi)在結構，卻以不同的美麗形式展現(xiàn)在人們面前。既然直線有如此精妙的特性，我想可能還有更神奇的性質(zhì)存在，于是我們在此直線（無論直線與圓是相交、相切、相離）上任取一點（在圓外），過點作圓的兩條切線，切點分別記為，我們發(fā)現(xiàn)直線竟然過定點P，反之，過點P任作動弦，過弦端點的切線的交點軌跡也就是直線（圖7）。你能不為之驚嘆！據(jù)此可以出一道很漂亮的試題：（圖7）試題、“動點在直線上運動，過點Q作圓的切線QA，QB（A、B為切點），求證：直線AB必過定點。”問題到此似乎可以收場，但此時我們已無法控制自己早已奔騰的思維，進而

5、會想，這些美妙的東西在橢圓、雙曲線、拋物線上是否也存在？如果存在，怎樣類比？怎樣把它們與圓的東西統(tǒng)一起來？等等問題擺在我們面前需要解決。首選當圓壓扁時原有的關系式被破壞（因為垂直關系已不復存在），這就需要我們找一個相關式子，既能保持原有式子的形式，又能確保在圓被壓扁時不被破壞，因此，我們必須重新審視關系式的每個量（）的真正含義，此時我們開始懷疑可能不是圓心到直線的距離，也可能不是圓的半徑（常數(shù)），繼而我們突破原有的思維框架，猜想可能是直線OP與直線的交點與曲線中心的距離，而是直線OP與曲線交點與中心的距離。如果真是這樣的話，那么原式改寫為后（記）更舒服些，且在曲線形狀改變時將保持不變，又能做到

6、統(tǒng)一，于是立馬用幾何畫板測試，結果真是令人驚奇，確實如此（太爽了）。此關系式類比成功，那么其它幾個性質(zhì)是否在圓錐曲線中也能成立？二、歸納與類比由于圓錐曲線基于同一幾何體（圓錐面截得）而得，從數(shù)學美的角度看應該能類比、能統(tǒng)一，但畢竟圓是最特殊的圖形，它的某些結論在圖形變形后會有所改變，我們的問題是怎樣把它們統(tǒng)一起來?，F(xiàn)行新課標已把聯(lián)想、類比、歸納等合情推理思想提到一定高度，因此我們不妨用這些數(shù)學思想類比出橢圓、雙曲線、拋物線的相關結論，并以合情推理的思想給出相應證明。（一）有心圓錐曲線切點弦的相關問題1已知有心圓錐曲線，和一點，那么我們有下面的結論點在有心圓錐曲線上，直線為過P點的有心圓錐曲線的

7、切線。（圖8）（點擊圖7可進入動態(tài)情境）點在有心圓錐曲線外，直線，為過點的兩切線的有心圓錐曲線的切點弦（圖9）（點擊圖8可進入動態(tài)情境）點在有心圓錐曲線內(nèi)，直線為與有心圓錐曲線相離的直線（與切線平行）（圖10）（點擊圖9可進入動態(tài)情境）（圖8）（圖9）（圖10）（如右圖10）設有心圓錐曲線中心O與點的連線交有心圓錐曲線于N，交切點弦于點Q，則，。且Q點平分切點弦AB。（無論點P在曲線的什么位置，上述結論均成立）。且點P與直線沿直線PO作反向運動。上式四個結論與圓的相應結論完全統(tǒng)一。下面我們探究圓的切點弦的第2部分結論在有心圓錐曲線下的相關結論。通過動態(tài)實驗，我們有下列與圓對應的結論。2。已知有

8、心圓錐曲線和有心圓錐曲線外一點，那么我們有下面的結論過有心圓錐曲線中心與有心圓錐曲線外一點的直線與有心圓錐曲線的交點處的切線平行于有心圓錐曲線的切點弦。（圖11）過有心圓錐曲線外一點P的任一直線與有心圓錐曲線的兩個交點為C、D，點Q是此直線上另一點，且滿足則點Q的軌跡即為切點弦，反之亦然。（圖12）過有心圓錐曲線外一點P的任一直線與有心圓錐曲線的兩個交點為C、D，與有心圓錐曲線切點弦的交點為Q，則成立。反之亦然。（圖13）（圖11）（圖12）（圖13）特別地，若點與焦點重合時,則上述直線變?yōu)椋ň谷慌c準線方程吻合）（圖16）（好舒服）（圖16）（二）、無心圓錐曲線（拋物線）切點弦的相關問題由于拋

9、物線是無心曲線，它與有心曲線又有所區(qū)別，問題也是我們能否給予與有心曲線的相關結論統(tǒng)一起來的解釋，為此,我們不妨把拋物線看成是中心在無窮遠處的有心曲線。再通過類比將得到下列結論。1已知拋物線和一點，那么我們有下面的結論點在拋物線上，直線為過P點的拋物線的切線。（圖17）點在拋物線外，直線，為過點的兩切線的拋物線的切點弦（圖18）點在拋物線內(nèi)，直線為與拋物線相離的直線（此直線恰好過以點P為中點的中點弦端點的切線交點，且與中點弦平行）（圖19）（圖17）（圖18）（圖19）設過點P與拋物線對稱軸平行(中心在對稱軸方向的無窮遠處)的直線交拋物線于N，交切點弦于點Q，則，。且Q點平分切點弦AB。（無論點

10、P在曲線的什么位置，上述結論均成立）。且點P與直線作反向運動。（圖20）（圖20）2。已知拋物線，拋物線外一點，那么我們有下面的結論過拋物線中心（這中心在無窮遠處）與拋物線外一點的直線與拋物線的交點處的切線平行于拋物線的切點弦（圖21）。過拋物線外一點P的任一直線與拋物線的兩個交點為C、D，點Q是此直線上另一點，且滿足則點Q的軌跡即為切點弦，反之亦然。（圖22）過拋物線外一點P的任一直線與拋物線的兩個交點為C、D，與拋物線切點弦的交點為Q，則成立（圖23）。反之亦然。（圖21）（圖22）（圖23）(注意:為作圖方便下面的拋物線方程改為)過點作拋物線的兩切線，得拋物線的切點弦，則切點弦直線與對稱

11、軸的交點為（圖24）.當點在拋物線內(nèi)時，直線與對稱軸的交點仍為（圖25）.當點在拋物線上時，直線為切線，但它與對稱軸的交點仍為（圖26）.特別地, 若點與焦點重合時,則上述直線變?yōu)椋ㄅc準線方程吻合）（圖24）（圖25）（圖26）三、關于切點弦方程的求法（一）有心曲線的切點弦由于圓的切點弦求法通常為：圓系法、方程法。因此，我們從類比與合情推理的思想看這些方法在橢圓、雙曲線、拋物線也應該適用。于是我們有1、由于從圓系角度看，對圓，和點而言，切點A、B應該在以線段PO為直徑的圓上，從而切點弦為兩圓方程之差，即得切點弦方程為:據(jù)此，下面我們從類比與合情推理得出橢圓的切點弦。由于從橢圓系角度看，對橢圓，

12、和點而言，切點A、B應該在以線段PO為直徑的橢圓上，從而切點弦為兩橢圓方程之差，即（圖27）（圖27）2、由于從方程角度看，對圓，和點而言，過切點的切線方程分別為：，因為點同在兩切線上，所以有：,從而切點弦方程為:。據(jù)此，我們也從類比與合情推理得出橢圓的切點弦由于從方程角度看，對橢圓，和點而言，過切點（圖28）的切線方程分別為：，因為點同在兩切線上，所以有：，從而橢圓的切點弦方程為:。（圖28）對于雙曲線、拋物線同理可得切點弦分別為：， 說明：可以證明，以為直徑端點且離心率與相同，長短軸與的長短軸平行的橢圓方程為：。（系數(shù)設為相同的目的,一是確保離心率不變,二在于使曲線系中有直線產(chǎn)生）一般地：

13、對于有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線）以為直徑的曲線方程可表示為：因此，對于有心圓錐曲線的切點弦，我們也可以用統(tǒng)一的方法證明。方法一、利用曲線系設有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線）的統(tǒng)一曲線方程為：，設點，由于有心圓錐曲線上任一點對直徑PO(O為坐標原點)端點連線的斜率積為常數(shù)，所以,以PO為直徑,離心率與相同的圓錐曲線方程為: ,即兩圓錐曲線方程相減即得切點弦方程為： 方法二、利用方程思想由于點處的切線方程為： 點處的切線方程為： 又點同在兩切線上，所以從而過切點A、B的直線(切點弦)方程為：（二）無心曲線的切點弦1、由于從拋物線系角度看，對拋物線，和點而言，從類比的角度看，切點A、B應該是與交

14、點，從而切點弦為兩拋物線方程之差，即2、如從方程角度看，對拋物線，和點而言，過切點的切線方程分別為：切線PA：同理PB：因為點同在兩切線上，所以有：所以，切點弦AB的直線方程為：四、推廣切點弦過定點進一步研究我們還發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)任意定直線上一動點相對于圓錐曲線的切點弦直線必過定點。下面我們研究定點在何處由上面（一）的結論得到啟發(fā)（1）當直線與曲線不相交時，可平移直線與曲線交于兩點，取這兩點的中點，過此中點和曲線中心作直線交曲線于點N（與直線同側），交直線于點P，則直線OP上滿足的點Q即為所要找的定點。即：T為直線：上的動點，則點T對應于圓錐曲線的切點弦RS必過定點Q。（右上圖）（2）當直線與曲線

15、相交A，B兩點時，取AB中點P，過中心O和點P作射線交曲線于點N，則在直線OP上滿足的點Q即為所要找的定點。即：T為直線上的動點，則點T對應于圓錐曲線的切點弦RS的延長線必過定點Q。右圖注：在拋物線情形下，直線OP變?yōu)槠叫杏趯ΨQ軸的直線即可附：雙曲線、拋物線圖示（下圖右、左）五、進一步全面推廣過定點的相交弦與蝴蝶定理對切點弦的進一步探索我們又發(fā)現(xiàn)了更神奇的東西。當過點Q的切點弦（Q為中點）變成相交于點Q的兩條弦AB，CD時，直線AC與BD的交點G和直線AD與CB的交點E均在點Q對應的直線上，且當AB，CD任意運動時，點G，E在運動，同時還發(fā)現(xiàn)一個更有趣的結論，即：只要過點Q作GE的平行線分別交

16、四邊形ACBD的任一組對邊所在直線，Q點必是它們的中點（，）（下左圖）。這正好與圓中的蝴蝶定理吻合，再研究又發(fā)現(xiàn)，當點Q與曲線焦點F重合時，G點對應的直線恰為相應準線（下右圖）。進一步探索，又發(fā)現(xiàn)當點Q與曲線焦點F重合時，QG，QE分別為的角平分線，當然也有（下右圖）（真是奇妙無比）六、切點弦系列問題的證明對問題1中的比較簡單，由于篇幅有限不證了。對于問題2中的我們分有心曲線與無心曲線分別統(tǒng)一證明。（一）為清楚起見對有心曲線的結論2再一一列出： 過有心曲線中心O與另一點P的直線OP與有心曲線的兩交點為C、D，則過交點C，D處的切線平行于有心曲線的切點弦AB。（圖29）證明：設有心曲線（圓、橢圓、雙曲線）方程為：，點，點的坐標分別為，則直線OP方程為：，代入曲線方程，得