隨動(dòng)曲軸磨床

1、隨動(dòng)曲軸磨床隨著計(jì)算機(jī)數(shù)控技術(shù)和CBN砂輪磨削技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了一種新的磨削方式，人們稱它為隨動(dòng)磨削，有些學(xué)者也叫切點(diǎn)跟蹤磨削。本文按人們習(xí)慣的稱呼隨動(dòng)磨削。所謂隨動(dòng)磨削，就是砂輪隨著工件回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，砂輪在工件的任一位置相切并跟隨工件運(yùn)動(dòng)。隨動(dòng)磨削研究開發(fā)出來的典型機(jī)床是全數(shù)控凸輪軸磨床和全數(shù)控曲軸磨床。全數(shù)控凸輪軸磨床前面進(jìn)行了介紹，這里主要介紹數(shù)控曲軸連桿頸磨床。隨動(dòng)曲軸磨床外形圖機(jī)床主要技術(shù)參數(shù)1、加工零件最大長(zhǎng)度 1000毫米2、加工零件最大回轉(zhuǎn)直徑 600毫米3、加工零件最大質(zhì)量 250Kg4、加工零件最大偏心距 80毫米5、砂輪最大直徑（CBN） 650毫米6、砂輪最高線速度 120

2、米/秒7、建議砂輪使用速度 80米/秒8、工作轉(zhuǎn)速（無級(jí)變速）最高 200轉(zhuǎn)/分9、機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)：a) 控制系統(tǒng) SIEMENS（西門子）840D或德國(guó)力士樂數(shù)控系統(tǒng)（根據(jù)用戶要求）b) 伺服電機(jī)1）砂輪架左右移動(dòng)電機(jī)Z軸 50NM 2）頭架電機(jī)W軸 27NM 3）尾架電機(jī)U軸 27NM 4）砂輪修正備用電機(jī) 10NMC）砂輪前后進(jìn)給電機(jī) 直線電機(jī) 3300N 10、主機(jī)外形尺寸（長(zhǎng)×寬×高） 3500×2500×1800毫米 11、機(jī)床總質(zhì)量 15000千克 12、機(jī)床電機(jī)總功率 60千瓦機(jī)床的主要結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：隨動(dòng)磨削原理及關(guān)鍵技術(shù)隨動(dòng)磨削法作為一種全新

3、的曲軸類異型零件（幾何中心與回轉(zhuǎn)中心不重合、且相差較大的零件）的磨削加工方法，對(duì)其磨削原理的研究主要包括如下三個(gè)方面：第一個(gè)方面是如何實(shí)現(xiàn)磨削過程中砂輪的高頻率大行程的磨削軌跡運(yùn)動(dòng)。第二個(gè)方面是研究如何采取措施保證大行程高頻率跟蹤磨削的尺寸精度和形位精度的問題，即如何保證砂輪準(zhǔn)確地跟蹤相應(yīng)曲線的問題。第三方面是在實(shí)現(xiàn)了隨動(dòng)磨削方法后研究如何選用合理恰當(dāng)?shù)哪ハ鲄?shù)來保證磨削的表面質(zhì)量和較高的磨削效率的問題。這三個(gè)方面的研究概括起來，主要包括：隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)模型的研究、曲軸的動(dòng)靜態(tài)特性的研究、磨床數(shù)控系統(tǒng)及伺服進(jìn)給系統(tǒng)的研究（尤其是對(duì)特定的插補(bǔ)算法和控制策略的研究）、專用數(shù)控機(jī)床機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研

4、究、相關(guān)數(shù)控機(jī)床精度強(qiáng)化措施的研究（各種誤差補(bǔ)償方法的研究）、測(cè)試原理與技術(shù)的研究(測(cè)試隨動(dòng)磨削過程中的磨削力和磨削后工件表面的圓度、粗糙度等的大小，以便探索它們的變化規(guī)律)、磨削參數(shù)的優(yōu)化選擇以及磨削過程的計(jì)算機(jī)仿真與分析的研究等。上述各項(xiàng)問題的研究所涉及的學(xué)科技術(shù)范圍比較廣泛，鑒于筆者的水平、研究條件和時(shí)間等的限制，本論文不可能對(duì)這些關(guān)鍵技術(shù)均作詳細(xì)深入的論述。因此，本節(jié)將對(duì)上述這些問題做一個(gè)總體上的概述，以期能為對(duì)該方法的進(jìn)一步研究和實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用提供一些有益的借鑒與研究參考思路。同時(shí)也對(duì)在論文后續(xù)章節(jié)中進(jìn)行詳細(xì)闡述的部分作個(gè)簡(jiǎn)要的介紹。1、隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型對(duì)隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的研究

5、主要應(yīng)考慮滿足以下幾個(gè)方面的要求：（1）所建立的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型要具備工程上實(shí)現(xiàn)的可能性。如：不能出現(xiàn)跟蹤時(shí)砂輪的位移和速度曲線的尖點(diǎn)，即速度、加速度不可能無限大；（2）運(yùn)動(dòng)要能夠以比較容易的方式得以實(shí)現(xiàn)，如：要求砂輪運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度和加速度變化平緩，易于實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的跟蹤運(yùn)動(dòng)；（3）要保證能夠獲得較高的磨削精度和良好的磨削質(zhì)量，同時(shí)磨削應(yīng)具有較高的生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)性。本文的第二章按照恒磨除率磨削的原則建立了隨動(dòng)磨削的運(yùn)動(dòng)模型，此運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算方便準(zhǔn)確，所建立的運(yùn)動(dòng)方式跟蹤起來比較容易，理論上工件表面的磨削質(zhì)量比恒轉(zhuǎn)速磨削獲得的磨削表面質(zhì)量高，滿足工程實(shí)際要求。2、伺服控制系統(tǒng)及控制方法的研究曲軸連桿頸中心至

6、主軸頸中心的偏心較大（通常30多mm），所以砂輪水平跟蹤的行程比較大；而生產(chǎn)加工時(shí)為保證一定的磨削效率又要求曲軸以較高的轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)來進(jìn)行磨削，因此，砂輪對(duì)曲軸進(jìn)行跟蹤磨削時(shí)所作的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)將是高速度和高頻率的；跟蹤磨削時(shí)伺服系統(tǒng)在跟蹤特定輸入曲線的過程中即使出現(xiàn)了很小的相位誤差也會(huì)引起磨削加工精度的很大變化。這就對(duì)伺服系統(tǒng)的性能提出了較高的要求：1、要求伺服系統(tǒng)對(duì)特殊曲線運(yùn)動(dòng)的輸入具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力和跟蹤精度，即伺服系統(tǒng)應(yīng)具有較高的響應(yīng)速度和分辨率；2、伺服系統(tǒng)要適應(yīng)比較大的行程要求，以滿足曲軸跟蹤磨削加工的要求；3、要求伺服控制系統(tǒng)能夠采取適當(dāng)?shù)目刂品椒ㄏ哂幸欢ㄘ?fù)載的伺服系統(tǒng)的慣性對(duì)

7、跟蹤速度和精度的不良影響。要研究選用恰當(dāng)?shù)乃欧到y(tǒng)以及相應(yīng)的控制方法來實(shí)現(xiàn)砂輪的快速高精度跟蹤運(yùn)動(dòng)。國(guó)內(nèi)外對(duì)類似的問題作過較多的研究15171920212223：華中理工大學(xué)在對(duì)“曲軸及非圓柱類零件CBN高速磨削控制系統(tǒng)建模、動(dòng)特性和控制策略的研究” 和“立方氮化硼高效數(shù)控凸輪軸磨床”項(xiàng)目進(jìn)行研究時(shí)對(duì)加工非圓柱表面回轉(zhuǎn)體零件的磨削CNC系統(tǒng)作了詳細(xì)深入的分析，提出采用直線伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)砂輪的往復(fù)快速跟蹤運(yùn)動(dòng)和基于PC平臺(tái)的開放式CNC系統(tǒng)硬件和軟件系統(tǒng)，并對(duì)采用直線電機(jī)的直線伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型和砂輪跟蹤的控制算法進(jìn)行了研究，提出了兩軸聯(lián)動(dòng)的耦合數(shù)學(xué)模型和砂輪跟蹤自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制算法15。清華大學(xué)在

8、研究高頻響、高精度伺服控制系統(tǒng)時(shí)提出了一種基于被控對(duì)象試驗(yàn)頻響數(shù)據(jù)的有限項(xiàng)頻率特性序列模型及其前饋跟蹤控制方法22。因此，本文不再對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的闡述，僅從試驗(yàn)上對(duì)于采用交流伺服電機(jī)的砂輪跟蹤伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)的可行性方面進(jìn)行了驗(yàn)證。3、專用數(shù)控插補(bǔ)算法及其控制策略的研究對(duì)于曲軸的隨動(dòng)磨削來說，砂輪中心的跟蹤曲線是一條關(guān)于曲軸轉(zhuǎn)角的余弦曲線加上一復(fù)雜分量組成的特殊運(yùn)動(dòng)曲線(詳見本文第二章)，若采用普通的數(shù)控插補(bǔ)算法來對(duì)此類曲線進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，不能滿足插補(bǔ)的高速度和高精度要求；必須研究采用特殊的曲線插補(bǔ)算法及相應(yīng)的控制方式來保證插補(bǔ)的精度和速度。文獻(xiàn)2431有關(guān)的數(shù)控插補(bǔ)算法的研究為隨動(dòng)

9、磨削法的特殊插補(bǔ)算法研究提供了很好的研究思路。在參考這些文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文的第三章對(duì)采用隨動(dòng)磨削法磨削曲軸連桿頸的數(shù)控插補(bǔ)算法和控制策略進(jìn)行了專門的研究。在建立的隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，介紹了逐點(diǎn)比較插補(bǔ)法和一種基于插補(bǔ)精度的特殊時(shí)間分割插補(bǔ)算法以及雙緩沖前后臺(tái)通信的實(shí)時(shí)控制策略。 4、曲軸靜動(dòng)態(tài)特性的研究曲軸作為隨動(dòng)磨削加工的對(duì)象，其靜動(dòng)態(tài)特性對(duì)加工精度有很大的影響。首先，由于曲軸工件的剛性比較差，并且其剛性在不同的方向各不相同，在磨削過程中受磨削力的作用會(huì)在不同的方向上產(chǎn)生復(fù)雜的彈性變形，從而對(duì)加工精度帶來不利的影響。因此，有必要對(duì)曲軸的靜態(tài)特性進(jìn)行深入的分析與研究，找到其變化規(guī)律，

10、并采取一定的措施減小或消除這種不利的影響。本文的第四章對(duì)由于曲軸的這種特性導(dǎo)致的曲軸剛度誤差進(jìn)行了理論分析，并提出一種誤差的數(shù)控補(bǔ)償方法來減小因曲軸的靜剛度特性對(duì)加工精度的影響。其次，磨削過程中曲軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性（如固有頻率和振型等）對(duì)加工精度也有比較大的影響，應(yīng)盡量減小或避免這種振動(dòng)帶來的不良影響。為避免共振，磨削加工時(shí)應(yīng)使曲軸、砂輪主軸和工作臺(tái)的固有頻率和水平振型錯(cuò)開。限于篇幅和時(shí)間，本文未對(duì)曲軸的動(dòng)態(tài)特性作更詳細(xì)的討論。如果對(duì)不同幾何尺寸形狀和材料的曲軸進(jìn)行了大量的動(dòng)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)后，就能借助有限元等理論分析的途徑找到不同的曲軸幾何尺寸影響隨動(dòng)磨削精度和磨削質(zhì)量的一般規(guī)律，進(jìn)而為對(duì)這種新的磨

11、削方法的有效仿真提供充分的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論基礎(chǔ)。5、磨削參數(shù)的優(yōu)化研究磨削參數(shù)在很大程度上影響著被加工工件的表面質(zhì)量和加工效率。對(duì)磨削參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可以在保證一定的磨削效率的前提下獲得良好的工件表面質(zhì)量。因此，磨削參數(shù)的優(yōu)化選取是隨動(dòng)磨削方法的研究中的重要方面。針對(duì)根據(jù)工廠經(jīng)驗(yàn)選定的重要磨削工藝參數(shù)的取值范圍，通過試驗(yàn)來進(jìn)行研究，以獲得綜合磨削效果最佳為目標(biāo)的最優(yōu)磨削參數(shù)，是該方法能否得以應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)的重要決定因素之一，這也是本課題的后續(xù)研究中要思考解決的問題。6、磨削過程的模擬與仿真研究對(duì)隨動(dòng)磨削的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬與仿真以及對(duì)磨削過程中相關(guān)問題的計(jì)算機(jī)輔助分析，是隨動(dòng)磨削原理研究的重要

12、內(nèi)容。本論文的第六章主要從以下幾個(gè)方面對(duì)隨動(dòng)磨削法的計(jì)算機(jī)仿真研究進(jìn)行了嘗試：首先，對(duì)隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真，這就可以不用在磨床上進(jìn)行實(shí)際的磨削實(shí)驗(yàn)就能在計(jì)算機(jī)上非常直觀地檢查運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的正確性（如：是否存在運(yùn)動(dòng)干涉等），避免了某些不必要錯(cuò)誤的產(chǎn)生。其次，根據(jù)所建立的誤差分析模型，開發(fā)了相應(yīng)的隨動(dòng)磨削法誤差分析模塊（如對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差、數(shù)控插補(bǔ)誤差、曲軸的彈性變形引起的誤差等的分析），簡(jiǎn)化了重復(fù)煩瑣的計(jì)算過程，提高了分析的可靠性和速度；再次，針對(duì)相應(yīng)的數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)了專用的數(shù)控程序自動(dòng)生成模塊，通過相關(guān)磨削參數(shù)的輸入值和誤差分析結(jié)果，來生成相應(yīng)的數(shù)控程序控制磨床的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)隨動(dòng)磨削。7、磨床

13、其它相關(guān)技術(shù)的應(yīng)用研究磨床的其它相關(guān)技術(shù)也是隨動(dòng)磨削法研究中不可或缺的重要方面，如：為使加工時(shí)被夾持工件具有高的旋轉(zhuǎn)精度而必須保證頭尾架保持較高的同步回轉(zhuǎn)精度的電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)技術(shù)、為保證磨床具有高的靜、動(dòng)剛度和良好抗振性能的機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)、砂輪的制造與平衡技術(shù)、磁懸浮軸承技術(shù)、高速電主軸技術(shù)、液體動(dòng)靜壓軸承技術(shù)、直線導(dǎo)軌技術(shù)以及相關(guān)測(cè)試技術(shù)、磨削過程的誤差分析與補(bǔ)償技術(shù)等。隨動(dòng)磨削方法的加工精度和磨削的可靠性離不開上述相關(guān)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用。第二章 切點(diǎn)跟蹤磨削運(yùn)動(dòng)模型及運(yùn)動(dòng)誤差分析采用切點(diǎn)跟蹤磨削法磨削曲軸的連桿軸頸，首先要建立恰當(dāng)?shù)哪ハ骷庸み\(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型控制砂輪相對(duì)于連桿軸

14、頸的“跟蹤+進(jìn)給”運(yùn)動(dòng)，從而保證磨削精度和表面質(zhì)量，達(dá)到曲軸磨削的高精度和高柔性加工要求。本章通過對(duì)切點(diǎn)跟蹤磨削運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的分析，得出了磨削時(shí)應(yīng)使曲軸做變轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，由此建立了恒磨除率磨削條件下連桿頸磨削的數(shù)控兩軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型；并通過坐標(biāo)變換的方法把切點(diǎn)跟蹤磨削轉(zhuǎn)換成按普通外圓磨削進(jìn)行分析，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度探討了切點(diǎn)跟蹤磨削法對(duì)加工誤差的影響規(guī)律，同時(shí)分析了切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)對(duì)當(dāng)量磨削厚度和磨削力的影響及變化規(guī)律，給出了運(yùn)動(dòng)誤差的數(shù)控補(bǔ)償方法和修正后的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。21 切點(diǎn)跟蹤磨削運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析2.1.1 磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡切點(diǎn)跟蹤磨削運(yùn)動(dòng)示意圖如圖2-1所示，曲軸繞主軸頸中心O旋轉(zhuǎn)，砂輪沿X軸往復(fù)

15、移動(dòng)以磨削連桿軸頸。切點(diǎn)跟蹤磨削法在磨削曲軸的連桿頸時(shí)利用相切原理，使砂輪在跟蹤的磨削過程中始終和曲軸的連桿頸相切來保證磨削后連桿頸的形狀。由上圖可以得出，在建立的相應(yīng)XOY坐標(biāo)系中，曲軸轉(zhuǎn)角為時(shí)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)P的坐標(biāo)()為： （2-1） 連桿頸上磨削點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧段所對(duì)應(yīng)的角度 磨削過程中曲軸所轉(zhuǎn)過的角度rw 曲軸連桿頸半徑（mm） 砂輪中心位置的X坐標(biāo) 砂輪中心位置 連桿頸中心位置b 曲軸連桿頸中心線至主軸頸中心線的偏心距（mm） rs 砂輪半徑（mm）圖2-1 曲軸連桿軸頸切點(diǎn)跟蹤磨削示意圖曲軸的尺寸參數(shù)取值如下：b=36.5mm, rw=20mm， rs=300mm (下面分析時(shí)若無特別說明，

16、則參數(shù)的取值同該組數(shù)值)，則可以畫出磨削過程中切點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2-2所示，該圖中曲線上任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與水平軸正向的夾角（逆時(shí)針）表示該磨削點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲軸轉(zhuǎn)角。由圖2-2可以看出，磨削時(shí)在工件每轉(zhuǎn)一圈的過程內(nèi)，砂輪與工件的切點(diǎn)（即磨削點(diǎn)）都是在不斷變化的，這種情況將會(huì)影響到工件的尺寸、表面粗糙度、波紋度、形狀精度、磨削力等。(mm) (mm) 圖2-2 切點(diǎn)跟蹤磨削過程切點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖2.1.2 連桿頸速度變量 在圖2-1所示坐標(biāo)系中，由運(yùn)動(dòng)關(guān)系，則有： (2-2)由式（2-2），得： (2-3) 令 (2-4)稱為連桿頸速度變量，則(2-3)式變?yōu)椋?(2-5)由（2-4）式，可

17、得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取曲軸旋轉(zhuǎn)一周來考察，則：當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)或時(shí)，,圖2-3 連桿頸速度變量與曲軸轉(zhuǎn)角關(guān)系圖當(dāng)時(shí)， ， 所以當(dāng)曲軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，連桿軸頸上任一磨削點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是變化的，也就是說磨削時(shí)連桿頸上單位時(shí)間的磨除率是變化的。連桿頸速度變量隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)如圖2-3所示。 由圖2-3可以看出，盡管曲軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但連桿頸上的磨削點(diǎn)的角速度是在不斷變化的。當(dāng)=0時(shí)，我們稱連桿頸上磨削點(diǎn)的角速度為平均角速度。當(dāng)時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的角速度大于平均角速度，則砂輪在連桿頸表面磨過的弧段大于1/4圈；當(dāng)時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的角速度小于平均角速度，則砂輪在連桿頸表面磨過的弧段小于1/4圈；當(dāng)時(shí)，連桿頸

18、上磨削點(diǎn)的角速度小于平均角速度，砂輪在連桿頸表面磨過的弧段也小于1/4圈；當(dāng)時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的角速度大于平均角速度，則砂輪在連桿頸表面磨過的弧段又大于1/4圈。由此可見，在曲軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)條件下，曲軸連桿軸頸表面各點(diǎn)的磨除速度均不相等，因此單位時(shí)間的磨除率在各點(diǎn)也不相等，這對(duì)連桿頸的尺寸精度、表面粗糙度及波紋度等均有較大影響。22 曲軸恒轉(zhuǎn)速磨削的數(shù)學(xué)模型及其問題對(duì)于曲軸恒轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)的切點(diǎn)跟蹤磨削，由相切幾何關(guān)系可以得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：（1）由圖2-1不難得出，砂輪中心位置坐標(biāo)x（在坐標(biāo)系XOY中）與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系為： (2-6a)設(shè)磨削時(shí)以連桿頸轉(zhuǎn)角為時(shí)的砂輪中心為坐標(biāo)零點(diǎn)，則任意轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的砂輪

19、中心位移X為： (2-6)所以任意時(shí)刻砂輪沿X軸往復(fù)移動(dòng)的速度vx為： (2-7)（2）曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度： （2-8）其中為對(duì)應(yīng)于曲軸平均角速度的曲軸平均轉(zhuǎn)速。砂輪中心位置x(mm)磨削時(shí)間t(s)圖2-4 恒轉(zhuǎn)速磨削時(shí)砂輪跟蹤曲線圖取曲軸轉(zhuǎn)速為，則砂輪中心（以曲軸主軸頸中心為原點(diǎn)）的跟蹤曲線如圖2-4所示，可以看出，砂輪跟蹤運(yùn)動(dòng)軌跡為一復(fù)雜周期曲線。 由前面的分析可以得出：磨削時(shí)曲軸的恒轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)使磨削時(shí)連桿頸上的磨削點(diǎn)的角速度變化，導(dǎo)致連桿軸頸表面各點(diǎn)的磨除速度不等，從而影響磨削的精度和表面質(zhì)量。具體地說，恒轉(zhuǎn)速磨削時(shí)會(huì)出現(xiàn)下述問題（參考圖2-5）：圖2-5 切點(diǎn)跟蹤磨削分析示意圖 1) 連

20、桿頸上各點(diǎn)（磨削點(diǎn)）的磨削時(shí)間不同。由圖2-5可見，當(dāng)曲軸繞其回轉(zhuǎn)中心從0°轉(zhuǎn)到90°時(shí)，砂輪磨削了連桿頸上的弧段AB；而從90°轉(zhuǎn)到180°時(shí)，則磨削了連桿頸上的弧段BC。顯然，弧段AB和弧段BC的長(zhǎng)度是不相等的，因此，砂輪在連桿頸上各切點(diǎn)（磨削點(diǎn)）處的磨削時(shí)間是不同的。砂輪直徑越小，則各磨削點(diǎn)磨削時(shí)間的變化越大；2) 連桿頸上各點(diǎn)（磨削點(diǎn)）的相對(duì)磨削速度不同。曲軸轉(zhuǎn)角處于0°時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的速度與砂輪上磨削點(diǎn)的速度方向相反；曲軸轉(zhuǎn)角處于時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的速度與砂輪上磨削點(diǎn)的速度的方向相同；連桿處于其他轉(zhuǎn)角時(shí)，連桿頸上磨削點(diǎn)的速度與砂輪

21、上磨削點(diǎn)的速度的方向成一角度。由此可見，在整個(gè)磨削過程中，各磨削點(diǎn)的相對(duì)磨削速度是不相等的。3) 曲軸位于不同轉(zhuǎn)角時(shí)，磨削點(diǎn)處磨削速度的大小和方向均不一樣，所以磨削力也不一樣；4) 曲軸位于不同轉(zhuǎn)角時(shí)，磨削力的方向、曲軸的受力狀態(tài)均是變化的，加之工藝系統(tǒng)的剛度也是變化的，因此，在磨削力的作用下曲軸在不同回轉(zhuǎn)角處產(chǎn)生的彈性變形量也不一樣。連桿頸表面上各點(diǎn)磨削速度與受力狀態(tài)的不同，導(dǎo)致了各點(diǎn)實(shí)際切入深度的不同，從而對(duì)曲軸的加工精度、表面粗糙度與波紋度等加工表面質(zhì)量會(huì)產(chǎn)生一定的影響。所以要得到較高的磨削精度和磨削表面質(zhì)量，就要在磨削時(shí)按照其運(yùn)動(dòng)規(guī)律使曲軸變速轉(zhuǎn)動(dòng)，這是跟蹤磨削一個(gè)重要的條件。23 恒

22、磨除率磨削條件下的數(shù)學(xué)模型2.3.1 跟蹤運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為了得到高精度的連桿頸表面圓度及良好的表面質(zhì)量，應(yīng)使磨削過程中單位時(shí)間的磨削量相等。即采用恒磨除率控制，在加工中近似處理為恒線速控制，使得磨削點(diǎn)處相對(duì)磨削線速度基本保持不變32。也就是說磨削連桿軸頸時(shí)磨削點(diǎn)沿著連桿頸表面勻速運(yùn)動(dòng)。由此建立切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型如下（參考圖2-1）：(1) 砂輪中心位置坐標(biāo)x（在坐標(biāo)系XOY中）與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系 (2-9)設(shè)磨削時(shí)以連桿頸轉(zhuǎn)角為時(shí)的砂輪中心為坐標(biāo)零點(diǎn)，則任意轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的砂輪中心位移X為： (2-10)所以任意時(shí)刻砂輪沿X軸往復(fù)移動(dòng)的速度vx為： （另根據(jù)公式2-3推導(dǎo)） (2-11)(2) 曲

23、軸變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律當(dāng)曲軸轉(zhuǎn)一周時(shí)，砂輪也在連桿軸頸磨削一圈，從恒磨除率磨削來考慮，則要求磨削點(diǎn)在連桿軸頸表面移動(dòng)的角速度恒定，故磨削點(diǎn)在連桿頸表面上移動(dòng)的角速度為（曲軸平均轉(zhuǎn)速為），因此： (2-12)如圖2-1所示，在三角形ooo”中，由余弦定理得 (2-13)由正弦定理得 (2-14)由此可得出：在，即時(shí) (2-15)所以磨削過程中，在曲軸旋轉(zhuǎn)的一圈內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律可表示為： (2-16) 聯(lián)立式(2-12)和 (2-16)，便可得出曲軸在旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)轉(zhuǎn)角與時(shí)間t的關(guān)系。由(2-3)和(2-12)式，得曲軸在轉(zhuǎn)角為時(shí)的角速度： 轉(zhuǎn)速曲線 (2-17)從(2-11)式可以看出，當(dāng)曲軸以

24、(2-16)和(2-17)式的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律旋轉(zhuǎn)時(shí)，砂輪往復(fù)運(yùn)動(dòng)速度是一關(guān)于轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)的運(yùn)動(dòng)形式，所以砂輪的跟蹤運(yùn)動(dòng)既沒有速度突變，也無加速度突變，滿足工程實(shí)際要求。 由上述各式，可以作出恒磨除率磨削條件下任意曲軸轉(zhuǎn)角時(shí)砂輪中心位置（以主軸頸中心為原點(diǎn)）、曲軸角速度、磨削時(shí)間、砂輪移動(dòng)速度的變化規(guī)律如圖2-6所示。曲軸轉(zhuǎn)角(度)曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w(rad/s)(a)w- 砂輪中心位置(x(mm)曲軸轉(zhuǎn)角(度) (b) x-曲軸轉(zhuǎn)角(度)磨削時(shí)間t(s) (c) t- 曲軸轉(zhuǎn)角(度)砂輪移動(dòng)速度Vx(mm/s)(d ) vx- 圖2-6 恒磨除率磨削條件下曲軸角速度w、砂輪中心位置x、磨削時(shí)間t、砂

25、輪移動(dòng)速度vx變化規(guī)律圖 2.3.2 考慮加工余量的數(shù)學(xué)模型15實(shí)際磨削過程中，砂輪除了要相對(duì)曲軸連桿軸頸作上述“跟蹤”運(yùn)動(dòng)，還要以一定的進(jìn)給方式磨除一定的磨削余量。進(jìn)給磨削時(shí)曲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律按式(2-17)計(jì)算；若以整個(gè)磨削過程中砂輪運(yùn)動(dòng)到最左位置時(shí)所對(duì)應(yīng)的砂輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)(后同)，即：磨削完所有余量后，當(dāng)曲軸連桿頸轉(zhuǎn)角為時(shí)，以與之相切的砂輪中心作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)（參考圖2-1），這樣就可以保證磨削過程中所有的砂輪中心位移均為正值，防止超程造成事故。設(shè)某時(shí)刻曲軸轉(zhuǎn)角為時(shí)的待磨加工余量為 ，則此時(shí)砂輪中心位移X的大小為： （2-18）所以，考慮加工余量時(shí)砂輪跟蹤的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的基本規(guī)律是不變的。

26、磨削的進(jìn)給方式可以根據(jù)加工情況設(shè)定的變化規(guī)律（比如：若以恒定的橫向進(jìn)給速度磨削，磨削余量為，則的變化規(guī)律為：，其中 t為進(jìn)給磨削時(shí)間），根據(jù)的變化值求出砂輪為位置，在開始磨削時(shí)可以認(rèn)為，光磨時(shí)。24 切點(diǎn)跟蹤磨削的運(yùn)動(dòng)誤差分析2.4.1 相對(duì)磨削速度、磨削進(jìn)給速度和當(dāng)量厚度數(shù)學(xué)模型的建立由磨削原理可知，當(dāng)量磨削厚度是控制磨削質(zhì)量的基本參數(shù)33，其計(jì)算公式為： （2-19）式中 ap磨削深度vw工件上磨削點(diǎn)處的速度vs砂輪上磨削點(diǎn)處的速度 磨削力也與磨削質(zhì)量密切相關(guān)，其計(jì)算公式為34： （2-20）式中 k參數(shù) a1a2指數(shù)可見當(dāng)量磨削厚度和磨削力均與工件速度、砂輪速度、砂輪進(jìn)給速度三個(gè)參數(shù)有關(guān)

27、。圖2-7 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與運(yùn)動(dòng)分解示意圖一般把普通外圓磨削看成典型的磨削狀態(tài)，因此可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將曲軸的切點(diǎn)跟蹤磨削轉(zhuǎn)化成按普通外圓磨削狀態(tài)來研究。即把連桿頸與砂輪一起構(gòu)成如圖2-7所示的坐標(biāo)系mPn。其中m軸沿連桿頸中心與砂輪中心的連線方向，指向砂輪中心，坐標(biāo)原點(diǎn)P取在磨削點(diǎn)，n軸沿磨削點(diǎn)處的切線方向。把砂輪與連桿頸在磨削點(diǎn)的速度分別向m 軸和n軸投影，沿m軸速度投影之和便是磨削進(jìn)給速度，沿n 軸速度投影之和就是相對(duì)磨削速度。連桿頸上磨削點(diǎn)處的實(shí)際磨削深度與相對(duì)磨削速度和進(jìn)給速度有關(guān)，連桿頸上表面粗糙度與砂輪在各磨削點(diǎn)處的磨削時(shí)間有關(guān)，磨削時(shí)間長(zhǎng)則粗糙度值低，磨削時(shí)間短則粗糙度值高。由前面建立

28、的恒磨除率磨削條件下的數(shù)學(xué)模型和圖2-7，可以得出：1）砂輪上點(diǎn)P 處（圖2-7）的速度由磨削點(diǎn)水平移動(dòng)速度、垂直移動(dòng)速度和砂輪線速度vs合成，將這三個(gè)速度分別向坐標(biāo)系mPn 的二個(gè)坐標(biāo)軸投影合成，則有： （2-21） （2-22）其中和的計(jì)算可由式（2-1）兩邊求導(dǎo)得到，推導(dǎo)如下：由于， = d/dt 所以有 另：sin=bsin/(rw+rs)故得出： 式中為連桿頸速度變量，計(jì)算式為（2-4）式。即2）連桿頸上點(diǎn)P 處的速度為： 由余弦定理 2=b2+rw2+2brw(xcos-b)/(rw+rs)式中w為曲軸角速度(由式2-17計(jì)算)，r為曲軸回轉(zhuǎn)中心至磨削點(diǎn)的距離，且有： 由余弦定理(

29、rw+rs)2=x2+b2-2bxcos將此速度向坐標(biāo)系mPn 的二個(gè)坐標(biāo)軸投影，則有： （2-23） （2-24）3） 砂輪上點(diǎn)P 處和連桿頸上點(diǎn)P 處的相對(duì)速度為： （式中砂輪P點(diǎn)） （式中砂輪P點(diǎn)）這樣，在mPn坐標(biāo)系中，便可通過與 按典型的普通外圓磨削方式來分析切點(diǎn)跟蹤磨削時(shí)任一磨削點(diǎn)P處的磨削狀態(tài)， 和的計(jì)算表達(dá)式如下： （2-25） （2-26）式中w 按式(2-17)計(jì)算。 盡管按恒磨除率磨削條件建立運(yùn)動(dòng)方程能保證磨削點(diǎn)在連桿頸上作勻速運(yùn)動(dòng)，但各磨削點(diǎn)在任一瞬時(shí)的相對(duì)磨削速度和磨削進(jìn)給速度是不相等的，自然當(dāng)量磨削厚度也不相等，這將會(huì)影響連桿頸表面的形狀精度和波紋度。2.4.2 跟

30、蹤運(yùn)動(dòng)誤差分析（1）速度沿磨削點(diǎn)處法向、切向的分解按上述方法把切點(diǎn)跟蹤磨削轉(zhuǎn)化為普通外圓磨削方式來考察，則由式(2-25)計(jì)算得到的相對(duì)磨削速度（沿磨削點(diǎn)切向速度的投影之和）的變化規(guī)律可用圖2-8所示的曲線表示(計(jì)算時(shí)取偏心距b=40mm,連桿頸半徑rw=20mm，砂輪半徑 rs=300mm ，砂輪線速度=100m/s曲軸平均轉(zhuǎn)速=60r/min，下同)；由于工件的線速度比砂輪的線速度小得多，因此，磨削過程中相對(duì)磨削速度的變化很小，對(duì)磨削質(zhì)量的影響也很小。a) 砂輪上磨削點(diǎn)速度 b) 工件上磨削點(diǎn)速度 c) 磨削點(diǎn)切向速度之差 圖2-8 砂輪與工件上磨削點(diǎn)的合成速度沿切向投影砂輪上磨削點(diǎn)速度（

31、米/秒）2502001000-100-200-2502520100-1。0-2。0-2。5工件上磨削點(diǎn)速度（米/秒）磨削點(diǎn)速度之差（米/秒）2502001000-100-200-250曲軸轉(zhuǎn)角（度）曲軸轉(zhuǎn)角（度）曲軸轉(zhuǎn)角（度）a) 砂輪上磨削點(diǎn)速度 b) 工件上磨削點(diǎn)速度 c) 磨削點(diǎn)法向速度之差 圖2-9 砂輪與工件上磨削點(diǎn)的合成速度沿法向投影曲軸轉(zhuǎn)角（度）曲軸轉(zhuǎn)角（度）曲軸轉(zhuǎn)角（度）2502001000-100-200-2502502001000-100-200-2502520100-1。0-2。0-2。5砂輪上磨削點(diǎn)速度（米/秒）工件上磨削點(diǎn)速度（米/秒）磨削點(diǎn)速度之差（米/秒）由式（2

32、-26）計(jì)算得到的法向磨削速度（沿磨削點(diǎn)法向速度的投影之和）的變化規(guī)律可用圖2-9所示曲線表示。 可以看出，曲軸轉(zhuǎn)角在0°90°之間和270°360°之間時(shí)，砂輪上磨削點(diǎn)處的速度沿法線（m軸）的投影值比工件上磨削點(diǎn)處的速度沿法線（m軸）的投影值大，說明工件磨削過度；在90°270°之間，砂輪上磨削點(diǎn)處的速度沿法線（m軸）的投影值比工件上磨削點(diǎn)處的速度沿法線（m軸）的投影值小，說明砂輪對(duì)工件磨削不足。（2）當(dāng)量磨削厚度與磨削力的變化規(guī)律普通外圓磨削時(shí)，可按式(2-19)計(jì)算當(dāng)量磨削厚度。當(dāng)僅考察“跟蹤”運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為普通外圓磨削狀態(tài)來研

33、究，則式(2-19)中各項(xiàng)的含義為：在坐標(biāo)系mPn中，vs為砂輪上磨削點(diǎn)的線速度，vw是磨削點(diǎn)在連桿頸上移動(dòng)過的弧長(zhǎng)S對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，為區(qū)別起見，記為。由于我們是按照磨削點(diǎn)在連桿頸上勻速運(yùn)動(dòng)建立恒磨除率條件的數(shù)學(xué)模型的，故該值為定值，其大小為： （2-27）因此，跟蹤運(yùn)動(dòng)（不考慮磨削進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，且設(shè)磨削深度為負(fù)時(shí)仍存在磨削，但負(fù)磨削深度磨削時(shí)磨削力為負(fù)）時(shí)當(dāng)量磨削厚度的大小取決于磨削深度的大小，而等于法向磨削速度和時(shí)間t的乘積。用任意時(shí)刻的當(dāng)量磨削厚度和初始時(shí)刻的當(dāng)量磨削厚度的比值來描述當(dāng)量磨削厚度的變化規(guī)律，記為b，則有： （2-28） 普通外圓磨削時(shí)，可按式(2-20)來計(jì)算磨削力，其中k

34、為參數(shù)，a1a2為指數(shù)，在坐標(biāo)系mPn中，ap vw vs意義同上。同樣用任意時(shí)刻的磨削力和初始時(shí)刻的磨削力的比值來描述磨削力的變化規(guī)律，記為Fb，則有： (2-29)a) 當(dāng)量磨削厚度之比 b) 磨削力之比 圖2-10 當(dāng)量磨削厚度和磨削力的變化規(guī)律曲軸轉(zhuǎn)角（度）曲軸轉(zhuǎn)角（度）210-1-2210-1-2當(dāng)量磨削厚度之比磨削力之比當(dāng)量磨削厚度的比值b和當(dāng)量磨削力的比值Fb(計(jì)算時(shí)取=1/2)趨勢(shì)可用曲線圖表示（見圖 2-10）。分析計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)曲軸轉(zhuǎn)角為0º時(shí)，b最大，隨著轉(zhuǎn)角的增加，b逐步變??；轉(zhuǎn)角為90º時(shí)，b約為零，轉(zhuǎn)角大于90º后，b出現(xiàn)負(fù)值，先逐步

35、減小然后逐步增加，轉(zhuǎn)角大于270º后，b又變?yōu)檎?，并逐步增加?說明磨削過程中，磨削厚度在0°180°之間逐步減小，在之間逐步加大。因此，按上述運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)控加工，將產(chǎn)生圓度誤差，圖2-5中連桿頸上A點(diǎn)會(huì)被多磨去一些，而B點(diǎn)會(huì)少磨去一些。（3）運(yùn)動(dòng)誤差數(shù)控補(bǔ)償與運(yùn)動(dòng)方程修正圖2-11 補(bǔ)償曲線20100-10-20補(bǔ)償值曲軸轉(zhuǎn)角（度）在切點(diǎn)跟蹤磨削過程中，曲軸按恒磨除率磨削條件下建立的規(guī)律變速轉(zhuǎn)動(dòng)，砂輪中心除了要按照運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型作跟蹤和進(jìn)給運(yùn)動(dòng)外，還要對(duì)上述切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)分析中由于連桿頸上各點(diǎn)處的磨削厚度變化引起的運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行數(shù)控補(bǔ)償，以確保磨削過程中任意時(shí)刻的

36、磨削厚度相等?？疾飚?dāng)量磨削厚度的計(jì)算公式(2-19)，式中vs為常量，因磨削點(diǎn)在連桿頸上勻速運(yùn)動(dòng)，故vw也為常量，所以當(dāng)量磨削厚度的變化取決于磨削深度的變化。任意時(shí)刻沿磨削點(diǎn)法向的磨削深度可由式(2-30)計(jì)算。 api = ap +vmidt +abci (2-30)式中 ap在普通外圓磨削狀態(tài)下的磨削深度vmidti時(shí)刻因切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的附加磨削深度（有正有負(fù)） abci對(duì)應(yīng)于i時(shí)刻的磨削深度補(bǔ)償要消除切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的附加磨削深度，則應(yīng)滿足：abci=-vmidt （2-31）abci的變化規(guī)律可由圖2-11形象地表示，曲線圖僅定性地討論了磨削厚度補(bǔ)償量的變化規(guī)律，要定量地確定其變化

37、值還須依賴實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。從圖中可以看出，磨削厚度補(bǔ)償量近似于一余弦曲線，具體磨削補(bǔ)償時(shí)可以簡(jiǎn)便地用余弦規(guī)律進(jìn)行補(bǔ)償。為便于數(shù)控編程，上述磨削深度補(bǔ)償要向水平軸投影，任意時(shí)刻的投影值記為xbci 則有： xbci=abcicosb (2-32)所以考慮數(shù)控補(bǔ)償?shù)纳拜喼行乃椒较虻奈灰芚的運(yùn)動(dòng)方程為： (2-33)若同時(shí)考慮進(jìn)給運(yùn)動(dòng)和數(shù)控補(bǔ)償，則砂輪中心沿水平方向位移X（其坐標(biāo)原點(diǎn)規(guī)定同§2.3.2中的定義）的計(jì)算式為： (2-34)xbc確保磨削過程中當(dāng)量磨削厚度相等，砂輪中心沿水平方向的補(bǔ)償位移，按式（2-32）計(jì)算由進(jìn)給磨除余量和磨削進(jìn)給方式?jīng)Q定的隨時(shí)間變化的瞬時(shí)磨削余量，比如：若以

38、恒定的橫向進(jìn)給速度磨削，磨削余量為，則的變化規(guī)律為：，其中 t為進(jìn)給磨削時(shí)間，在開始磨削時(shí)可以認(rèn)為，光磨時(shí)。第三章 切點(diǎn)跟蹤磨削數(shù)控插補(bǔ)算法及控制策略高性能的磨床CNC系統(tǒng)是保證切點(diǎn)跟蹤磨削得以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵之一。其中插補(bǔ)技術(shù)作為計(jì)算機(jī)數(shù)控技術(shù)的一個(gè)核心模塊，其算法的精度和速度極大地影響著加工的精度和效率。由第二章的運(yùn)動(dòng)模型分析可知，砂輪中心的跟蹤曲線是一條關(guān)于曲軸轉(zhuǎn)角的余弦曲線加上一復(fù)雜分量所組成（見式2-9）。對(duì)于這樣復(fù)雜的特殊運(yùn)動(dòng)曲線插補(bǔ)，一般數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)算法是難以保證跟蹤運(yùn)動(dòng)時(shí)插補(bǔ)的精度和速度的，必須研究采用特殊的曲線插補(bǔ)算法及相應(yīng)的控制方式來保證插補(bǔ)控制的精度和插補(bǔ)速度。本章將對(duì)切點(diǎn)跟

39、蹤磨削法磨削曲軸連桿頸的逐點(diǎn)比較法和時(shí)間分割法兩種插補(bǔ)算法進(jìn)行詳細(xì)的探討，并討論一種采用雙緩沖前后臺(tái)通信實(shí)時(shí)控制的策略來實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)高速插補(bǔ)運(yùn)算的方法。3.1 連桿頸加工的數(shù)控插補(bǔ)算法15,24,25,35在數(shù)控磨削時(shí)，砂輪移動(dòng)的最小單位為一個(gè)脈沖當(dāng)量，工件的最小旋轉(zhuǎn)角度也是一個(gè)脈沖當(dāng)量。切點(diǎn)跟蹤磨削法在磨削曲軸連桿頸的過程中，工件按最小的旋轉(zhuǎn)單位進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，由機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)按照一定的插補(bǔ)算法來確定砂輪往復(fù)移動(dòng)的軌跡，這樣通過工件的轉(zhuǎn)動(dòng)和砂輪的同步運(yùn)動(dòng)，就可以加工出期望的連桿頸。由第二章的分析可知，恒磨除率磨削條件下切點(diǎn)跟蹤運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為：(1) 由式（2-9），得砂輪中心位置坐標(biāo)x（在坐標(biāo)系XOY

40、中）與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系： (2-9)(2) 曲軸變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系： (2-17)對(duì)于式(2-9)所描述的砂輪中心坐標(biāo)與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系，可以用如圖3-1中極坐標(biāo)圖所示的幾何關(guān)系等效代替。其中點(diǎn)P(, x)是以點(diǎn)(b,0)為圓心，以R(R=)為半徑的圓弧上的點(diǎn)。其中R= 圖3-1 砂輪中心位置坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖由圖3-1不難得出,P點(diǎn)的x坐標(biāo)計(jì)算式為： 該式與式（2-9）的表達(dá)形式相同。因此，對(duì)切點(diǎn)跟蹤磨削法磨削曲軸連桿頸時(shí)砂輪中心軌跡的特殊曲線數(shù)控插補(bǔ)算法就簡(jiǎn)化為對(duì)圖3-1所描述的圓弧進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，生成一系列插補(bǔ)數(shù)據(jù)段逼近圖中所示圓弧，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)控磨削加工。下面分別對(duì)曲軸連桿頸的兩

41、種插補(bǔ)方法逐點(diǎn)比較插補(bǔ)法和時(shí)間分割插補(bǔ)法作一個(gè)初步的介紹與探討。3.1.1 逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)24逐點(diǎn)比較法的基本思想是被控制對(duì)象在按要求的軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，每走一步都要和規(guī)定的軌跡比較一下，由比較結(jié)果決策下一步移動(dòng)的方向35。當(dāng)機(jī)床驅(qū)動(dòng)部件采用步進(jìn)控制的方式時(shí)，可以采用逐點(diǎn)比較法來對(duì)曲軸的連桿頸加工進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，生成滿足插補(bǔ)精度要求的插補(bǔ)數(shù)據(jù)。首先根據(jù)連桿頸的運(yùn)動(dòng)方程（2-9），通過數(shù)字運(yùn)算，產(chǎn)生一系列-x坐標(biāo)值，即：插補(bǔ)基點(diǎn)(i,xi)，i 的變化范圍是0360º，i=0m,即0=0º；其中m的大小，即插補(bǔ)基點(diǎn)的分布密度，是根據(jù)要求的輪廓精度、曲軸連桿頸半徑的大小和偏心距離以及機(jī)

42、床的加工精度來確定的。各插補(bǔ)基點(diǎn)的和x坐標(biāo)值 ，存放在機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)內(nèi)存中。采用逐點(diǎn)比較法對(duì)曲軸的連桿頸數(shù)控加工進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，可以通過建立判別式，利用判斷判別式的正負(fù)來確認(rèn)當(dāng)前點(diǎn)位于圓弧的內(nèi)部還是圓外，從而決定下一步的逼近方向。根據(jù)曲軸旋轉(zhuǎn)的順時(shí)針和逆時(shí)針兩種情況，設(shè)計(jì)相應(yīng)的插補(bǔ)算法。其具體方法如下：（1） 偏差函數(shù)設(shè)當(dāng)前砂輪的實(shí)際位置(即插補(bǔ)計(jì)算出的砂輪中心實(shí)際運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)軌跡)為(,M )，其圓弧插補(bǔ)的偏差函數(shù)定義為： (3-1)偏差函數(shù)與砂輪位置的關(guān)系為：F>0 砂輪在圓外F=0 砂輪在圓上F<0 砂輪在圓內(nèi)（2） 進(jìn)給方向圓弧可以分為順圓和逆圓兩種，其進(jìn)給方向和插補(bǔ)

43、計(jì)算的方法如下：1 順圓插補(bǔ)偏差進(jìn)給方向偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算Fi>=0-xFi<0-+x2 逆圓插補(bǔ)偏差進(jìn)給方向偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算Fi>=0+-xFi<0+x（3） 終點(diǎn)判別 由于采用了極坐標(biāo)的形式以及加工過程的特殊性，進(jìn)行終點(diǎn)判別時(shí)，無須考慮象限的影響，只需判斷工件的旋轉(zhuǎn)角度是否等于終止角度即可。（4） 程序框圖逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法的程序框圖如圖3-2所示。框圖說明：程序框圖中初值的設(shè)定為：a. 順圓插補(bǔ)時(shí)： i的初值為m b. 逆圓插補(bǔ)時(shí)：i的初值為0 圖3-2 連桿頸逐點(diǎn)比較插補(bǔ)程序框圖（5） 插補(bǔ)誤差分析采用上述逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法，其插補(bǔ)誤差最主要的來源是用階梯形的圓弧軌跡

44、代替3-1圖所示的偏心圓軌跡所產(chǎn)生的誤差,這種逼近誤差將引起實(shí)際磨削時(shí)連桿頸產(chǎn)生相應(yīng)的加工誤差，下面對(duì)這種逼近誤差及其對(duì)加工精度的影響作一簡(jiǎn)要的分析。以逆圓插補(bǔ)為例（參考圖3-3），設(shè)逐點(diǎn)比較法的插補(bǔ)逼近誤差為，磨削插補(bǔ)時(shí)工件的最小旋轉(zhuǎn)角度增量為，并記,則對(duì)應(yīng)于第i個(gè)小的插補(bǔ)弧段，插補(bǔ)逼近誤差的計(jì)算公式為： 插補(bǔ)完整個(gè)連桿頸圓周后，最大的插補(bǔ)誤差的計(jì)算表達(dá)式為：圖3-3 逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)誤差計(jì)算原理圖插補(bǔ)誤差(mm)設(shè)曲軸的基本尺寸參數(shù)為：b=36.5mm, rw=20mm，rs=300mm，=0.1º,則插補(bǔ)逼近誤差與曲軸轉(zhuǎn)角的關(guān)系如圖3-4所示。曲軸轉(zhuǎn)角(度)圖3-4 逐點(diǎn)比較法插

45、補(bǔ)逼近誤差采用這種逐點(diǎn)比較法進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)產(chǎn)生的逼近誤差所引起的加工后連桿頸的最大尺寸誤差的計(jì)算式為： 插補(bǔ)誤差(mm)曲軸轉(zhuǎn)角(度)圖3-5 逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)時(shí)連桿頸的加工誤差圖3-5表示了上述插補(bǔ)方法由于插補(bǔ)逼近誤差所產(chǎn)生的連桿頸的加工誤差的大小隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系。 從上兩圖可以看出：上述逐點(diǎn)比較插補(bǔ)法的插補(bǔ)誤差在曲軸轉(zhuǎn)角為90º和附近最大。仿真結(jié)果表明：數(shù)控系統(tǒng)中曲軸的最小轉(zhuǎn)角越小，曲軸偏心越小，這種插補(bǔ)方法所產(chǎn)生的插補(bǔ)誤差就越?。簧蟽蓤D中由于曲軸偏心距較大，所以形成的插補(bǔ)誤差也比較大，而對(duì)于小偏心距的曲軸逐點(diǎn)比較插補(bǔ)，其加工誤差可以很小。因此這種方法適用于小偏心距的曲軸連桿頸的數(shù)

46、控插補(bǔ)；對(duì)于具有較大偏心的曲軸連桿頸，要研究采用其它的插補(bǔ)算法。3.1.2 時(shí)間分割法插補(bǔ)時(shí)間分割插補(bǔ)法36又稱為數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法，是計(jì)算機(jī)閉環(huán)數(shù)字控制系統(tǒng)中普遍采用的插補(bǔ)算法。其插補(bǔ)的特點(diǎn)是每隔時(shí)間T(T稱為插補(bǔ)中斷周期，一般以ms為單位)進(jìn)行一次插補(bǔ)運(yùn)算。對(duì)于輪廓控制的插補(bǔ)來說，當(dāng)?shù)毒叩倪M(jìn)給速度一定時(shí)，插補(bǔ)中斷周期T越短，生成的插補(bǔ)數(shù)據(jù)精度越高；而當(dāng)插補(bǔ)精度要求一定時(shí)，插補(bǔ)中斷周期T越短，加工就能以越高的速度進(jìn)行，其加工效率也越高。因此，插補(bǔ)中斷周期的選擇是時(shí)間分割法插補(bǔ)的重要問題，應(yīng)盡可能減小插補(bǔ)周期。在一般的CNC 系統(tǒng)中，插補(bǔ)計(jì)算在插補(bǔ)中斷周期T內(nèi)進(jìn)行的，對(duì)于象曲軸連桿頸的切

47、點(diǎn)跟蹤磨削這樣的輪廓控制系統(tǒng)而言，其數(shù)控插補(bǔ)計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算任務(wù)比較繁重，所需花費(fèi)的時(shí)間占了整個(gè)中斷周期的很大一部分。另外，在插補(bǔ)中斷周期內(nèi)系統(tǒng)還要留出一部分的時(shí)間實(shí)時(shí)地完成如顯示、監(jiān)控和精插補(bǔ)等工作。因此，一般的CNC系統(tǒng)很難在對(duì)輪廓加工的控制時(shí)采用更小的插補(bǔ)中斷周期。采用時(shí)間分割法來對(duì)連桿頸的切點(diǎn)跟蹤磨削進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，可以采用在系統(tǒng)數(shù)據(jù)前處理階段來完成數(shù)據(jù)插補(bǔ)計(jì)算，而不參與在中斷周期內(nèi)的實(shí)時(shí)插補(bǔ)的方法。即：在實(shí)時(shí)插補(bǔ)之前生成每個(gè)中斷周期T內(nèi)主軸(C軸)的旋轉(zhuǎn)增量和砂輪移動(dòng)量x,完成傳統(tǒng)數(shù)控中的粗插補(bǔ)過程。這樣就可大大減輕實(shí)時(shí)控制時(shí)數(shù)控系統(tǒng)的任務(wù)，能夠有效地縮短插補(bǔ)周期，提高加工的精度和速度

48、。其具體步驟介紹如下：（1） 插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算設(shè)選定的數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)中斷周期為T（ms）,則由第二章所得出的恒磨除率磨削條件下的砂輪跟蹤運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律，可以經(jīng)插補(bǔ)離散化得出每個(gè)插補(bǔ)中斷周期時(shí)的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，由此實(shí)現(xiàn)對(duì)曲軸磨削加工的數(shù)字化控制。設(shè)某一插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)的曲軸轉(zhuǎn)角為，則與之對(duì)應(yīng)的砂輪中心位置坐標(biāo)為，曲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，由第二章的推導(dǎo)可以得出它們的計(jì)算方法為： (2-12)而在曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，有： (2-16)則對(duì)應(yīng)于第i個(gè)插補(bǔ)中斷周期時(shí)的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲軸轉(zhuǎn)角可以由t=iT代入式（2-12）計(jì)算出對(duì)應(yīng)的，再代入式（2-16）求得。然后將求出的代入式（2-9）和（2-17

49、），即可求得相應(yīng)的砂輪中心位置坐標(biāo)和曲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。若切點(diǎn)跟蹤磨削時(shí)曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平均轉(zhuǎn)速是 r/min，插補(bǔ)中斷周期為Tms，則曲軸旋轉(zhuǎn)的一周內(nèi)，生成的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為：（2） 插補(bǔ)誤差的分析計(jì)算由上述計(jì)算可知：計(jì)算得出是精確的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲軸轉(zhuǎn)角，由磨削到正好經(jīng)歷一個(gè)插補(bǔ)中斷周期T。由于采用發(fā)脈沖序列的方式來驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)，中斷周期T內(nèi)發(fā)送的脈沖頻率是一個(gè)定值，因此在數(shù)控磨削過程中，任何中斷周期T內(nèi)主軸（曲軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)和砂輪的水平運(yùn)動(dòng)都是勻速過程，則在第i個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)曲軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和砂輪的平均水平運(yùn)動(dòng)速度分別為： (3-2) (3-3)這種控制方式導(dǎo)致的結(jié)果為：雖然在各個(gè)插補(bǔ)中斷周期上對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)處的理論誤差為0，但在一個(gè)插補(bǔ)中斷周期T內(nèi),即兩個(gè)相鄰的插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)之間，理論控制量（，）與實(shí)際磨削時(shí)控制的（，）不匹配，破壞了嚴(yán)格的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，產(chǎn)生了插補(bǔ)誤差。設(shè)為實(shí)際磨削過程中第i個(gè)插補(bǔ)中斷周期內(nèi)介于插補(bǔ)節(jié)點(diǎn)和之間的曲軸轉(zhuǎn)角。則的計(jì)算表達(dá)式為： (3-4) 而此時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)際的砂輪