將軍飲馬問(wèn)題解析

1、第一講將維飲馬問(wèn)題學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥8K第一講吳老師FOREST一、主要內(nèi)容 (1)將軍飲馬問(wèn)題的概念。(2)將軍飲馬問(wèn)題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用。(3)將軍飲馬問(wèn)題與勾股定理。二、本章重點(diǎn)掌握將軍飲馬問(wèn)題的概念和解題思路，能解決將軍飲馬問(wèn)題和一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題。題課前預(yù)習(xí)軸對(duì)稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì)。外模塊精講、將軍飲馬問(wèn)題的概念和基本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題:如圖

2、，有一位將軍從位于 A點(diǎn)的軍營(yíng)，返回位于 B點(diǎn)的家中，途中需要到達(dá)一條小河MN力,讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家的過(guò)程中，走過(guò)的路程最短?“將軍飲馬”問(wèn)題。精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作A點(diǎn)和B初一看，這個(gè)問(wèn)題好像沒(méi)有什么思路，那我們先把問(wèn)題的概念轉(zhuǎn)換一下。這個(gè)問(wèn)題中點(diǎn)在河MN的同一側(cè)，那么，如果 A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的不同側(cè)呢?兩點(diǎn)之間直線最短，先找線路再找點(diǎn)。這時(shí)我們好像有一點(diǎn)眉目了，我們要利用的定理就是: 那我們?cè)倩氐阶铋_始時(shí)的問(wèn)題，是不是有了啟發(fā)呢？ 思路：為了找線路，可以利用軸對(duì)稱的原理，先做對(duì)稱，再轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系。例1,

3、如圖，一匹馬從 S點(diǎn)出發(fā)，先去河 OP邊喝水，再去草地 OQ乞草，然后再回到 S點(diǎn)。該如何選擇線路，使得經(jīng)過(guò)的總路程最短？例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,已知A(2,3)、B(3,2) , M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 AN+NM+BtW最小值，并求出此時(shí) M N的坐標(biāo)。思路：作對(duì)稱兩段折線一作一次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線三段折線一作兩次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線連線段一最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值，并求此時(shí)對(duì)應(yīng)的 m的值。運(yùn)用平移的性質(zhì)例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上找一點(diǎn) C,是|A

4、C-BC|最大，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)和這個(gè) 最大值。構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系三、將軍飲馬問(wèn)題解題思路的歸納學(xué)習(xí)了幾個(gè)常見的例子，我們?cè)賮?lái)整理一下思路。首先明白幾個(gè)概念，動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn)，即那個(gè)不定的點(diǎn)。定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn)。對(duì)稱的點(diǎn)，作圖所得的點(diǎn)，需要連線的點(diǎn)。I1 .怎么對(duì)稱，作誰(shuí)的對(duì)稱？簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱的點(diǎn)，都是題目的定點(diǎn)?；蛘哒f(shuō)只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱的 。(不確定的點(diǎn)作對(duì)稱式?jīng)]有意義的)那么作誰(shuí)的對(duì)稱點(diǎn)?首先要明確關(guān)于對(duì)稱的對(duì)象肯定是一條線，而不是一個(gè)點(diǎn)”那么是哪一條線? 一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線。2 .對(duì)稱完以后和誰(shuí)連接？一句話：和另外一個(gè)頂

5、點(diǎn)相連 。絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連。明確一個(gè)概念：定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn)。3 .所求點(diǎn)怎么確定？首先一定要明白， 所求點(diǎn)最后反應(yīng)在圖上一定是個(gè)交點(diǎn)。實(shí)際就是我們 所畫直線和已知直線的交點(diǎn)。4 .將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是。或者說(shuō)求最短距離是將軍飲馬中的最簡(jiǎn)單一類題目。根據(jù)將軍飲馬的基本模型可以拓 展出很多題型。根本原因是因?yàn)樵谧鬏S對(duì)稱過(guò)程中不但是作了點(diǎn)的對(duì)稱，還作了邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱！ 或者說(shuō)邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱才是最關(guān)鍵四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖，將軍的軍營(yíng)在 A處，與河岸的距離 OA=4km將軍的家在 B處。且QA=7km QB=8km 他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然

6、后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。O小河例7, / AOB = 45° , P是/AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO = 10, Q R分別是 OA OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQRW 長(zhǎng)的最小值。五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖，在等邊 ABC中，AB=6, AD)± BC, E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且 AE=2求EM+EC勺最小值。例8圖例9圖例9,如圖，在銳角 ABC中，AB=42, / BAC= 45° , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, M N分另 是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MNJ最小值是 。例10,如圖，正方形 ABCM邊長(zhǎng)為8, M在D

7、C上,且DM= 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)， DW MN41 最小值為。例10圖例11圖例11,在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCM,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB PQ則 PBQ周長(zhǎng)的最小值為cm例12, 一次函數(shù)y= kx + b 的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn) A (2, 0) , B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) OA AB的中點(diǎn)分別為 C D, P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+ PD的最小值,并求取得最小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo).例13,如圖，在坐標(biāo)系 xOy中，有一條河,河岸分別為x軸和直線MN直線MNf y軸的 P交點(diǎn)為A(0,2) , P、Q兩地

8、位于河的兩岸，且P(0,5)、Q(5,-1)?，F(xiàn)在需要在河上架一座橋，路程最短。- Q(橋必須垂直于河岸)，來(lái)溝通P、Q兩地，求M A B 橋的端點(diǎn) B C的坐標(biāo)，使得從 P地到Q地的將軍飲馬的四則類型:AP+PQ +Q8 最小最小PQAP-PBl 最大:將軍飲馬問(wèn)題二軸對(duì)稱問(wèn)題=最短距離問(wèn)題(軸對(duì)稱是工具，最短距離是題眼)。所謂軸對(duì)稱是工具，即這類問(wèn)題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“線段a+b的最小值”這樣的條件或者問(wèn)題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題，然后利用軸對(duì)稱解題。題6圖鰭學(xué)習(xí)效果能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”、“河”、“草地

9、”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”、“線”，把最短路徑 問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問(wèn)題，能利用軸對(duì)稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn)，變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的 異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，能通過(guò)邏輯 推理證明所求距離最短，在探索問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱、平移的作用，體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思 想.醫(yī)L課后鞏固習(xí)題1,已知A(-1,4) , B(1,1),在x軸上找一點(diǎn) C,使AC+BCt小。則 C點(diǎn)的坐標(biāo)是 , AC+BCW 最小值是。2,已知A(-1,3) , B(-3,1) , M> x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) AN+NM+MB小時(shí)，M的坐標(biāo) 是, N的坐標(biāo)是

10、 o3,已知 A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m), N(0,m+1),當(dāng) BM+MN+AN小時(shí)，點(diǎn) M的坐標(biāo)是 ,最 小值是。4,已知A(-4,5) , B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn) C,則當(dāng)|AC-BC|最大時(shí)，點(diǎn) C的坐標(biāo)是,最大 值是 O5,如圖，點(diǎn) A,B位于直線l的同側(cè)，到直線l的距離AC = 10, BD = 30,且CD = 30,在直線l上找 到一點(diǎn) M 是am+bM1短，則最短距離是 。BA直線l6,如圖，/ AOB= 45° ,點(diǎn)P在/ AO郎，且OP= 3,點(diǎn)M,N分別為射線 OA OB上的動(dòng)點(diǎn)，則4 PMN 的周長(zhǎng)的最小值為。7,如圖，/

11、 AOB = 40°，點(diǎn) P, Q都在/AOB內(nèi)，/ AOP = / BOQ = 10° ,且 OP = OQ = 6 ,作點(diǎn) P 關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1 ,作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q ,則P1Q = 。8,如圖，/ AOB = 60°，點(diǎn) P, Q都在/ AOB內(nèi)，/ AOP = / BOQ = 15° ,且 OP = 8, OQ = 6。在射 線OA OB上分別存在點(diǎn) M, N,是PM+MN+NIQ值最小，則最小值是 。9,如圖， ABC中，AB=2, / BAC=30 ,若在 AC AB上各取一點(diǎn) M N,使BM+MN勺值最小，則這個(gè) 最小值是多少？例10圖是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形 ABCDrt,在又角線 AC題9圖10,如圖所示，正方形 ABC曲面積為12, AABE 上有一點(diǎn)巳使PDF PE的和最小，則這個(gè)最小值為 11,如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm, / ABC=45 , E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值.12,如圖，在銳角 ABC中，AB = 4 , / BAC = 45