將軍飲馬問題解析

1、第一講將維飲馬問題學(xué)習(xí)要點與方法點撥8K第一講吳老師FOREST一、主要內(nèi)容 (1)將軍飲馬問題的概念。(2)將軍飲馬問題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用。(3)將軍飲馬問題與勾股定理。二、本章重點掌握將軍飲馬問題的概念和解題思路，能解決將軍飲馬問題和一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題。題課前預(yù)習(xí)軸對稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì)。外模塊精講、將軍飲馬問題的概念和基本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題:如圖

2、，有一位將軍從位于 A點的軍營，返回位于 B點的家中，途中需要到達(dá)一條小河MN力,讓馬去河里喝水。那么，該如何選擇路徑，才能使將軍回家的過程中，走過的路程最短?“將軍飲馬”問題。精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個問題后來被人們稱作A點和B初一看，這個問題好像沒有什么思路，那我們先把問題的概念轉(zhuǎn)換一下。這個問題中點在河MN的同一側(cè)，那么，如果 A點和B點在河MN的不同側(cè)呢?兩點之間直線最短，先找線路再找點。這時我們好像有一點眉目了，我們要利用的定理就是: 那我們再回到最開始時的問題，是不是有了啟發(fā)呢？ 思路：為了找線路，可以利用軸對稱的原理，先做對稱，再轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系。例1,

3、如圖，一匹馬從 S點出發(fā)，先去河 OP邊喝水，再去草地 OQ乞草，然后再回到 S點。該如何選擇線路，使得經(jīng)過的總路程最短？例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,已知A(2,3)、B(3,2) , M是x軸上的一個動點，N是y軸上的一個動點，求 AN+NM+BtW最小值，并求出此時 M N的坐標(biāo)。思路：作對稱兩段折線一作一次對稱一轉(zhuǎn)化折線三段折線一作兩次對稱一轉(zhuǎn)化折線連線段一最小值例 3,已知 A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值，并求此時對應(yīng)的 m的值。運用平移的性質(zhì)例4,已知A(4,1)、B(-3,-2)，試在x軸上找一點 C,是|A

4、C-BC|最大，求出點 C的坐標(biāo)和這個 最大值。構(gòu)造三角形，運用三角形的邊長關(guān)系三、將軍飲馬問題解題思路的歸納學(xué)習(xí)了幾個常見的例子，我們再來整理一下思路。首先明白幾個概念，動點、定點、對稱點。動點一般就是題目中的所求點，即那個不定的點。定點即為題目中固定的點。對稱的點，作圖所得的點，需要連線的點。I1 .怎么對稱，作誰的對稱？簡單說所有題目需要作對稱的點，都是題目的定點。或者說只有定點才可以去作對稱的 。(不確定的點作對稱式?jīng)]有意義的)那么作誰的對稱點?首先要明確關(guān)于對稱的對象肯定是一條線，而不是一個點”那么是哪一條線? 一般而言都是動點所在直線。2 .對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個頂

5、點相連 。絕對不能和一個動點相連。明確一個概念：定點的對稱點也是一個定點。3 .所求點怎么確定？首先一定要明白， 所求點最后反應(yīng)在圖上一定是個交點。實際就是我們 所畫直線和已知直線的交點。4 .將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是?；蛘哒f求最短距離是將軍飲馬中的最簡單一類題目。根據(jù)將軍飲馬的基本模型可以拓 展出很多題型。根本原因是因為在作軸對稱過程中不但是作了點的對稱，還作了邊長和角度的對稱！ 或者說邊長和角度的對稱才是最關(guān)鍵四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖，將軍的軍營在 A處，與河岸的距離 OA=4km將軍的家在 B處。且QA=7km QB=8km 他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水，然

6、后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。O小河例7, / AOB = 45° , P是/AOB內(nèi)一點，PO = 10, Q R分別是 OA OB上的動點，求 PQRW 長的最小值。五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖，在等邊 ABC中，AB=6, AD)± BC, E是AC上的一點，M是AD上的一點，且 AE=2求EM+EC勺最小值。例8圖例9圖例9,如圖，在銳角 ABC中，AB=42, / BAC= 45° , / BAC的平分線交 BC于點D, M N分另 是AD和AB上的動點，則 BM+MNJ最小值是 。例10,如圖，正方形 ABCM邊長為8, M在D

7、C上,且DM= 2, N是AC上的一動點， DW MN41 最小值為。例10圖例11圖例11,在邊長為2 cm的正方形ABCM,點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB PQ則 PBQ周長的最小值為cm例12, 一次函數(shù)y= kx + b 的圖象與x、y軸分別交于點 A (2, 0) , B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點，設(shè) OA AB的中點分別為 C D, P為OB上一動點，求PC+ PD的最小值,并求取得最小值時 P點坐標(biāo).例13,如圖，在坐標(biāo)系 xOy中，有一條河,河岸分別為x軸和直線MN直線MNf y軸的 P交點為A(0,2) , P、Q兩地

8、位于河的兩岸，且P(0,5)、Q(5,-1)?，F(xiàn)在需要在河上架一座橋，路程最短。- Q(橋必須垂直于河岸)，來溝通P、Q兩地，求M A B 橋的端點 B C的坐標(biāo)，使得從 P地到Q地的將軍飲馬的四則類型:AP+PQ +Q8 最小最小PQAP-PBl 最大:將軍飲馬問題二軸對稱問題=最短距離問題(軸對稱是工具，最短距離是題眼)。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)“線段a+b的最小值”這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。題6圖鰭學(xué)習(xí)效果能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地

9、”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”、“線”，把最短路徑 問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側(cè)的兩點，變?yōu)閮牲c處在直線的 異側(cè)，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，能通過邏輯 推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思 想.醫(yī)L課后鞏固習(xí)題1,已知A(-1,4) , B(1,1),在x軸上找一點 C,使AC+BCt小。則 C點的坐標(biāo)是 , AC+BCW 最小值是。2,已知A(-1,3) , B(-3,1) , M> x軸上一動點，N是y軸上一動點，則當(dāng) AN+NM+MB小時，M的坐標(biāo) 是, N的坐標(biāo)是

10、 o3,已知 A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m), N(0,m+1),當(dāng) BM+MN+AN小時，點 M的坐標(biāo)是 ,最 小值是。4,已知A(-4,5) , B(2,-2),在x軸上找一點 C,則當(dāng)|AC-BC|最大時，點 C的坐標(biāo)是,最大 值是 O5,如圖，點 A,B位于直線l的同側(cè)，到直線l的距離AC = 10, BD = 30,且CD = 30,在直線l上找 到一點 M 是am+bM1短，則最短距離是 。BA直線l6,如圖，/ AOB= 45° ,點P在/ AO郎，且OP= 3,點M,N分別為射線 OA OB上的動點，則4 PMN 的周長的最小值為。7,如圖，/

11、 AOB = 40°，點 P, Q都在/AOB內(nèi)，/ AOP = / BOQ = 10° ,且 OP = OQ = 6 ,作點 P 關(guān)于OA的對稱點P1 ,作點Q關(guān)于OB的對稱點Q ,則P1Q = 。8,如圖，/ AOB = 60°，點 P, Q都在/ AOB內(nèi)，/ AOP = / BOQ = 15° ,且 OP = 8, OQ = 6。在射 線OA OB上分別存在點 M, N,是PM+MN+NIQ值最小，則最小值是 。9,如圖， ABC中，AB=2, / BAC=30 ,若在 AC AB上各取一點 M N,使BM+MN勺值最小，則這個 最小值是多少？例10圖是等邊三角形，點 E在正方形 ABCDrt,在又角線 AC題9圖10,如圖所示，正方形 ABC曲面積為12, AABE 上有一點巳使PDF PE的和最小，則這個最小值為 11,如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm, / ABC=45 , E為邊BC上的一個動點，P為BD上的 一個動點，求 PC+PE的最小值.12,如圖，在銳角 ABC中，AB = 4 , / BAC = 45