MATLAB軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用全套畢業(yè)作品

1、木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN.文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAOBI YE SHE JI(20屆）MATLAB軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用所在學(xué)院專業(yè)班級信息與計算科學(xué)學(xué)號職稱學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 完成日期摘要:線性代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，MATLAB軟件是U前教學(xué)與科研中最具影響力、最有活力、最具可鼎性的數(shù)學(xué)軟件，并應(yīng)用到社會各個方面。本文首先介紹 了線性代數(shù)和MATLAB產(chǎn)生的背景，以及它們的發(fā)展歷程和發(fā)展方向。接著敘述了解 決線性代數(shù)問題的方法及其算法。我們通過分析問題建立數(shù)學(xué)模型，使用MATLAB軟 件進(jìn)行求解。最后運(yùn)用線性代數(shù)和MATLAB來

2、解決相關(guān)實(shí)際問題，即它們被應(yīng)用的過 程。關(guān)鍵詞:線性代數(shù)，MATLAB,數(shù)學(xué)模型MATLAB in linear algebra applicationAbstract: Linear algebra is an important basic course of mathematics. MATLAB software is the most influential . dynamic, and reliable mathematic software in the currently teaching and scientific research, and appHeated to so

3、cial each aspect. This paper first introduces the linear algebra and the background of MATLAB, and their development course and the developinent direction. Then describes the method of solving linear algebra problem and its algorithin.We establish the mathematical model through analying the problem.

4、and use the MATLAB software to solve it. Finally using linear algebra andMATLAB to solve the related pradical probleins . which is that they are applied process.Keywords： Linear algebra, MATLAB, the mathcniaticai model目錄緒論問題的背景、意義1.1.1背景1. 1.2意義 線性代數(shù)概論2.1線性代數(shù)發(fā)展歷程及現(xiàn)狀 2.2線性代數(shù)和MATLAB軟件相結(jié)合的發(fā)展方向MATLAB環(huán)境下

5、矩陣的建立3.13.23.3343.5矩陣的創(chuàng)建（輸入）求方陣的行列式求逆矩陣矩陣的基本運(yùn)算MATLAB環(huán)境下矩陣的簡單運(yùn)算克萊姆法則在的MATLAB軟件上的實(shí)現(xiàn)MATLAB軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用實(shí)例5.1減肥配方的實(shí)現(xiàn)52人口遷徙模型結(jié)論參考文獻(xiàn)1414151718191緒論r 1問題的背景、意義1.1.1背景線性代數(shù)是大學(xué)理、工、經(jīng)笛、醫(yī)、農(nóng)等學(xué)科所有專業(yè)必修的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。它作為 離散性數(shù)學(xué)在工科數(shù)學(xué)中的代表，隨著計算機(jī)科學(xué)日新月異的發(fā)展，許多非線性問題高精度地線 性化與大型線性問題的可計算性正在加快逐步實(shí)現(xiàn)，因此無論從理論上還是從應(yīng)用上看，線性代 數(shù)的地位更趨重要MATLAB軟件

6、是目前教學(xué)與科研中最具影響力、最有活力、最具可靠性的數(shù)學(xué)軟件。它起源于矩陣運(yùn)算，MATLAB名字由MATrix和LABoratory兩詞的前三個字母組合而成.作為高度集成 的訃算機(jī)語言它攜帶幾十個軟件包，提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)汁流程、高質(zhì)量的 圖形可視化與界而設(shè)訃，與其他語言的接口也非常便捷0在歐美的大學(xué)里，諸如應(yīng)用統(tǒng)訃分析、 自動控制、數(shù)字信號處理、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程都把MATLAB 作為教學(xué)內(nèi)容。1.1.2意義線性代數(shù)作為代數(shù)的一個主要分支，以向量空間與線性變換作為研究對彖，就其在數(shù)學(xué)、物 理學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等分支的應(yīng)用來說，線性代數(shù)的離散化思想具有非

7、常特殊的作用，因此也成為我 國大學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課之一。此外，線性代數(shù)思想特別使用于汁算機(jī)編程，它以坐標(biāo)法和向 量法作為主要的研究工具通過矩陣和向量性質(zhì)研究多變量之間的線性關(guān)系，因此，MATLAB 線 性代數(shù)的緊密結(jié)合有著非常廣闊的前景。戊2線性代數(shù)概論2.1線性代數(shù)發(fā)展歷程及現(xiàn)狀線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知逍一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn) 算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九 世紀(jì)受到很大的注意，而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章0向量的概念，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來 看不過是有序三元數(shù)組的一個集合，然而它以力或速度作為宜接的物理意

8、義 并且數(shù)學(xué)上用它 能立刻寫岀物理上所說的事情。向量用于梯度，散度.旋度就更有說服力。同樣，行列式和 矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然dy/dx在數(shù)學(xué)上不過是一個符號,表示包括/*的極限的長式子， 但導(dǎo)數(shù)本身是一個強(qiáng)有力的概念能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）。因此，雖 然表而上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數(shù)生動的概念能對新的思想領(lǐng)域 提供鑰匙。然而已經(jīng)證明這兩個概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具。線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。行列式的概念最 早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的他在1683年寫了一部叫做解伏題之法的著作, 意思是“解行列式問

9、題的方法” 書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了淸楚的敘述。歐 洲第一個提出行列式概念的是徳國的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz , 1693年）。1750年 克萊姆（Cramer ）在他的線性代數(shù)分析導(dǎo)言（Introduction d r analyse des lignes coxirbes alge* briques ）中 發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既 人們熟悉的Cramer克萊姆法則）。1764年,Bezout把確圧行列式每一項(xiàng)的符號的手續(xù)系統(tǒng) 化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了系數(shù)行列式等于零是這方 程組有非零解的條件。V

10、andermonde是第一個對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述（即把行列式理論 與線性方程組求解相分離）的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列 式-就對行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言，他是這門理論的奠基人。Laplace在1772年的論文對枳分和世界體系的探討中，證明了 Vandermonde的一些規(guī)則，并推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的 名字命爼。徳國數(shù)學(xué)家雅可比（Jacobi ）也于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）,他大大發(fā)展了行列式的理論，在

11、行列式 的記號中他把元素排成方陣井首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式柑乘的公式 及改進(jìn)并證明了 laplace的展開崔理。相對而言，最早利用矩陣概念的是 拉格朗日（Lagrange ） 在1700年后的雙線性型工作中體現(xiàn)的。拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問題，英方 法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為0 ,另外還要有二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義。盡管拉格朗日沒有明確地提出利 用矩陣0高斯(Gauss )大約在1800年提出了高斯消元法并用它解決了天體汁算和后來的地球表而測量計算中的最小二乘法問題。(這種涉及測量、

12、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分 支稱為測地學(xué).)雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中 國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng)。在 當(dāng)時的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。而高斯-約當(dāng)消去 法則最初是出現(xiàn)在由W訂helm Jordan撰寫的測地學(xué)手冊中。許多人把著名的數(shù)學(xué)家CamilleJordan誤認(rèn)為是“髙斯-約當(dāng)”消去法中的約當(dāng)。矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時 間和同一地點(diǎn)柑遇。1848年英格蘭的J.J. Sylvester首先提出

13、了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。1855年矩陣代數(shù)得到了 ArthurCayley的工作培冇。Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘枳。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。著冬的Cayley- Hamilton理論R卩斷肖一個矩陣的平方就是它的特征多項(xiàng)式的根,就是由Cayley在1858年在他的矩陣?yán)碚撐募刑岢龅?。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的。在發(fā)展的早期公式det( AB )= det( A )det( B )為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系.數(shù)學(xué)家Cauchy首先給出了特征方程

14、的術(shù)語，并證明了階數(shù)超過3的矩陣有特征值及任意階實(shí)對稱行列式都有實(shí)特征值；給出了相 似矩陣的概念，并證明了相似矩陣有相同的特征值：研究了代換理論。數(shù)學(xué)家試圖研丸向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中井沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉及一個不可交換向量積(既VXW不等于)的向量代數(shù)是由Hermann Grassmann在他的線性擴(kuò)張論(Die lineale Ausdehnungslehre ) 一書中提出的(1844) o他的觀點(diǎn)還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為1的矩陣，或簡單矩陣。在19世 紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家Willard Gibbs發(fā)表了關(guān)于向量分析基礎(chǔ)(Eleme

15、nts of VectorAnalysis )的著名論述。其后物理學(xué)家P. A. M. Dirac提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在20世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。到19世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間?，F(xiàn)代向量空間的世義是由Peano于1888年提出的。二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機(jī)的發(fā) 展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方而0由于計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用, 許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到總量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù), 成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2. 2線性代數(shù)

16、和MATLAB軟件相結(jié)合的發(fā)展方向線性代數(shù)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)，但又在理論上進(jìn)行了高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科。一方而.中學(xué)生就 學(xué)過了二元一次代數(shù)方程的解法，代入法和消去法大概毎個人都會記憶一輩子，這就是做簡單的 線性代數(shù)。當(dāng)把方程的階次提高到了三元一次以上時，它不但要求較高級的抽象思維能力，而且 也要求用十分煩瑣的汁算步驟才能解決問題。對于數(shù)學(xué)家，他們重視前者，這無可厚非：但對于 大多數(shù)工科學(xué)生，他們更需要的是能應(yīng)用它的理論，描導(dǎo)完成實(shí)際的訃算。事實(shí)上，線性代數(shù)的 那種單調(diào)、機(jī)械、枯燥的運(yùn)算，只是由于訃算機(jī)的出現(xiàn)才賦予了在應(yīng)用方而的生命力。17120世紀(jì)80年代，出現(xiàn)了個人il算機(jī)并迅速普及。新的硬件也

17、帶動了新的軟件，出現(xiàn)了新穎的科學(xué)il算語言，也稱為數(shù)學(xué)軟件，因?yàn)樗哂懈咝А⒖梢暬屯评砟芰Φ忍攸c(diǎn)。罔計算機(jī)技術(shù)的 發(fā)展已經(jīng)對人們的物質(zhì)生活和文化生活產(chǎn)生了十分巨大的影響，尖最顯箸的功能就是高速度地進(jìn) 行大疑計算，這種告訴il算使得許多過去無法求解的問題成為可能，因而科學(xué)訃算已成為與理論 研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)并列的科學(xué)研究的三大手段。冏MATLAB是“矩陣實(shí)驗(yàn)室(Matrix Laboratory)的縮寫，它是一種以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，當(dāng)然它特別適合于線性代數(shù)，并能更廣泛地適應(yīng)科學(xué)和工程計算及繪圖的需求。片 艮他il算機(jī)語言柑比，MATLAB的特點(diǎn)是簡捷和智能化適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式

18、和書寫習(xí)慣, 使得編程和調(diào)試效率大大提高。它用解釋方式工作，鍵入程序立即得出結(jié)果，人機(jī)交互性能好, 易于調(diào)試并為科技人員所樂于接受。特別是它可適應(yīng)多種平臺，并且隨il算機(jī)硬軟件的更新及時 升級MATLAB的基本數(shù)據(jù)單元是矩陣，所有的變量都可用矩陣來表示，向量是行數(shù)為1或列數(shù)為1的矩陣而標(biāo)量則是1行1列的特例矩陣，在編程時不必像瓦他語言一樣為矩陣定義維數(shù)和大小。用MATLAB求解一個問題比編寫Fortran. C或Basic語言程序求解所用的時間要少得多。此外,它的數(shù)學(xué)表達(dá)式和運(yùn)算結(jié)果也幾乎和數(shù)學(xué)解析的表現(xiàn)形式完全柑同2.131木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZON

19、G述SHU、開KAI題TI報BAO告GAOJ3,1矩陣的創(chuàng)建（輸入）3 MATLAB環(huán)境下矩陣的建立在MATLAB中，輸入矩陣時毎一行元素用分號分隔，格式為：% b, c;d, e, f：g, h, i oe,3.2求方陣的行列式求行列式是通過det函數(shù)求解。例1求下列矩陣的行列式10265985084689749949解程序?yàn)锳=10. & 6,4,1;2,5, & 9,4;6, 0, 9,9,8;5, & 7,4,0;9, 4, 2, 9,1;D=det(A)結(jié)果為D=5 97206003=59723.3求逆矩陣用inv來實(shí)現(xiàn)，要注意大小寫字母的區(qū)別。例2設(shè)人=35一31 4-3 4-6-

20、5-9，試求苴逆陣V=a7解按上述方法寫成MATLAB程序A=3, 0, 3, -6;5. T, -1, -5;-3,1, 4 -9; 1, -3, 4, -4;V=inv結(jié)果為02323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.25250.5859-0.4747-0.1717OJOlO0.2424-0.2424-0J5150.0303V =木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN.文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO34矩陣的基本運(yùn)算可算加法“ + ”、減法、乘法“汕,及數(shù)乘等。U4I35 MATLAB環(huán)境下矩陣的

21、簡單運(yùn)算那么，我們先來看如下的一個矩陣A =，問常數(shù)a滿足什么條件時，矩陣A町逆，并求苴逆矩陣：特別給出當(dāng)矩陣A的行列式等于-6時的逆矩陣。解這樣的帶有符號變量的訃算問題用手工方法是很難完成的?，F(xiàn)編程如下:%判斷符號矩陣何時可逆，并求尖逆。clear allsyms a%符號變量說明disp（輸入的矩陣是：）A=l 1 -l：a 2 0：-1 a 3%符號矩陣輸入D=det(A);Disp（當(dāng)參數(shù)a不等于）p=solve(D)%求符號矩陣行列式值函數(shù)的零點(diǎn)B=inv (A)disp（時其有逆陣：）%求符號逆矩陣q=solve(D+6);%求行列式等于指時的參數(shù)a的值L=length(q);Fo

22、r i=l：Ldisp（當(dāng)參數(shù)a等于）subs(q(i)%將參數(shù)a的值q轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式disp（時矩陣的行列式等于指定值（-6）,貝逆矩陣為:）B=sym(subs(B, a, subs(q(i)%求等于譏0時的逆矩陣，并以簡化形式輸出End程序執(zhí)行結(jié)果是:輸入的矩陣是:1廠1S201,0,3當(dāng)參數(shù)d不等于-41時，其有逆陣1-6/(-4 + 3*4 + 八2),(3 + )/(-4 + 3*么 + 4人2)廠2/(-4 + 3*j)=b：Dj(j)=det(B);end%求用常數(shù)列替換后的行列式的值disp（用常數(shù)列b替換系數(shù)行列式中的第j列所得到的行列式的值分別為：）Djdisp（-原方程

23、組AX=b有唯一解.解是：）X=Dj/D%輸出原方程組的（唯一）解endend程序執(zhí)行的結(jié)果是:1 02 -：30-1 1482 16310-10系數(shù)行列式的值為: = 一57 用常數(shù)列b替換系數(shù)行列式中的第j列所得到的行列式的值分別為:Pi =9 -126 32 -34原方程組AX = h有惟一解，解是:木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GA01X =-0.15792.2105-0.5614 0.5965 對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)不等的情況我們來看以下題目 例3用編程方法求解下列齊次線性方程組X, + 2X2 + 尤3 +

24、 心 + 尤5 =0 2x + 4%2 + 33 + %4 + 5 =0 -X, - 2%, + 勺 + 3%4 一 3兀5 = 0 2心 +5Xj -25 =0解編程 %求齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)向量clear all%輸入系數(shù)矩陣A=l 2 1 1 1:2 4 3 1 1;-1 -2 1 3 -3;0 025-2;m. n=size(A);辻 A=0disp（輸入的系數(shù)矩陣為零矩陣?。﹔eturn elsedisp（齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是：）R, s=rref (A);%調(diào)用初等變換子函數(shù)002 5-20 0 10-1disp（-經(jīng)過初等變換，系數(shù)矩陣A化為如下簡化階梯形：） di

25、sp（線性代數(shù)組朋=0只有惟一零解！）r=length(s)if r=n else%從矩陣R構(gòu)成基礎(chǔ)解向量t=0;h(i)=s(i);%確世解向量X的分量次序endfor j=l：nk=0;for i=l：rif j=s(i) k=l;break;endendif k=0%確定解向量X的分量次序B (:, t) =(-l).*R(:J)：end endB(r+1:n,1：n-r)=eye(n-r n-r);for i=l：n%按變量原次序構(gòu)成基礎(chǔ)解向量enddisp（線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解向量為：）X=Cend end程序結(jié)果為A=-1-21 3 -3經(jīng)過初等行變換，系數(shù)矩陣A化為如下簡化

26、階梯形:R=木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN.文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO系數(shù)矩陣A的秩為r=線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解（列）向量為:X=-2-2in木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAOJ5 MATLAB軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用實(shí)例5.1減肥配方的實(shí)現(xiàn)設(shè)三種食物毎100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中還給出了 20世紀(jì)80年代美國流行的劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院的簡捷營養(yǎng)處方?，F(xiàn)在的問題是：如果用這三種食物作為每天的 主要食物，那么它們的用量應(yīng)齊取多少才能全而準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)這個

27、營養(yǎng)要求？營養(yǎng)每lOOg食物所含營養(yǎng)(g)減肥要求量脫脂牛奶 大豆面粉 乳清蛋白質(zhì) 碳水化合物3651133352347445脂肪071. 13設(shè)脫脂牛奶的用量為山個單位(lOOg),大豆面粉的用量為七個單位，乳淸的用量為心個單位,表中的三個營養(yǎng)成分列向量為:3651135 =524 =34衛(wèi)3 =74071.1則它們的組合所具有的營養(yǎng)為365113+兀2“2 + 兀 33 =片52 +花34+ %374071.1= Ax = h51347使這個合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程:36520用MATLAB解這個問題非常方便.列出程序如下:A=3651 13;5234,74

28、;07;b=33;45;3;x=Ab;程序執(zhí)行的結(jié)果為:0.27720.39190.2332x =木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN.文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAO即脫脂牛奶的用量為277g,大豆面粉的用量為392g,乳淸的用量為233g,就能保證所需的綜合5.2人口遷徙模型假設(shè)在一個大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30%的居民住 在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問十年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？ 30年、50年后又如何？這個問題可以

29、用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個分量表示，即耳=其中譏為市區(qū)人口所占比例,心為郊區(qū)人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態(tài):X.10.94 0.02030.2960C1=*=兀0.0.06 0.98_0.7_U_0.7040_兀0 =從初始時間到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可擴(kuò)展為 兀女=a3-2 =用下列MATLAB程序進(jìn)行讓算:A=094002：006098;xO=O3;O7;xl=A*xO;xl0=A10*x0;x3O=A3O*xO;x5O=A5O*xO：程序運(yùn)行的結(jié)果為:0.29600.27170.25410.2508工1 =0.7071內(nèi)0 =0.7283

30、內(nèi)0 =0.7459，兀50 =0.7492無限增加時間k,市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)025/075。為了弄淸楚為什么這個過程 趨向與一個穩(wěn)泄值，我們改變以下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的 效果，先求A的特征值和特征向量，鍵入(eJamdal=eig(A),得到-0.7071-0.31620.92000 e =,lamda =0.7071一 0.948701.0000-fUG =f13令山=，它們分別與兩個特征向量乩02成比例并構(gòu)成為整數(shù)。可以看到，用A乘以這兩個向量的結(jié)果不過是改變向量的長度，不影響其相角（方向人改變的比例分別對應(yīng)于其特征值092和1。0.94

31、0.02-f-0.920.06 098.1 _ 0.92 _=0.92|Au =0.940.02Tf0.060.9823Aih =th初始向量“可以寫成這兩個基向量山和“2的線性組合:030= 0.25*f-0.05*_0.70_31心=0252 -005“|因此林=屮心=025“-005(092)*1Xjt L27=屮兀0 =0252 =0,250.75式中的第二項(xiàng)會隨著k的增到趨向于零。如果只取小數(shù)點(diǎn)后兩位，則只要27,這第二項(xiàng)就可 以忽略不計而得到適當(dāng)選擇基向量可以使矩陣乘法結(jié)果等價于一個簡單的實(shí)數(shù)乘子，避免相角項(xiàng)出現(xiàn)，使得問題 簡單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個應(yīng)用問題實(shí)際上是

32、所謂馬爾代夫過程的一個類型。所得到的向量序列易,Xk稱為馬爾代夫鏈。馬爾代夫過程的特點(diǎn)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)天上完全可由苴前一個時刻的狀態(tài)天-I所決 定，與 1時刻之前的系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)。6結(jié)論本文首先介紹了線性代數(shù)產(chǎn)生的背景及發(fā)展歷程和方向，讓大家對線性代數(shù)有了初步認(rèn)識?？傮w上看，線性代數(shù)發(fā)端于由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的行列試概念，后來由萊布尼茲(Leibnitz ,1693年)在歐洲提出行列式概念。1750年 克萊姆(Cramer )在他的線性代數(shù)分析導(dǎo)言(Introduction d V analyse des lignes courbes alge* briques )中發(fā)表了求解線性

33、系統(tǒng)方程的重要基本公式(既人們熟悉的Cramer克萊姆法則)。1764年,Bezout把 確定行列式每一項(xiàng)的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。后來由徳國數(shù)學(xué)家雅可比(Jacobi )和法國最偉大的數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)將行列式大大發(fā)展。最早利用矩陣概念的是拉格朗日(Lagrange ),由高斯加以完善。然后又介紹了線性代數(shù)在MATLAB上的應(yīng)用。MATLAB的基礎(chǔ)單位就是矩陣。它特別適合于線 性代數(shù)，并能更廣泛地適應(yīng)科學(xué)和工程計算及繪圖的需求。對線性代數(shù)問題進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)模型 建立，可在MATLAB環(huán)境下，對線性代數(shù)問題求解。由于計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際 問題可以通過離散化的數(shù)值汁算得到圧量

34、的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事 科學(xué)研究和工程設(shè)汁的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。MATLAB對于線性代數(shù)問題及齊種現(xiàn)實(shí)生活中的 問題的解決，起到了很大的作用，并日益影響和改善著我們的社會生活。木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GA01參考文獻(xiàn) 陳維新線性代數(shù)簡明教程(第二版)M北京:科學(xué)出版2005. 1:3-3.2汪潘義運(yùn)用Matlab進(jìn)行線性代數(shù)課程教學(xué)的原則j科技信息,2009, (23):537-537.3(知利昂(Leon,S，JJ落張文博，張麗靜譯線性代數(shù)(原書第7版)D1 北京:機(jī)械1：業(yè)岀版20

35、07. 2:5-5.4 Steven J, Leon. Linear Algebra with Applications (Seventh Edition) M.北京：機(jī)械工 業(yè)出版社，2007.5:5-5.Steven Roman. Advanced Linear Algebra (Third Editon) Jl.北京：世界圖書出版社 2008:77,王亮,馮國臣，王兵團(tuán).基于MATLAB的線性代數(shù)實(shí)用教程如北京:科學(xué)出版社,2008:3-L7邵建峰，劉彬線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與MATLAB編程實(shí)踐M北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2007.8:90928陳懷琛，龔杰民線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門(第2

36、版)N北京：電子工業(yè)出版2009-1:3-5,周曉陽-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與MATLABD1 武漢:華中科技大學(xué)出版枕WOOZ 1:2210楊威島淑萍.線性代數(shù)機(jī)算與應(yīng)用指導(dǎo)(MATLAB版)如西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2009.4:13-13.張德豐.MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用M.北京：國防1：業(yè)出版補(bǔ).2007. 1 :13-14.12求是科技.MATLAB7. 0從入門到梢通)1北京:人氏脇電出版補(bǔ), 20063：2S2$13國現(xiàn)華線性方程組的求解J-邢臺學(xué)院學(xué)報200& 6, 21(2):92-93.14溫旭東 Matlab與Mathmatica在線性代數(shù)運(yùn)算中的對比分析j黑龍江科技信息,20

37、08, (3) : 171-171.15商智巾,武潔,王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用J衡水學(xué)院學(xué)報,2010.12(1):92-92.16姚斌暢玲香 Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用探討J科技信息,2010, (14) :601-601.文獻(xiàn)綜述MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用前言部分線性代數(shù)是大學(xué)理、工、經(jīng)管、醫(yī)、農(nóng)等學(xué)科所有專業(yè)必修的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。它作為 離散性數(shù)學(xué)在工科數(shù)學(xué)中的代表，隨著汁算:機(jī)科學(xué)日新月異的發(fā)展，許多非線性問題高精度地線 性化與大型線性問題的可計算性正在加快逐步實(shí)現(xiàn)，因此無論從理論上還是從應(yīng)用上看，線性代 數(shù)的地位更趨重要MATLAB軟件是目前教學(xué)

38、與科研中最具影響力、最有活力、最具可靠性的數(shù)學(xué)軟件。它起源于矩陣運(yùn)算，MATLAB名字由MATrix和LABoratory兩詞的前三個字母組合而成。作為高度集成 的訃算機(jī)語言，它攜帶幾十個軟件包提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)訃流程、高質(zhì)量的 圖形可視化與界而設(shè)訃，與其他語言的接口也非常便捷。在歐美的大學(xué)里，諸如應(yīng)用統(tǒng)訃分析、 自動控制、數(shù)字信號處理、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程都把MATLAB 作為教學(xué)內(nèi)容。E線性代數(shù)作為代數(shù)的一個主要分支，以向量空間與線性變換作為研究對象，就苴在數(shù)學(xué)、物 理學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等分支的應(yīng)用來說，線性代數(shù)的離散化思想具有非常特姝的作用，因此也成

39、為我 國大學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課之一。此外，線性代數(shù)思想特別使用于計算機(jī)編程，它以坐標(biāo)法和向 量法作為主要的研究工具，通過矩陣和向量性質(zhì)研究多變量之間的線性關(guān)系，因此，MATLAB與線 性代數(shù)的緊密結(jié)合有著非常廣闊的前景。戊二. 主題部分線性代數(shù)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)，但又在理論上進(jìn)行了高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科。一方而，中學(xué)生就 學(xué)過了二元一次代數(shù)方程的解法，代入法和消去法大概每個人都會記憶一輩子，這就是做簡單的 線性代數(shù)。當(dāng)把方程的階次提高到了三元一次以上時，它不但要求較高級的抽象思維能力，而且 也要求用十分煩瑣的訃算步驟才能解決問題。對于數(shù)學(xué)家，他們重視前者，這無可厚非：但對于 大多數(shù)工科學(xué)生，他們更需

40、要的是能應(yīng)用它的理論，指導(dǎo)完成實(shí)際的訃算。事實(shí)上，線性代數(shù)的 那種單調(diào)、機(jī)械、枯燥的運(yùn)算，只是由于訃算機(jī)的出現(xiàn)才賦予了在應(yīng)用方而的生命力。|7|20世紀(jì)80年代，出現(xiàn)了個人il算機(jī)并迅速普及。新的硬件也帶動了新的軟件，出現(xiàn)了新穎的科學(xué)計算語肖，也稱為數(shù)學(xué)軟件，因?yàn)樗哂懈咝?、可視化和推理能力等特點(diǎn)。罔計算機(jī)技術(shù) 的發(fā)展已經(jīng)對人們的物質(zhì)生活和文化生活產(chǎn)生了十分巨大的影響其最顯著的功能就是髙速度地 進(jìn)行大量計算，這種告訴計算使得許多過去無法求解的問題成為可能，因而科學(xué)汁算已成為與理 論研究、科學(xué)實(shí)驗(yàn)井列的科學(xué)研究的三大手段。切MATLAB是“矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的縮寫，

41、它是一種以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，當(dāng)然它特別適合于線性代數(shù)，并能更廣泛地適應(yīng)科學(xué)和工程計算及繪圖的需求。與 瓦他il算機(jī)語肖相比,MATLAB的特點(diǎn)是簡捷和智能化適應(yīng)科技專業(yè)人員的思維方式和書寫習(xí)慣, 使得編程和調(diào)試效率大大提高。它用解釋方式工作，鍵入程序立即得出結(jié)果，人機(jī)交互性能好, 易于調(diào)試并為科技人員所樂于接受。特別是它可適應(yīng)多種平臺，并且隨il算機(jī)硬軟件的更新及時MATLAB的基本數(shù)據(jù)單元是矩陣，所有的變量都可用矩陣來表示，向量是行數(shù)為1或列數(shù)為1的矩陣，而標(biāo)量則是1行1列的特例矩陣，在編程時不必像其他語胃一樣為矩陣定義維數(shù)和大小。用MATLAB求解一個問題比編寫Fortran

42、. C或Basic語言程序求解所用的時間要少得多。此外,它的數(shù)學(xué)表達(dá)式和運(yùn)算結(jié)果也幾乎和數(shù)學(xué)解析的表現(xiàn)形式完全相同2312.1 MATLAB環(huán)境下矩陣的建立MATLAB環(huán)境下，線性代數(shù)的汁算有以下幾方而內(nèi)容。（1）矩陣的創(chuàng)建（輸入）在MATLAB中，輸入矩陣時每一行元素 用分號分隔，格式為：a, b, c;d, e, f：g, h, i o（2）求方陣的行列式求行列式是通過det函數(shù)求解。例1求下列矩陣的行列式10265985084689749949解程序?yàn)锳=10. & 6,4,1;2,5, & 9,4;6, 0, 9,9,8;5, & 7,4,0;9, 4, 2, 9,1;D=det(A)

43、結(jié)果為D=5 9720e03=5972（3）求逆矩陣用inv來實(shí)現(xiàn),要注意大小寫字母的區(qū)別。例2設(shè)人=35一31 4-3 4-6-5-9-4解按上述方法寫成MATLAB程序A=3, 0, 3, -6; 5. T, -1, -5;-3,1, 4 -9; 1,-3, 4, -4;V=inv結(jié)果為02323-0.0101-0.1313-0.04040.5354-0.3131-0.0707-0.25250.5859-0.4747-0J7170J0100.2424-0.2424-0J5150.0303V =（4）矩陣的基本運(yùn)算可算加法“ + 、減法、乘法“汕.及數(shù)乘等。|14|那么，我們先來看如下的一個

44、矩陣A =0 ，問常數(shù)a滿足什么條件時，矩陣A可3,逆，并求加逆矩陣：特別給出當(dāng)矩陣A的行列式等于-6時的逆矩陣。解這樣的帶有符號變量的訃算問題用手工方法是很難完成的?，F(xiàn)編程如下:木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GA01%判斷符號矩陣何時可逆，并求尖逆。clear allsyms a%符號變量說明disp（輸入的矩陣是：）A=l 1 -l：a 2 0：-1 a 3%符號矩陣輸入D=det(A);Disp（當(dāng)參數(shù)a不等于）p=solve(D)%求符號矩陣行列式值函數(shù)的零點(diǎn)disp（時其有逆陣：）B=inv (A)%求符號逆矩

45、陣q=solve(D+6);%求行列式等于指；值6時的參數(shù)a的值L=length(q);For i=l：Ldisp（當(dāng)參數(shù)a等于）subs(q(i)%將參數(shù)a的值q轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式disp（時矩陣的行列式等于指定值（-6）,幷逆矩陣為:）B=sym(subs(B, a, subs(q(i)%求等于譏0時的逆矩陣，并以簡化形式輸出End程序執(zhí)行結(jié)果是:輸入的矩陣是:木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GAOJ當(dāng)參數(shù)d不等于-4I時，其有逆陣-6/(-4 + 3*d + o八 2).(3 + )/(-4 + 3*么 + 人2)廠 2

46、/(-4 + 3*6/ + 4人2)3*0/(-4 + 3*4 + 八2)廠2/(-4 + 3* + 八2)衛(wèi)/(-4 + 3* + 八2)-(0八2 + 2)/(4 + 3* + 2) + 1)/(4 + 3* + 八2)9(4-2)/(4 + 3*0 + 八2)當(dāng)參數(shù)d等于ans =時矩陣的行列式等于指宦值（-6）,其逆矩陣為:I-1-I/3-1Z31-5/2-1/3-5/6-9/2-273-7/6當(dāng)參數(shù)4等于ans =時矩陣的行列式等于指泄值（-6）,其逆矩陣為2木文檔內(nèi)含【畢BI業(yè)YE論LUN文WEN、文WEN獻(xiàn)XIAN綜ZONG述SHU、開KAI題TI報BAO告GA01-1-1Z3-

47、1/3-5/2-1/3-5Z6 E1-9/2-2/3-7/62.2 Mat lab環(huán)境下克萊姆法則的應(yīng)用線性方程組可以分成兩類，一類是未知量個數(shù)與方程的個數(shù)相等，另一類是未知量個數(shù)與方 程的個數(shù)不等，對于前一類特姝的線性方程組，我們可以采用克萊姆法則（Cramer）.如果線性方程組的系數(shù)矩陣f+pX + + % =b2內(nèi)+山+ 2詁” =0剛冊+42+心屁=“那么有設(shè)線性方程組（I）的系數(shù)行列式DhO,則（I）有唯一解，且解可用行列式表示為，兀=牛其中D/7 = 1,2“）是把系數(shù)行列式D中第7列元素方程組（I）右端相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)代替而得到的n階行列式，即11仆bs知21 -S2.；-l勺”a剛

48、 b Dj =從而若切已Pg P（J = 12心p為某個數(shù)域，則解K宀&均屬于那么用MATLAB來求解滿足Cramer法則條件的方程組X _兀3 +“ = 12x 一 X空 + 4*3 + 張4 = 0 3%, +2*3 +4 = -14Xj + 兀2 + 6*3 + 3*4 = 0解程序如下:%求解滿足Cramer法則條件的%輸入系數(shù)矩陣A=E1 0 -1 1:2 -1 4 8:3 0 2 1：4 1 6 3b=l 0 -1 0%輸入常數(shù)列向量m. n =size(A);b=b (:) ;k=size(b, 1);if tn=n m=k%檢査輸入正確性disp（您輸入的系數(shù)矩陣或常數(shù)列向量有錯誤?。﹔eturnelsedisp（系數(shù)行列式的值為:* ）D=det(A)紐I算并輸入系數(shù)行列式的值If D=0Disp（輸入的系數(shù)行列式不滿足Cramer法則的條件！）ElseFo