雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)兩種方法

1、雙縫干預(yù)條紋間距公式的推導(dǎo)雙縫干預(yù)條紋間距公式的推導(dǎo)yd Odx如圖建立直角坐標(biāo)系，x軸上橫坐標(biāo)為其丿、差為波長整數(shù)倍零除外的雙曲線簇。n其中d的占與d的點(diǎn)為兩波源。這兩個(gè)波源的振動(dòng)情況完全相同，那么這兩個(gè)波源發(fā)生干預(yù)時(shí)的加強(qiáng)區(qū)為到 2小兩個(gè)波源的距離2d,0、d,0為所有雙曲線的公共焦點(diǎn)。這個(gè)雙曲線簇的方程為：222dn 2222x2 n 2 d2解得：124,2 2 2 d n上式中，d的數(shù)量級(jí)為4m ,為io7m。故d2 d2,10x的表達(dá)式簡化為：x n 4 d12其中I的數(shù)量級(jí)為100 md的數(shù)量級(jí)為10 4 m。故2 io4 ? x的表達(dá)式簡化為: dI in Ix n d d可見

2、，交點(diǎn)橫坐標(biāo)成一等差數(shù)列，公差為1，這說明：d1條紋是等間距的；2相鄰兩條紋的間距為1。d至此，證明了條紋間距公式：x 1。d楊氏雙縫干預(yù)條紋間距到底是不是相等的?海軍航空工程學(xué)院李磊梁吉峰選自?物理教師?2021年第11期在楊氏雙縫干預(yù)實(shí)驗(yàn)中，在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋(或者暗紋)中心間距為： x = L "d，其中L為雙縫與屏的間距，d為雙縫間距，對單色光而言，其波長 入為定值，所以我們得出的結(jié)論是干預(yù)圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干預(yù)條紋的照片卻并非如 此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央局部的干預(yù)條件是等間距的，但是在其邊

3、緣局部的條紋的間距明顯與中央局部的條紋間距不同。問題到底出在哪里 呢？首先我們來看現(xiàn)行的教科書上對于楊氏雙縫干預(yù)的解釋，如圖2設(shè)定雙縫Si、S2的間距為d，雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L,我們在屏上任取一點(diǎn)Pi,設(shè)定點(diǎn)Pi與雙縫Si、S2的距離分別為ri和r, O為雙縫Si、S2的中點(diǎn)，雙縫Si、S2的連線的中垂線與屏的交點(diǎn)為Po,設(shè)Pi與 Po的距離為x，為了獲得明顯的干預(yù)條紋，在通常情況下L>>d，在這種情況下由雙縫 Si、S2發(fā)出的光到達(dá)屏上Pi點(diǎn)的光程差r為S2M = r 2 r idsin 出(i)其中B也是OPo與OPi所成的角。因?yàn)閐«

4、L, B很小，所以sin B4an 0=2 丨因此 dsin 0dxL7x3)當(dāng) Q dL =± k入時(shí)，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k = 0, i , 2,k= 0， 1， 2，(3 ')當(dāng)MQdxL =±( k + 21 )入時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中是我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。1L當(dāng)x =±( k + 2 ) d入時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中 k= 0 , 1 , 2 , ?。( 4 ')我們還可以算出相鄰明條紋(或者暗條紋)中心問的距離為L& = Xk +1一 Xk = Xo( 5 )d至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干預(yù)條紋

5、是等間距的。問題就在于以上的推導(dǎo)過程中，我們用過兩次近似，第1次是在運(yùn)用公式 & = r2一ridsin B的時(shí)候，此式近似成立的條件是/ S1P1S2很小，因此有SiM丄S2P1, SiM丄OPi，因此/ PqOPi=Z S2S1M，如果要保證/ S1P1S2很小，只要滿足 d«L即可，因此 &dsin B是滿足的。第2次近似是因?yàn)閐<<L , B很小，所以sin B總n 0O下面我們通過表1來比擬sin 0與 tan B的數(shù)值。表101 °2 °3 °4 °5 °6 °7 °sin

6、0tan 008 °9 °10 °11 °sin 0tan 0tan 0 sin 0從表1中我們可以看出當(dāng) 0= 6。時(shí)，%o因此當(dāng)0笏。時(shí)，相對誤差就超過了 %，因此我們通常說sin 0= tan 0成立的條件是0毛。，當(dāng)0sin 0> 5。時(shí)，sin 0總n 0就不再成立。而在楊氏雙縫干預(yù)實(shí)驗(yàn)中，0很小所對應(yīng)的條件應(yīng)該是 x<<L ,這應(yīng)該對應(yīng)于光屏上靠近 Pq的點(diǎn)，在此種情況下上述的推導(dǎo)過程是成立的，干預(yù)條紋是等間距的。而當(dāng)x較大時(shí)，也就是光屏上離 Pq較遠(yuǎn)的點(diǎn)所對應(yīng)的0角也較大，當(dāng)0>5。時(shí)，sin 0焉n 0就不再成立，

7、上述推導(dǎo)過程也就不完全成立了，( 2)式就不能再用了此時(shí)sinxl2x2所以，A rd sin 0=dx 其中± k入，屏上表現(xiàn)為明條紋， L2x其中2k = 012? ? ? ?1k = 0 , 1 , 2, ?。 r dsin 0=l2 x2=± ( k + 2 )入 中屏上表現(xiàn)為暗條紋，其因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中 心位置為Lkx =-d2±，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k= 0 , 1 , 2, ?31L(k 2)X =2，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k = 0 , ,2 ,Ax 明=Xk+1 明一一Xk 明=L(k 1) d 2 (k 1)22Lk d 2 k2 2鄰暗條紋中心間距為11L(k 1 )L(k 12)2Ax 暗=Xk+1 暗一 Xk 暗=d 2 (k 121)2 22 1 2 2± 2 1 2 222 2 od (k )2那么相鄰的明條紋中心問距為d 2 (k 21)2 2由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。 下面我們 通過一個(gè)實(shí)例來定量計(jì)算等間距條紋的條數(shù)。例1：用氦氖激光器頻率為X 1