第十一章 曲線

1、曲線積分與曲面積分主要內(nèi)容一、 定義1、 第一型曲線積分 設(shè)在可求長曲線有定義，若當(dāng)時(shí)，在曲線的積分和存在極限，即，則稱是在曲線的第一型曲線積分，表為2、第二型曲線積分 設(shè)在可求長曲線有定義，若當(dāng)時(shí)，在曲線關(guān)于（或）的積分和（或）存在極限（或），即（或），則稱（或）是（或）在曲線的第二型曲線積分，表為（或）3、第一型曲面積分 設(shè)函數(shù)在光滑或者逐片光滑的曲面塊S時(shí)，函數(shù)在曲面S的積分和存在極限L，即，則稱L是函數(shù)在曲面S的第一型曲面積分，表為.4、第二型曲面積分 設(shè)函數(shù)在光滑或者逐片光滑的曲面塊S時(shí)，函數(shù)在曲面S關(guān)于xy的積分和存在極限，即則稱是函數(shù)在曲面S的第二型曲面積分，表為.類似地二、計(jì)算

2、方法1、第一型曲線積分 若曲線：是光滑的，即在連續(xù)，且不同時(shí)為0，在連續(xù)，則在存在第一型曲線積分，且.特別是，曲線是由方程給出，且在連續(xù)時(shí).若光滑曲線的參數(shù)方程是，則.2、 第二型曲線積分 若在可求長曲線：連續(xù)，且，則與在曲線的第二型曲線積分都存在，且 3、第一型曲線積 若曲面塊，是光滑或逐片光滑的，其中D是有界閉區(qū)域.函數(shù)在曲面S連續(xù)，則函數(shù)在S第一型曲線積分存在，且其中特別是，若，則4、 第二型曲面積分 若有光滑曲面，其中是有界閉區(qū)域，在連續(xù)，則在曲面的第二型曲面積分存在，且其中符號(hào)由曲面的正側(cè)外法線與軸正向的夾角余弦的符號(hào)決定.5、格林公式 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)在上具有一階

3、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有其中是的取正向的邊界曲線.6、 奧高公式 設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成,函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有公式 7、斯托克斯公式 設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向曲面, 的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)、在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有公式三、第一、二型積分的關(guān)系1、曲線積分的關(guān)系 設(shè)空間有向曲線上任一點(diǎn)的切向正向與軸正向的交角分別是，則.3、 曲面積分關(guān)系 設(shè)空間曲面上任一點(diǎn)A處法線正向與軸、軸、軸正向的交角分別為，則.四、曲線積分與路線無關(guān)若二元函數(shù)以及在單連通區(qū)域連續(xù)，下列四個(gè)斷語是等價(jià)的：1） 曲線積分與路徑C無關(guān)2） 在內(nèi)存在一個(gè)函數(shù)，使3） ，有4） 對內(nèi)的