平面有限元法作業(yè)

1、第三章作業(yè)3-1:試證明平面三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1。證明1:設(shè)單元發(fā)生X 方向的剛體位移0u ,則單元內(nèi)到處應(yīng)有位移0u ,有0u u u u m j i =(00u u N N N u N u N u N u m j i m m j j i i =+=+=1=+m j i N N N若位移函數(shù)不滿足此要求,則不能反映單元的剛體位移,不能得到正確的結(jié)果。#證明2:設(shè)P 是三角形內(nèi)任一點(diǎn),可用面積坐標(biāo)表示為(m j i L L L P 。由面積坐標(biāo)的定義和性質(zhì)知1=+m j i L L L ,且三節(jié)點(diǎn)三角形的一點(diǎn)的面積坐標(biāo)即為其形函數(shù),故平面三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1

2、。#3-2:試證明三角形單元的任一邊上的一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)與第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān)。 證明1:設(shè)k 是三角形ij 邊上的任一點(diǎn),點(diǎn)k 面積坐標(biāo)得0=m m L N #證明2:三角形單元是協(xié)調(diào)單元,必須在單元邊界上保持連續(xù)性,所以在單元邊界上的點(diǎn)的位移只能由邊上兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)來貢獻(xiàn),否則就會(huì)撕裂和重疊,即(如在ij 邊上的點(diǎn)jj i i j j i i v N v N v u N u N u +=+=故三角形的三邊上的點(diǎn)的形函數(shù)只與邊上節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān),而與第三點(diǎn)無關(guān)。#3-3:證明三角形單元是常應(yīng)變單元。證明:y x u 321+=,y x v 654+=2=x ux 6=yvy53+=+=xv

3、y u xy # 即三角形單元是常應(yīng)變單元。3-4:已知單元?jiǎng)偠染仃噒dxdy B D B k TA e=,試說明D B ,分別是什么矩陣,與單元的那些特性有關(guān)?若厚度為t 的平面三角形常應(yīng)變單元ijm 的單元?jiǎng)偠染仃囉洖?=mm jm jj im ij ii k k k k k k k 說明子塊ij k 的物理意義,并證明k 為對(duì)稱矩陣。解:B 是應(yīng)變矩陣又稱幾何矩陣,與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān);D 為彈性矩陣,與材料的彈性常數(shù)E 、有關(guān)。ijk 表示當(dāng)節(jié)點(diǎn)j 處產(chǎn)生單位位移,其余節(jié)點(diǎn)完全被約束時(shí),在節(jié)點(diǎn)i 處引起的節(jié)點(diǎn)力。利用矩陣的運(yùn)算關(guān)系tA B D B tAB D B k TT TTTTT =

4、由于D 是對(duì)稱矩陣,D D T=所以k tA B D B k TT=,即k 為對(duì)稱矩陣。#3-5:圖示平面等腰三角形單元,若3.0=,彈性模量為E ,厚度為t ,求形函數(shù)矩陣N 、應(yīng)變矩陣B 及單元?jiǎng)偠染仃嘖 。(補(bǔ)充題意:平面應(yīng)力情況解:對(duì)平面等腰直角三角形建立圖示坐標(biāo)系。xymj i m j i j m m j i x x c y y b y x y x a +=0,0=i i i c a b a ,a c a b a a a c b a m m m j j j =,;,0,02221a A =形函數(shù)a x y c xb a A y x N i i i i =+=(21,( ay y c

5、x b a Ay x N j j j j =+=(21,( a ya x y x N m =1,(形函數(shù)矩陣:62/10/0/00/10/0/×=a y a x a y a x a y a x a y ax N求應(yīng)變矩陣=10000110021a b c c b A B i i i i i=0110001a B j ,=1110011a B m則631101101010000100011×=a B B B B m j i 應(yīng)力矩陣(6322121021210110010011×=a ES S S S m j i 三角形單元的剛度矩陣(662232112121232

6、121110021210210112×+=稱對(duì)Et DBtA B k T e 等腰直角三角形的單元?jiǎng)偠染仃嚺c三角形的面積和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān),請(qǐng)同學(xué)們記住這個(gè)結(jié)論,解題時(shí)會(huì)方便。等邊三角形的單元?jiǎng)偠染仃囈灿写诵再|(zhì)(自行推導(dǎo)。 代入已知數(shù)據(jù)得6635.165.0135.035.03.35.13.035.035.011003.035.035.0035.00182.1×=稱對(duì)Et k e#3-6:驗(yàn)證矩形單元的位移模式是否滿足位移連續(xù)性條件。 解:矩形單元如圖示,矩形單元的位移模式取為:xyy x v xy y x u 87654321+=+=在單元的邊界a x ±=及b y

7、 ±=上,位移是按線性變化的,而在公共邊界上有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相連,這兩個(gè)公共節(jié)點(diǎn)有共同的節(jié)點(diǎn)位移值,從而保證了兩個(gè)相鄰單元在其公共邊界上位移的連續(xù)性。故四節(jié)點(diǎn)矩形單元滿足位移連續(xù)性條件。#3-7:求以下受力單元的等效節(jié)點(diǎn)載荷R 。已知:mj im ij l l l 、 、q 、P ,厚度t ,P 點(diǎn)作用在jm 中點(diǎn)處,沿x 方向,三角形分布載荷垂直于ij 邊。 解:q 的單元2N/m ,設(shè)厚度為t ,如圖示t ql t ql X ij ij i 6330cos 31=°=t ql t ql Y ij ij i 6130sin 31=°=t ql PP t ql X ij

8、 ij j 1232230cos 61=+°=t ql t ql Y ij ij j 12130sin 61=°=2PX m =,0=m Y等效節(jié)點(diǎn)載荷Tij ij ij ij Pt ql t ql P t ql tql R =0212112326163#3-8:如圖a, b, c 所示的半帶寬各是多少?從帶寬優(yōu)化的角度出發(fā),那種節(jié)點(diǎn)編號(hào)最好?20 219(10214(8213(=×+=×+=×+=c b a B B B 考慮帶寬優(yōu)化即要求半帶寬盡可能的小,故a 圖節(jié)點(diǎn)編號(hào)最好。#3-9:寫出圖3-8題a 圖網(wǎng)格剖分方案用單元矩陣子塊組集成的整

9、體剛度矩陣,標(biāo)出整體剛度矩陣的階數(shù)。子塊編號(hào)如下圖a ,解:結(jié)構(gòu)離散為12個(gè)單元,12個(gè)節(jié)點(diǎn),故總體剛度矩陣的階數(shù)為24×24。用單元矩陣子塊表示的整體剛度矩陣為:=+1212121211121211101111111011118101012912121091112109991110811118810109891110987688871087788747796996689656676587457655676543255447434543144536523552333225312422332122114112111000000000000000000000000000000000000

10、0000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K 稱對(duì)#3-10:圖示的正方形薄板,在對(duì)角線頂點(diǎn)作用有沿厚度均勻分布的載荷,其合力為2kN ,板厚為1mm ,為簡單起見令0=, 1.根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力特點(diǎn),確定該結(jié)構(gòu)是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題?2. 畫出平板的有限元計(jì)算模型(包括單元類型選擇、網(wǎng)格劃分、單元、節(jié)點(diǎn)編號(hào)、載荷和約束的處理等; 3. 寫出上述有限元計(jì)算模型的節(jié)點(diǎn)載荷向量R 和節(jié)點(diǎn)位移向量;4. 按對(duì)稱性,畫出簡化的有限元模型。寫出由單元?jiǎng)偠染仃囎訅K組集而成的整體剛度矩陣,并確定

11、整體剛度矩陣的階數(shù);5. 寫出整體剛度方程,求解方板的變形。 解:1根據(jù)薄板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與受力情況,確定該問題屬于平面應(yīng)力問題。2對(duì)平板用4個(gè)單元,5個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散,結(jié)構(gòu)離散及約束和載荷的情況見有限元計(jì)算模型如右圖所示。3圖示有限元模型的節(jié)點(diǎn)載荷向量R 和節(jié)點(diǎn)位移向量為:TR 2000000002000000= T v u v u v u v u v u 5544332211=4按對(duì)稱性,簡化的有限元計(jì)算模型如右圖所示。 由單元?jiǎng)偠染仃囎訅K組集而成的整體剛度矩陣:12124664654634564325525443533252245244242436433543133313213132252

12、2431233212212111311211100000000000×+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K5單元節(jié)點(diǎn)編碼i ,j ,m 如果按上圖,則各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?等腰直角三角形的單元?jiǎng)偠染仃嚍?題3-5結(jié)果(662232112121232121110021210210112×+=稱對(duì)Etk e0=665.15.015.05.005.05.105.05.011010005.05.005.05.005.05.005.05.000100012×=Et k e總體剛度矩陣12125.005.05.

13、005.0000010*5.0035.05.05.025.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.0015.000005.015.05.10005.0000025.00035.015.005.05.005.01005.035.02000005.01015.035.015.0005.005.05.05.025.0305.00000000010100000005.005.05.005.02×=Et K 邊界條件:0654421=v v v u u u=0000005.005.05.005.00000101000000005.0035.05.05.025

14、.005.0005.015.03015.015.0000005.005.15.0015.000005.015.05.10005.0000025.00035.015.005.05.005.01005.035.02000005.01015.035.015.0005.005.05.05.025.0305.0000000001010000005.005.05.005.02000001000653321654421u u v u v v Et Y Y Y X X X上式利用降階后解得=E E E E E E u u v u v v /176.0/176.0/37.0/088.0/25.1/25.3653

15、321 本題沒有驗(yàn)證,僅供參考。#3-11 題意(略 解:單元節(jié)點(diǎn)編碼i ,j ,m 如果按上圖,則各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?等腰直角三角形的單元?jiǎng)偠染仃嚍?題3-5結(jié)果(662232112121232121110021210210112×+=稱對(duì)Et k e 0=665.15.015.05.005.05.105.05.011010005.05.005.05.005.05.005.05.000100012×=Et k e總體剛度矩陣881441342133124212321222132122110×+=k k k k k k k k k K 稱對(duì)=5.15.05.0010005.05.15.015.05.0005.05.05.1005.0100105.15.005.05.01005.05.105.05.05.05.05.0005.1010015.05.005.15.00005.05.015.05.12Et K