狀態(tài)反饋系統(tǒng)解耦

1、 狀態(tài)反饋系統(tǒng)解耦狀態(tài)反饋系統(tǒng)解耦 組員：吳權(quán)偉 朱賢寶 曹亞杰 顏小龍目錄1狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)解耦2狀態(tài)反饋靜態(tài)解耦狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)解耦1動(dòng)態(tài)解耦問題的提出2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征量3可動(dòng)態(tài)解耦條件4動(dòng)態(tài)解耦算法 在多變量系統(tǒng)中在多變量系統(tǒng)中, ,不同的輸入和輸出之間存在著耦合不同的輸入和輸出之間存在著耦合, ,即系即系統(tǒng)的第一個(gè)輸入量不但會(huì)對(duì)第一個(gè)輸出量產(chǎn)生影響統(tǒng)的第一個(gè)輸入量不但會(huì)對(duì)第一個(gè)輸出量產(chǎn)生影響, ,而且而且還會(huì)影響到其他的輸出量。這樣就造成了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和還會(huì)影響到其他的輸出量。這樣就造成了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和實(shí)際操作的困難。因此實(shí)際操作的困難。因此, ,控制領(lǐng)域的工程人員就提出了解控制領(lǐng)域的工程人員

2、就提出了解耦的思想耦的思想, ,試圖把多變量系統(tǒng)分解為多個(gè)單變量系統(tǒng)。解試圖把多變量系統(tǒng)分解為多個(gè)單變量系統(tǒng)。解耦控制的思想最早是由耦控制的思想最早是由gilbertgilbert完成的。當(dāng)時(shí)稱為完成的。當(dāng)時(shí)稱為MorganMorgan問題。解耦問題是多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)綜合理論的問題。解耦問題是多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)綜合理論的一個(gè)重要組成部分。其目的是尋找合適的控制規(guī)律使閉環(huán)一個(gè)重要組成部分。其目的是尋找合適的控制規(guī)律使閉環(huán)控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一個(gè)輸出分量僅僅受一個(gè)輸入分量控制控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一個(gè)輸出分量僅僅受一個(gè)輸入分量控制, ,而而且不同的輸出分量受不同的輸入分量控制且不同的輸出分量受不同的輸

3、入分量控制, ,從而可以運(yùn)用從而可以運(yùn)用經(jīng)典的控制系統(tǒng)綜合方法進(jìn)行系統(tǒng)校正經(jīng)典的控制系統(tǒng)綜合方法進(jìn)行系統(tǒng)校正, ,以使系統(tǒng)的動(dòng)靜以使系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能及各項(xiàng)指標(biāo)滿足工程實(shí)際的需要。態(tài)性能及各項(xiàng)指標(biāo)滿足工程實(shí)際的需要。解耦問題的提出設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)BAsICsGCxyBuAxx1)()(采用包含輸入變換輸入變換的狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋uBCAKx xyLppnpLxKu 解耦控制是在系統(tǒng)控制理論中得到廣泛研究的重要問題。 現(xiàn)代化的工業(yè)生產(chǎn)裝置，往往被控制的參數(shù)較多，這就要求要設(shè)置多個(gè)控制回路去控制這些參數(shù)。然而，這些回路常常會(huì)發(fā)生相互耦合、相互影響，使系統(tǒng)的性能變差、難于控制，甚至系

4、統(tǒng)無法正常工作。yudimdimu0detL三點(diǎn)基本假設(shè)三點(diǎn)基本假設(shè)一、動(dòng)態(tài)解耦問題的提出 3點(diǎn)基本假設(shè)點(diǎn)基本假設(shè) （1） ,即輸入和輸出具有相同的變量個(gè)數(shù)； （2）控制律采用狀態(tài)反饋結(jié)合輸入變換，即 其中K為 維反饋增益陣，L為 維輸入變換陣，v為參考輸入；相應(yīng)的反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及包含輸入變換的狀態(tài)反饋圖如前所示； （3）輸入變換陣L為非奇異，即有 。yudimdimppnpLxKupnppdet0L則系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為： BLBKAICGCxyBLvxBKAx1ssKL所謂動(dòng)態(tài)解耦控制，就是尋找輸入變換 ppRL和狀態(tài)反饋矩陣 npRK使得所導(dǎo)出的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為非奇異對(duì)角有理分式矩陣非奇

5、異對(duì)角有理分式矩陣 0sgsgsgsGiippKL11 動(dòng)態(tài)解耦的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)動(dòng)態(tài)解耦的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)p維輸入維輸入p維輸出的耦合系統(tǒng)，通過引入適當(dāng)?shù)木S輸出的耦合系統(tǒng)，通過引入適當(dāng)?shù)腖,K，化為，化為p個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的單輸入單輸出單輸入單輸出系統(tǒng)；系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)解耦綜合的兩個(gè)基本問題：可解耦條件和可解耦算法；動(dòng)態(tài)解耦綜合的兩個(gè)基本問題：可解耦條件和可解耦算法； 解耦控制對(duì)于解耦控制對(duì)于過程控制過程控制有著重要意義和廣泛應(yīng)用。有著重要意義和廣泛應(yīng)用。輸出矩陣 pnpCCCC21傳遞函數(shù)矩陣 sgsgsgBAsICsGppp211)( 分子多項(xiàng)式次數(shù)”“分母多項(xiàng)式次數(shù)”“sgsgsgsgsgsgijij

6、ijipiii,21設(shè)方方多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)CxyBuAxxiniiicccc,21結(jié)構(gòu)特性指數(shù)結(jié)構(gòu)特性指數(shù)定義為：定義為： 1nudii0, 12 , 1 , 0, 0BACkBACiiiki而當(dāng)1, 2 , 1 , 0, 0nkBACki當(dāng)pidipiii，或21,1,min210 0 di n-1, -1, i = 1,2,p兩種定義等價(jià)兩種定義等價(jià)二、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征量 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)，對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)特性向量結(jié)構(gòu)特性向量定義為：定義為： pisgsLimEBACEidsidiiii，21,或1Ei為為1p行向量，且兩種定義等價(jià)。行向量，且

7、兩種定義等價(jià)。包含輸入變換狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：包含輸入變換狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：CxyBLvxBKAx其結(jié)構(gòu)特征量為其結(jié)構(gòu)特征量為1nudii0)(12 , 1 , 0, 0)(BLBKACkBLBKACiiiki而當(dāng)1, 2 , 1 , 0, 0)(nkBLBKACki當(dāng)piBLBKACEidii，21,)(開環(huán)和閉環(huán)結(jié)構(gòu)特征量相等開環(huán)和閉環(huán)結(jié)構(gòu)特征量相等piii, 2 , 1LEEpiddii, 2 , 1證明如下:對(duì)任意 ,基于 的定義,有 基此 ,對(duì)任意L和K，可以導(dǎo)出： 而L非奇異，又可導(dǎo)出 從而 ，由式(6.149)和式（6.150），并據(jù) 和 的定義，即

8、可證得 和piddii, 2 , 1piii, 2 , 1LEE 11111111pddKLSSBEFBEASICsG閉環(huán)傳遞函數(shù)為：0detEE為非奇異即令3.1積分型解耦系統(tǒng)積分型解耦系統(tǒng)設(shè)方方多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)xCyuBxAxnqpnnnpEEEE21基于結(jié)構(gòu)特征向量組成的pp矩陣1111pdpdACACF基于結(jié)構(gòu)特性指數(shù)組成的pn矩陣FEKELnppp11,取 則可導(dǎo)出包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng) CxyvBExFBEAx11稱為積分型積分型解耦系統(tǒng)。無實(shí)際應(yīng)用價(jià)值理論分析應(yīng)用LvKxu三、可動(dòng)態(tài)解耦條件3.2可解耦條件可解耦條件設(shè)方方多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)xC

9、yuBxAxnqpnnnpEEEE21結(jié)論結(jié)論：對(duì)方方連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)，使包含輸入變換狀態(tài)反饋系統(tǒng)可實(shí)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦的充分必要條件現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦的充分必要條件是：基于結(jié)構(gòu)特征向量組成的pp矩陣E非奇異非奇異。 基于結(jié)構(gòu)特征向量結(jié)構(gòu)特征向量組成的pp矩陣 雖然積分型解耦系統(tǒng)在實(shí)際工程中無應(yīng)用價(jià)值，但是我們還是可以通過判斷一個(gè)包括輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)能否通過 轉(zhuǎn)化為積分型解耦系統(tǒng)來判定原系統(tǒng)是否能進(jìn)行解耦！這就是我們引入積分型解耦系統(tǒng)的意義。 FEKELnppp11,取給定n維方連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng) CxyBuAxx要求綜合一個(gè)輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對(duì)L,K,使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)

10、解耦，并使解耦后每個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)期望極點(diǎn)配置。Step1：計(jì)算受控系統(tǒng)(A,B,C)的結(jié)構(gòu)特征量 piEdii, 2 , 1,Step 2：基于結(jié)構(gòu)特征向量組成并判斷矩陣E的非奇異性 若E為非奇異，即能解耦，若E為奇異，則不能解耦。Step3： 1111,pidpdACACFE計(jì)算為完全能控，其中BAyu,dimdimStep 4：FEKELKL11,為：和預(yù)狀態(tài)反饋取預(yù)輸入變換導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng) CCBEBFBEAAxCyvBxAx,11保持為完全能控。且BA,四、解耦控制綜合算法 Step5：判斷 CA,的能觀測(cè)性，若不完全能觀測(cè)，計(jì)算 mACACCrankrankQn10Step

11、6：引入線性非奇異變換 xTx1化積分型積分型解耦系統(tǒng)為解耦規(guī)范型解耦規(guī)范型。 對(duì)完全能觀測(cè) CA,nmRcRbRApiCCTCCbbBTBAATATApiimimimmipppiiii11111111, 2 , 1，解耦規(guī)范型具有形式：:,，解耦規(guī)范型具有形式對(duì)不完全能觀測(cè)CAmmpiRcRbRACCCbbbbBAAAAAApiimimimmipccppccpiiiipp1111111, 2 , 1000011能觀性分解能觀性分解00, 11000001010111iiidmCbAiiiimmmmii情形：對(duì)00100100*0000010010111iiiimimimmiiCbidmA情形

12、：對(duì)di+1di+1mi-(di+1)mi-(di+1) di+1Step7 求 1T100100110101111,.TccTccTTnnncncQQQQTQQQQTACACCQACACCQBABABQBABABQTCCBTBTATA由Step8：對(duì)解耦規(guī)范型 CBA,選取 np狀態(tài)反饋矩陣 K的結(jié)構(gòu) 對(duì)完全能觀測(cè) pkkK1對(duì)不完全能觀測(cè) 001pkkKiidiiiiikkkkdm, 1100, 0, 110iidiiiiikkkkdmStep9：對(duì)解耦后各單輸入單輸出系統(tǒng)指定期望極點(diǎn)組：按單輸入情形極點(diǎn)配置法，定出狀態(tài)反饋矩陣 Step10：最后得 K1111,ELTKEFEK例例6.4

13、 p298piidiii, 2 , 1*1,*2*1pikkkKiidii, 2 , 110Step11：停止計(jì)算。 狀態(tài)反饋矩陣的這種選擇必可使實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)解耦：CBA,KpppppbkbAsIcbkbAsIcBKBAsIC11111111解耦極點(diǎn)配置9.3.2 算例給定雙輸入雙輸出的線性定常受控系統(tǒng)為要求綜合滿足解耦和期望極點(diǎn)配置的一個(gè)輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣下面我們根據(jù)算法9.3.1來求解該系統(tǒng)的輸入輸出解耦控制。(1,2)(1,2)iid iE i 第一步：計(jì)算和和因?yàn)?12121,11 0 ,0 1ddEE 121 00 1EEE由此即可定出第二步：判斷解耦條件。顯然可解耦性判別陣為非奇異

14、，因此該系統(tǒng)可利用狀態(tài)反饋加輸入變換進(jìn)行解耦。第三步：導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)。定出211221 03002,0 10200c AEFc A 111 03002,0 10200LEKEF 11010000000010,00010000000110000010AABEFBBECC 再取則有第四步：第四步：化解耦規(guī)范型。 由 =1, =1和n=4,可以導(dǎo)出 + =4 和 ， 又由于 完全能觀測(cè)，可導(dǎo)出解耦規(guī)范型。容易看出(,)A C保持為完全能觀測(cè)的。1d2d1m2m(,)A C由已知能控能觀測(cè) 和 ，可以定出變換矩陣為(,)ABCK 第五步：第五步：相對(duì)于解耦規(guī)范型確定狀態(tài)反饋 增益矩陣，實(shí)現(xiàn)希望極點(diǎn)

15、配置。K 101120210000kkKkk 101120210101kkABKkk 將取為則可得T = 1T = 10000101011101021000020101100101111221222,42,2jj 2122( )(2)(4)68( )(2)(2)45sssssssjsjss 101120218,6,5,4kkkk 86000054K 再來指定解耦后的單輸入單輸出系統(tǒng)的期望特征值分別為于是通過計(jì)算就可定出從而第六步：定出對(duì)給定控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦控制和極點(diǎn)配置 的控制矩陣對(duì)(,)L K1111 00 1116020254LEKEFEK 010000860010()0001000054

16、01xABK xBLvxv 第七步：定出解耦后閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和傳遞函數(shù)矩陣。 解耦控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為10000010yCxx從而其傳遞函數(shù)矩陣為2121068( )()1045KLssGsC sIABKBLss 由以上介紹可以看出，解耦控制大大簡化了控制過程，使得對(duì)各個(gè)輸入變量由以上介紹可以看出，解耦控制大大簡化了控制過程，使得對(duì)各個(gè)輸入變量的控制都可以單獨(dú)地運(yùn)行。在許多工程問題中，特別是過程控制中，解耦控制的控制都可以單獨(dú)地運(yùn)行。在許多工程問題中，特別是過程控制中，解耦控制有著重要意義。有著重要意義。狀態(tài)反饋靜態(tài)解耦1靜態(tài)解耦提出原因2靜態(tài)解耦概念理解3可靜態(tài)解耦條件

17、4靜態(tài)解耦算法一、靜態(tài)解耦的提出原因 靜態(tài)解耦的提出主要兩點(diǎn)基本原因兩點(diǎn)基本原因：1、動(dòng)態(tài)解耦嚴(yán)重依賴系統(tǒng)模型，任何模型誤差和參數(shù)攝動(dòng)、動(dòng)態(tài)解耦嚴(yán)重依賴系統(tǒng)模型，任何模型誤差和參數(shù)攝動(dòng) 都將破壞系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解耦；都將破壞系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解耦；2、靜態(tài)解耦對(duì)模型誤差和參數(shù)攝動(dòng)敏感性小，從工程角度、靜態(tài)解耦對(duì)模型誤差和參數(shù)攝動(dòng)敏感性小，從工程角度 已可滿足實(shí)際需要；已可滿足實(shí)際需要；設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)BAsICsGCxyBuAxx1)()(采用包含輸入變換輸入變換L的狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋KBCAKx xyLppnpLxKuyudimdimu0detL三點(diǎn)基本假設(shè)三點(diǎn)基本假設(shè)二、靜態(tài)解耦概念理解則

18、系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為： BLBKAICGCxyBLvxBKAx1ssKL二、靜態(tài)解耦概念理解（續(xù)）Def：所謂靜態(tài)解耦靜態(tài)解耦控制，就是尋找輸入變換 ppRL和狀態(tài)反饋矩陣 npRK使得，所導(dǎo)出的含輸入變換及狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)及其閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 KLsG滿足兩大屬性兩大屬性：1、閉環(huán)控制系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定閉環(huán)控制系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定，即有： 也就是（A-BK）的特征值均具有負(fù)實(shí)部 （P239 結(jié)論5.23）Re () 0,1,2,iA BKin2、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 當(dāng)s=0時(shí)為非奇異對(duì)角常數(shù)陣常數(shù)陣，即有 KLsG 110(0)lim, (0) 0,1 ,2,(0)KLiisppgsgi

19、pgG靜態(tài)解耦區(qū)別于區(qū)別于動(dòng)態(tài)解耦的的兩大特點(diǎn)兩大特點(diǎn)：1.（頻率域特點(diǎn)）當(dāng)S0時(shí)，閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 為非對(duì)角矩陣；當(dāng)S=0時(shí)，為對(duì)角常數(shù)矩陣；即有 KLsG 111111( )( ),0( )( )(0),0(0)ppppKLppgsgssgsgssgsg G二、靜態(tài)解耦概念理解（續(xù)）靜態(tài)解耦區(qū)別于區(qū)別于動(dòng)態(tài)解耦的的兩大特點(diǎn)兩大特點(diǎn)：2.（時(shí)間域特點(diǎn)）只適合于p維參考輸入各分量為階躍信號(hào)情況，即)(1)(1)(21tttv1121111111112111( )( )1( )( )( )1( )( )1( )K LPiiipPppppiiiy tLGssLgssgsgsLsgsgsLgss二、

20、靜態(tài)解耦概念理解（續(xù)）過渡態(tài)靜態(tài)解耦區(qū)別于區(qū)別于動(dòng)態(tài)解耦的的兩大特點(diǎn)兩大特點(diǎn)：2.（時(shí)間域特點(diǎn)（續(xù)）（續(xù)）二、靜態(tài)解耦概念理解（續(xù)）11001111111lim( )lim( )lim( )(0)(0)(0)(0)KLKLtssppppppppy tsGsGssgggg12i,( ),piv vvy tv同時(shí)由過渡過程中由且僅由 所控制穩(wěn)態(tài)過程中穩(wěn)態(tài)三、可解耦條件 結(jié)論：結(jié)論：存在輸入變換和狀態(tài)反饋矩陣對(duì)L,K,其中 0detL可使方n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦，當(dāng)且僅當(dāng)： 1.受控系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定；2.受控系統(tǒng)系數(shù)矩陣滿足：pnDCBArank證明：分三步證明： 1.秩關(guān)系

21、矩陣變換； 2.證充分性；由已知系統(tǒng)鎮(zhèn)定與系數(shù)矩陣秩關(guān)系等式推導(dǎo)系統(tǒng)靜態(tài)解耦，即兩大屬性； 3.證必要性；由已知兩大屬性推導(dǎo)系統(tǒng)鎮(zhèn)定與系數(shù)矩陣秩關(guān)系等式；三、可解耦條件（證明） 秩關(guān)系矩陣變換 基于 存在-1()ABK-1-1-1-1-1-1-1I0()I0()()()I0-I0I0I0()()()II0-I0nnppnnpppC ABKBABKABKBABKBC ABKBCABKABKBABC ABKBKC-1I0()0nABrankrankC ABKBC式6.193三、可解耦條件（證明） 證明充分性已知：解耦條件：1.受控系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定；2.pnDCBArank兩大屬性：1.反饋系統(tǒng)

22、漸進(jìn)穩(wěn)定；2. 為非奇異對(duì)角常數(shù)陣 0KLG1.由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定可知，必存在 使npRKRe () 0,1,2,iA BKin即，狀態(tài)反饋系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；2.由 可知 ,(A-BK)為非奇異，即 存在 ，結(jié)合式6.193 及秩關(guān)系等式可導(dǎo)出： 即， 矩陣 為非奇異 ；Re () 0,1,2,iA BKin0ABK-1()ABK-1()rankC A BKBppp-1()C ABKB-1I0()0nABrankrankC ABKBC三、可解耦條件（證明） 證明充分性(續(xù))取輸入變換陣-11 ()LC ABKBD 其中 矩陣 取為：ppD110,1,2,iippdDdipd -100-1-11liml

23、im() () ()KLsssC sIABKBLC ABKBC ABKBDD G即 為非奇異對(duì)角常數(shù)陣 0KLG因此，系統(tǒng)可由L,K實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦；充分性得證；三、可解耦條件（證明） 證明必要性可解耦條件：1.受控系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定；2.pnDCBArank已知：解耦兩大屬性：1.反饋系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；2. 為非奇異對(duì)角常數(shù)陣 0KLG1.由系統(tǒng)可解耦，可知存在L，K使得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且 -10()KLC ABKBL G為非奇異對(duì)角陣由系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定可得知，受控系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定；（條件一成立）且易得知， 存在 2 . 非奇異，且已知L非奇異，可推導(dǎo) 非奇異 -1()C ABKBL-1()C ABKB-1()ABK三、可解耦條件（證明） 證明必要性（續(xù)）由于已得知 存在，可結(jié)合式-1()ABK-1()C ABKB非奇異pnDCBArank-1I0()0nABrankrankC ABKBC可導(dǎo)出：條件二成立因此，必要性得證四、靜態(tài)解耦算法 Step1：判斷受控系