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文檔簡介
1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程重點與難點要記第一章:隨機事件及其概率題型一:古典概型1房間里有10 個人,分別佩戴從1 號到 10 號的紀念章,任選3 人記錄其紀念章的號碼,求最小號碼為5 的概率,及最大號碼是5 的概率。2設袋中有5 個白球, 3 個黑球,從袋中隨機摸取4 個球,分別求出下列事件的概率:1)采用有放回的方式摸球,則四球中至少有1 個白球的概率;2)采用無放回的方式摸球,則四球中有1 個白球的概率。3一盒子中有10 件產(chǎn)品,其中4 件次品,每次隨機地取一只進行檢驗,1)求第二次檢驗到次品的概率;2)求第二才次檢驗到次品的概率。4在 1 2000 的整數(shù)中隨機的取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能
2、被6 整除,又不能被 8 整除的概率是多少?(合理的設置事件,通過概率的性質(zhì)解題也很重要)課后習題:P16:2,3,4,5, 7 ,9,10,11,12, 13,14P30:8,9,10,16題型二:利用條件概率、乘法公式及事件的獨立性計算事件的概率1。 3 人獨立去破譯一個密碼,他們能譯出的概率分別為1/5、 1/4、 1/3,問能將此密碼譯出的概率。2。設口袋有2n-1 只白球, 2n 只黑球,一次取出n 只球,如果已知取出的球都是同一種顏色,試計算該顏色是黑色的概率。3。設袋中裝有a 只紅球, b 只白球,每次自袋中任取一只球,觀察顏色后放回,并同時放入 m 只與所取出的那只同色的球,連
3、續(xù)在袋中取球四次,試求第一、第二次取到紅球且第三次取到白球,第四次取到紅球的概率。課后習題:P23:1,2,3,4,6, 10,11 P28:1, 2,4,5,6,7,9,10, 12,13題型三:全概率與貝葉斯公式1在一個每題有4 個備選答案的測驗中,假設有一個選項是正確的,如果一個學生不知道問題的正確答案,他就作隨機選擇。知道正確答案的學生占參加測驗者的90%,試求:1)學生回答正確的概率;2)假如某學生回答此問題正確,那么他是隨機猜出的概率。2一通訊通道,使用信號“0”和“ 1”傳輸信息。以 A 記事件收到信號“1”,以 B 記事件發(fā)出信號“ 1”。已知P(B)0.4,P(A / B)0
4、.95,P( A / B)0.90。1)求收到信號“1”的概率?2)現(xiàn)已收到信號“1”,求發(fā)出信號是“ 1”的概率?課后習題:P23:7,8,9,12P31: 19,26, 27,28第二章:隨機變量及其分布題型一:關于基本概念:概率分布律、分布函數(shù)、密度函數(shù)1一房間有三扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了1房間, 它只能從開著的窗子飛出去。 鳥在房間里飛來飛去,試圖飛出房間。 假定鳥是沒有記憶的,鳥飛向各扇窗子是隨機的。1)以 X 表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),求X 的分布律;2) 戶主聲稱, 他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試次數(shù)不多于一次。以 Y
5、表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)。如戶主所說是確實,試求Y 的分布率。3)寫出 Y 的分布函數(shù)。2以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個顧客到達的等待時間(以分鐘計), X 的分布函數(shù)是:1e0.4 x, x0FX( x)x00,試求: 1) P( 3 分鐘至 4 分鐘之間) 2) P(至多三分鐘或至少4 分鐘) 3) P(恰好 3 分鐘)4) X 的密度函數(shù)。3設隨機變量 X 的密度函數(shù)為x,0 x1f ( x)2x,1 x20,其它試求 X 的分布函數(shù)。課后習題:P41:1,3,4,7,8,9 P45:2,3,4,5,6 P60: 6,9,11題型二:關于六種重要的分布1某種型
6、號器件的壽命X(以小時記)具有以下的概率密度10002,x 1000f (x)x0,其它現(xiàn)有一大批此種器件(設各種器件損壞與否相互獨立),任取 5 只,問其中至少有1 只壽命大于 1500 小時的概率是多少?(幾種分布揉合在同一題當中,要注意分布的識別)2某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓(收縮壓,mmHg計),服從N(110,122)分布,在該地區(qū)任選一 18 歲的女青年,測量它的血壓X,試求: 1)PX 1052)P100 X1203)確定最小的 x,使P Xx0.05。課后習題:P42:10,12, 13 P53 : 5, 6,7,11,12, 13,14題型三:關于隨機變量函數(shù)Yg ( X
7、 )的分布1設XN (0,1),求 1)YeX2)Y 2X1的概率密度函數(shù)。課后習題:P59: 1, 2, 3, 4P60:20,212第三章:多維隨機變量及其分布題型一:二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù),及X 與 Y 獨立性的判定。1設( X ,Y)在曲線yx2, yx所圍成的區(qū)域G 內(nèi)服從均勻分布,試求1)( X ,Y)的聯(lián)合密度函數(shù),2) X 和 Y 的邊緣密度函數(shù),3)同時判定 X 與 Y 是否相互獨立。課后習題 :P71:7,8,9,10題型二:二維連續(xù)型隨機變量的和分布:ZX Y的分布1設隨機變量 X 與 Y 相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為1,0 x1ey, y0fX(
8、x)其它fY( y)0, y00,求隨機變量U=X+Y的概率密度函數(shù)。課后習題 :P86: 5,6 P89:16題型三: 二維離散型隨機變量的分布律及其隨機變量函數(shù)的分布律的建立、邊緣分布律、 及X 與 Y 獨立性的判定。1將一枚硬幣投擲三次,以X 表示前 2 次中出現(xiàn) H 的次數(shù),以Y 表示 3 次中出現(xiàn)H 的次數(shù),試求: 1)( X , Y )的聯(lián)合分布律2)YX 的分布律3) XY 的分布律2將一枚硬幣投擲三次,以X 表示前 2 次中出現(xiàn) H 的次數(shù),以Y 表示 3 次中出現(xiàn)H 的次數(shù),試求: 2)分別關于 X 和 Y 的邊緣分布律2)判定 X 與 Y 是否獨立,并說出理由。課后習題 :
9、P71: 3,P86:2,3 P87: 1,3P89: 15第四章:隨機變量的數(shù)字特征題型一:關于隨機變量和隨機變量函數(shù)Zg( X ,Y)的期望與方差的計算, 二維隨機變量的協(xié)方差或相關系數(shù)的計算,同時掌握獨立和相關性的判定方法。1已知( X, Y)的聯(lián)合分布律如下表,XY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8試求: 1)E( X)2)D( X) 3)E(XY) 4 )E( XY) 5 )COV(X,Y) 6)X ,Y7) X 與 Y 是否相關,是否獨立?2設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為31,x2y21f ( x, y)0,其它試求: 1)E(X) 2)D(
10、 X)3)E(XY)4)E( X+Y) 5 )COV(X,Y) 6)X ,Y7) X 與 Y 是否相關,是否獨立?課后習題:P96:2,6,7,8,9, 10,11,12,13 P104 :2,4,7, 8,9P113:1, 3,4,7,8,9第五章:數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識題型一:運用定義證明一些簡單的統(tǒng)計量所服從的分布1已知Xt( n),求證X2F (1,n)。2設總體X ,Y獨立且都服從正態(tài)分布N (0,2),已知X1, X2,., Xm與Y1,Y2,., Yn是分別mXi來自總體X ,Y的簡單隨機樣本,求統(tǒng)計量Tni 1的分布。mn2Yii 1題型二: 來自正態(tài)總體抽樣, 利用定理結(jié)論或定義
11、, 計算某些統(tǒng)計量落在某些區(qū)間的概率問題1在總體N (52,6.32)中隨機抽一容量為36 的樣本, 求樣本均值落在50.8到 53.8 之間的概率。2設在總體N ( ,2)中抽得一容量為16的樣本,這里為N (0,0.32)的一個樣本,求P3設X, X,., X1210課后習題:P142,2,3,4, 5,P148:2,4, 6第六章:參數(shù)估計 & 第七章:假設檢驗題型一:點估計:矩估計法,極大似然估計法1設X1, X2,., Xn是取自總體X 服從 Possion 分布,求關于未知參數(shù)的極大似然估計量與矩估計量。2設隨機變量X 的概率密度為f (x, )x1, 0 x10,其它其中
12、0為未知參數(shù)。 設X1,X2,.,Xn是總體的一組樣本, 分別求參數(shù)的極大似然估4計量與矩估計量。3分別求均勻分布U (0, )關于的矩估計和極大似然估計。課后習題:P164:1,2,3,4,5,6題型三:區(qū)間估計類型:一個正態(tài)總體關于均值,關于方差的雙側(cè)區(qū)間估計(注:詳見 P171-172 :單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間)1設某種清漆的9 個樣品,其干燥時間(以小時計)分別為6.0, 5.7, 5.8, 6.5,7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0設干燥時間總體服從正態(tài)分布N (,2),求的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間:(1)若有以往經(jīng)驗知0.6小時,(2)若未知。課后習題 :P
13、180:1,2,3,4,5,6題型四:假設檢驗類型:一個正態(tài)總體關于“均值”,關于“方差”的雙側(cè)假設檢驗(注:詳見P194:正態(tài)總體的假設檢驗一欄表)1 在生產(chǎn)線上裝配某種產(chǎn)品,在正常情況下,一件產(chǎn)品所需的裝配時間(以min 計)XN (10,1.42),某日管理人員隨機的觀察了25 只產(chǎn)品的裝配時間,得到樣本的均值x10.45,據(jù)以往經(jīng)驗知1.4不會改變。問管理員可否懷疑平均裝配時間與10 有顯著差異?0.05。課后習題 :P193:1,3,4,5,6,7(注意:復習卷所列題目和課后習題同樣重要)全書填空題1 設某人向靶子射擊3 次,用Ai表示“第 i 次射擊擊中靶子” ( i 1,2,3)
14、,試用事件Ai示下列事件:(1)三次均未中靶A1A2A3,(2)三次中至多有兩次中靶靶AAA AAA AAA。1231231232已知P( A)1/ 3, P(B)1/ 4,P(AB)1/ 2,則P(AP( AB/AB)1/6。3已知E( X )2, DX1,則E(2X21)11(x)2x,0 x 14的密度函數(shù)為設隨機變量0 , 其它5P(X0.4)0。5某人打靶的命中率為0.8,現(xiàn)獨立射擊10 次,請寫出 10 次射擊中命中次數(shù)的概率分布律的通項表達P( Xk )C10k(0.8)k(0.2)10 k,k0,1,2,.,10。1x26x 96設隨機變量Xf ( x)e42的分布是N(0,1
15、),X分布的期望,則X服從的分布是N(3,2),X 3服從23,方差 2。7若事件A、B相互獨立,則P( AB)P( A) P( B);若事件A、P(AB)_0_。8設PA1,PB11_1/6_;P( A3,P BA,則P( AB)22P A B_1/3_。9同時擲兩顆股子,出現(xiàn)的兩個點數(shù)之和是3 的概率為 _1/18_。10若隨機變量XU1,1,則其密度函數(shù)為f ( x)0.5,0,0,x1數(shù)為F ( x)x11x1。,21,1x11若隨機變量Xb 5,0.2,則期望EX_1_。12設隨機變量X的期望EX1,方差DX2,則E2XD2X1_8_。13已知隨機變量XN3,16,則隨機變量YX414設總體X在區(qū)間0,上服從均勻分布,0未知,則由樣本值x1, x2, , xn求得的矩估計2x。15若隨機變量X6,則P X ke66k;期望EX_6_ ;方差DXk !16XN 1,2,YN 3,4則隨機變量X已知隨機變量617設( X1, X2,., Xn)為總體X的一組樣本, 則總
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