人大微積分課件8-3全微分課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分一一 全微分的定義全微分的定義二二 可微的條件可微的條件 全增量的概念 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差),(yxfz ),(yx),(yyxxP即即),(),(yxfyyxxfz為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自變量增量對(duì)應(yīng)于自變量增量的全增的全增量，記為量，記為zPyx ,),(),(yxfyyxxf一、全微分的定義函數(shù)若在某區(qū)域函數(shù)若在某區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)在則稱這函數(shù)在內(nèi)可微分內(nèi)可微分.DD 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在

2、點(diǎn)的全增量的全增量可以表示為可以表示為，其中其中BA,不依賴于不依賴于而僅與而僅與有關(guān)，有關(guān)，則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微分，可微分，稱為函數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的的全微分全微分，記為記為，即即 . .),(yxfz ),(yx),(),(yxfyyxxfz)( oyBxAzyx ,yx,22)()(yx ),(yxfz ),(yxyBxA),(yxfz ),(yxdzyBxAdz),(lim00yyxxfyx),(lim0zyxf ),(yxf二 、可微的條件如果函數(shù)在點(diǎn)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).定理1),(yxfz ),(yx事實(shí)上事實(shí)上)( oyBxAz故函數(shù)故函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處連續(xù)處連續(xù).)

3、,(yxfz ),(yx 定理定理 2 2（必要條件）如果函數(shù)必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、必存在，且函數(shù)必存在，且函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的全微分的全微分為為 xzyzyyzxxzdz),(yxfz ),(yxfz ),(yx),(yx),(yx證證如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP可微分可微分,屬于屬于 ),(yyxxPP的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域)( oyBxAz 總成立總成立, ,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，上式仍成立，時(shí)，上式仍成立， 此時(shí)此時(shí)|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,x

4、z 同理可得同理可得.yzB 一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx,)()(22yxyx如果考慮點(diǎn)如果考慮點(diǎn)),(yxP 沿著直線沿著直線xy 趨近于趨近于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx22)()(xxxx,21說明它不能隨著說明它不能隨著0趨于趨于 而趨于而趨于0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0(

5、 oyfxfzyx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(處不可微處不可微.說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，證),(),(yxfyyxxfz),(),(yyxfyyxxf),(),(yxfyyxf定理3 （充分條件）如果函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)),(yx連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分xz yz ),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1 ) 10(1 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）其中其中1 為為yx ,的函數(shù)

6、的函數(shù),且當(dāng)且當(dāng)0, 0 yx時(shí)，時(shí)，01 .xxyxfx1),( yyyxfy2),( z2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，,0y02 習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上

7、函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況例例 1 1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz,xyxeyz,2)1 , 2(exz,22)1 , 2(eyz.222dyedxedz所求全微分所求全微分例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4p p x，p p y，4p p dx，p p dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分.解解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4(p pp pp pp pp pp p).74(82p pp p例例 3 3 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzey

8、xu 2sin的全微分的全微分.解解, 1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例例 4 4 試證函數(shù)試證函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微.思思路路：按按有有關(guān)關(guān)定定義義討討論論；對(duì)對(duì)于于偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討討論論. )0 , 0(),(0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf證證令令,cos x,sin y則則22

9、)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)),(yxP沿直線沿直線xy 趨于趨于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時(shí)時(shí)， 所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).同理可證同理可證),(yx