2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科、全國卷二(含答案)

1、 2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 ( 課標全國卷) 文 數(shù) 本卷滿分 150 分 , 考試時間 120 分鐘 . 第卷 (選擇題 ,共 60 分) 一、選擇題 : 本題共 12 小題 , 每小題 5 分 , 在每小題給出的四個選項中 , 只有一項是符合題目 要求的 . 1. 已知集合 A=1,2,3,B=x|x 2 0) 與 C 交于點 P,PFx 軸 , 則 k=() ? A. 1 B.1 C.3 D.2 2 2 6. 圓 x2+y2-2x-8y+13=0 的圓心到直線 ax+y-1=0 的距離為 1, 則 a=() A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2 3 4 7. 下圖是由

2、圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖 , 則該幾何體的表面積為 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32 8. 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn) , 紅燈持續(xù)時間為 40 秒 . 若一名行人來到 該路口遇到紅燈 , 則至少需要等待 15 秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 () A. 7 B. 5 C.3 D. 3 10 8 8 10 9. 中國古代有計算多項式值的秦九韶算法 , 下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖 . 執(zhí)行該程序框圖 , 若輸入的 x=2,n=2, 依次輸入的 a 為 2,2,5, 則輸出的 s=( ) A.7 B.12 C.17 D.34 10. 下列函數(shù)中 , 其定義域和值域分別

3、與函數(shù)y=10 lg x 的定義域和值域相同的是 () A.y=x B.y=lg x C.y=2 x D.y= 1 ? 11. 函數(shù) f(x)=cos 2x+6cos - x 的最大值為 ( ) 2 A.4 B.5 C.6 D.7 12. 已知函數(shù) f(x)(x R)滿足 f(x)=f(2-x), 若函數(shù) y=|x 2-2x-3| 與 y=f(x) 圖象的交點為 (x ,y ),(x ,y ),(x ,y ? ) 2 ), 則 ?=( 1 1 2 m m ? ?=1 A.0 B.m C.2m D.4m 第卷 ( 非選擇題 , 共 90 分) 本卷包括必考題和選考題兩部分 . 第 1321 題為

4、必考題 , 每個試題考生都必須作答 . 第 2224 題為選考題 , 考生根據(jù)要求作答 . 二、填空題 : 本題共 4 小題,每小題 5 分. 13. 已知向量 a=(m,4),b=(3,-2), 且 ab, 則 m= . ?-?+ 1 0, 14. 若 x,y 滿足約束條件 ?+ ?-3 0, 則 z=x-2y 的最小值為 . ?-3 0, 15. ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c, 若 cos A= 4,cos C= 5 ,a=1, 則 b= . 5 13 16. 有三張卡片 , 分別寫有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲 , 乙 , 丙三人各取走一張卡片 ,

5、甲看了乙的卡 片后說 : “我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2”, 乙看了丙的卡片后說 : “我與丙的卡片上相 同的數(shù)字不是 1”,丙說:“ 我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”,則甲的卡片上的數(shù)字 是 . 三、解答題 : 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.( 本小題滿分 12 分) 等差數(shù)列 a 中 ,a +a =4,a +a =6. n 3 4 5 7 ( ) 求 a 的通項公式 ; n ( )設(shè) b =a n , 求 數(shù) 列 b 的前 10 項 和 , 其 中 x 表 示 不 超 過 x 的 最 大 整 數(shù) , 如 n n 0.9=0,2.6=2. 18.( 本小題滿分 12 分)

6、 某險種的基本保費為 a( 單位 : 元 ), 繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人 , 續(xù)保人本年度的保 費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下 : 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的 200 名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況 , 得到如下統(tǒng)計表 : 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 ( ) 記 A 為事件 : “一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費” . 求 P(A) 的估計值 ; ( ) 記 B 為事件 : “一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的 160%”. 求 P

7、(B) 的估計值 ; ( ) 求續(xù)保人本年度平均保費的估計值 . 19.( 本小題滿分 12 分 ) 如圖 , 菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O,點 E,F 分別在 AD,CD 上 ,AE=CF,EF 交 BD 于點 H. 將 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置 . ( ) 證明 :ACHD; ( ) 若 AB=5,AC=6,AE=5 ,OD=2 2, 求五棱錐 D-ABCFE 的體積 . 4 20.( 本小題滿分 12 分) 已知函數(shù) f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). ( ) 當 a=4 時 , 求曲線 y=f(x) 在 (1, f(1) 處的切線方程 (

8、 ) 若當 x(1,+ ) 時 , f(x)0, 求 a 的取值范圍 . ; 21.( 本小題滿分 12 分 ) 2 2 已知 A是橢圓 E: ?+?=1 的左頂點 , 斜率為 k(k0) 的直線交 E 于 A,M兩點 , 點 N在 E上,MANA. 4 3 ( ) 當 |AM|=|AN| 時 , 求 AMN 的面積 ; ( ) 當 2|AM|=|AN| 時 , 證明 : 3k2. 請考生在第 2224 題中任選一題作答 , 如果多做 , 則按所做的第一題計分 . 22.( 本小題滿分 10 分 ) 選修 41: 幾何證明選講 如圖 , 在正方形 ABCD 中 ,E,G 分別在邊 DA,DC

9、上 ( 不與端點重合 ), 且 DE=DG,過 D 點作 DFCE, 垂足為 F. ( ) 證明 :B,C,G,F 四點共圓 ; ( ) 若 AB=1,E 為 DA 的中點 , 求四邊形 BCGF 的面積 . 23.( 本小題滿分 10 分 ) 選修 44: 坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系 xOy 中, 圓 C 的方程為 (x+6) 2+y2=25. ( ) 以坐標原點為極點 ,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系 , 求 C 的極坐標方程 ; ?= ?cos?, ( ) 直線 l 的參數(shù)方程是 ?= ?sin ? (t 為參數(shù) ),l 與 C 交于 A,B 兩點 ,|AB|= 10 , 求 l 的

10、斜 率. 24.( 本小題滿分 10 分 ) 選修 45: 不等式選講 已知函數(shù) f(x)= ?- 1 + ?+ 1 2 2 ,M 為不等式 f(x)2 的解集 . ()求 M; ( ) 證明 : 當 a,b M 時 ,|a+b|1+ab|. 2016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 (課標全國卷 ) 一、選擇題 1.D 由已知得 B=x|- 3x0) ? 6.A 由圓的方程可知圓心為 |? 1+4-1| 4 (1,4). 由點到直線的距離公式可得 2 =1, 解得 a=- ,故選 A. ? +1 3 易錯警示 圓心的坐標容易誤寫為 (-1,-4) 或 (2,8). 7.C 由三視圖知圓錐的高

11、為 2 3, 底面半徑為 2,則圓錐的母線長為 4,所以圓錐的側(cè)面積為 1 4 4=8 圓.柱的底面積為 4, 2 圓柱的側(cè)面積為 44=16,從而該幾何體的表面積為 8+16+4=28,故選 C. 8.B 行人在紅燈亮起的 25 秒內(nèi)到達該路口 ,即滿足至少需要等待 15 秒才出現(xiàn)綠燈 ,根據(jù)幾 何概型的概率公式知所求事件的概率P=25 = 5 ,故選 B. 40 8 9.C 執(zhí)行程序框圖 ,輸入 a 為 2 時 ,s=0 2+2=2,k=1,此時 k2 不成立 ; 再輸入 a 為 2 時,s=2 2+2=6,k=2, 此時 k2 不成立 ;再輸入 a 為 5,s=6 2+5=17,k=3,

12、 此時 k2 成立 ,結(jié)束循環(huán), 輸出 s 為 17, 故選 C. 10. D函數(shù) y=10 lg x 的定義域、 值域均為 (0,+ ),而 y=x,y=2 x 的定義域均為 R,排除 A,C;y=lg x 的值域為 R,排除 B,故選 D. 易錯警示 利用對數(shù)恒等式將函數(shù) y=10 lg x 變?yōu)?y=x, 將其值域認為是 R 是失分的主要原因 . 3 2 11 ,當 sin x=1 時 , f(x) 取得最大值 5,故選 B. 11. B f(x)=1-2sin 2 x+6sin x=-2 sin ?- + 2 2 思路分析 利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式將 f(x)=cos 2x+6co

13、s 2 -x 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 sin x 的二 次函數(shù) ,通過配方來求最值 , 注意不要忘記 sin x -1,1. 12. B 由題意可知 f(x) 的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱 ,而 y=|x 2 -2x-3|=|(x-1) 2-4| 的圖象也關(guān)于直線 x=1 對稱 ,所以兩個圖象的交點關(guān)于直線 x=1 對稱 ,且每對關(guān)于直線 x=1 對稱的交點的橫坐標 ? 之和為 2,所以 xi=m, 故選 B. ?=1 疑難突破 關(guān)于直線 x=1 對稱的兩點橫坐標之和為 2,由題意得出 f(x)與 y=|x 2-2x-3| 的圖象均 關(guān)于直線 x=1 對稱是解題的關(guān)鍵 . 二、填空題 13. 答案 -6

14、? 4 解析 因為 a b ,所以 3 =-2 ,解得 m=-6. 易錯警示 容易把兩個向量平行與垂直的條件混淆. 14. 答案 -5 解析 由約束條件畫出可行域 ,如圖中陰影部分所示 (包括邊界 ).當直線 x-2y-z=0 過點 B(3,4) 時,z 取得最小值 ,z min=3- 2 4=-5. 21 15. 答案 13 5 12 解析 由 cos C= 13,0C,得 sin C= 13 . 由 cos A= 4 ,0A ,得 sin A= 3 . 5 5 所以 sin B=sin -(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos 63 A= , 65 根據(jù)正弦

15、定理得 b= ?sin ? 21 = . sin ? 13 16. 答案 1 和 3 解析 丙的卡片上的數(shù)字之和不是 5,則丙有兩種情況 : 丙的卡片上的數(shù)字為 1 和 2,此時 乙的卡片上的數(shù)字為 2 和 3,甲的卡片上的數(shù)字為 1 和 3, 滿足題意 ; 丙的卡片上的數(shù)字為 1 和 3,此時乙的卡片上的數(shù)字為 2 和 3,甲的卡片上的數(shù)字為 1 和 2,這時甲與乙的卡片上有相 同的數(shù)字 2,與已知矛盾 ,故情況 不符合 ,所以甲的卡片上的數(shù)字為 1 和 3. 疑難突破 先對丙分類討論 ,確定出丙卡片上的數(shù)字情況再確定乙、甲是解決問題的關(guān)鍵 . 三、解答題 17. 解析 ( )設(shè)數(shù)列 a n

16、的公差為 d, 由題意有 2a 1 +5d=4,a 1+5d=3. 2 解得 a 1=1,d= .(3 分) 5 所以 a n的通項公式為 2 ?+3 an= .(5 分) 5 ( )由( )知,bn= 2?+3 .(6 分) 5 當 n=1,2,3 時 2?+3 ,1 2,b n=1; 5 2?+3 n 當 n=4,5 時 ,2 3,b 5 =2; 當 n=6,7,8 時 2?+3 ,3 4,b n=3; 5 當 n=9,10 2 ?+3 時,4 0 等價于 ln x- ?(?-1) 0.(4 分) ?+1 設(shè) g(x)=ln x-?(?-1) ,則 ?+1 2 12? +2(1-a)x+1

17、 分 ) g(x)= - 2 = ?(?+1) 2 ,g(1)=0.(6 ? (?+1) (i) 當 a 2,x (1,+ )時 ,x2+2(1-a)x+1 x2-2x+10, 故 g(x)0,g(x) 在(1,+ )單調(diào)遞增,因此 g(x)0;(8 分 ) (ii) 當 a2 時 , 令 g(x)=0 得 x1=a-1- ( ?-1) 2 -1,x2=a-1+ ( ?-1) 2-1 .(10 分 ) 由 x2 1 和 x x =1 得 x 1, 故當 x (1,x 2 )時,g(x)0,g(x) 在 (1,x 2 )單調(diào)遞減 ,因此 g(x)0. 由已知及橢圓的對稱性知 ,直線 AM 的傾斜

18、角為 . 4 又 A(-2,0), 因此直線 AM 的方程為 y=x+2.(2 分) 2 2 ? ? 將 x=y-2 代入 4 + 3 =1 得 7y 2-12y=0. 12 12 解得 y=0 或 y= , 所以 y1= . 7 7 因此 AMN 的面積 S 1 12 12 144 分) AMN =2 = .(4 2 7 7 49 2 2 ( )將直線 AM 的方程 y=k(x+2)(k0) ? ? 代入 + =1 得 4 3 (3+4k 2 )x2+16k 2x+16k 2-12=0. 2 2 由 x1 (-2)= 16? -12 2(3-4 ? ) 2 得 x1= 2 , 3+4 ? 3

19、+4 ? 2 2 12 1+ ? 故|AM|=|x 1 +2| 1 + ?= 2 . 3+4 ? 由題設(shè) ,直線 AN 的方程為 y=- 1 (x+2), ? 2 12? 1+ ? 故同理可得 |AN|= 2 .(7 分 ) 3?+4 由 2|AM|=|AN| 得 2 ? 3 -6k 2+3k-8=0.(9 分) 2 = 2 , 即 4k 3+4 ? 3 ? +4 設(shè) f(t)=4t 3-6t2 +3t-8, 則 k 是 f(t) 的零點 , f (t)=12t 2-12t+3=3(2t-1) 20,所以 f(t) 在 (0,+ )單調(diào)遞增 . 又 f( 3)=15 3 -260, 因此 f(

20、t) 在 (0,+ )有唯一的零點 ,且零點 k 在 ( 3,2)內(nèi) ,所以 3k2.(12 分 ) 22. 解析 ( )證明 :因為 DF EC, 所以 DEF CDF, 則有 GDF= DEF= FCB, ? ? ? = , ? ? 所以 DGF CBF, 由此可得 DGF= CBF. 因此 CGF+ CBF=180,所以 B,C,G,F 四點共圓 .(5 分 ) ( )由 B,C,G,F 四點共圓 ,CG CB 知 FG FB, 連結(jié) GB. 由 G 為 Rt DFC 斜邊 CD 的中點 ,知 GF=GC, 故 Rt BCG Rt BFG, 因此 ,四邊形 BCGF 的面積 S 是 GCB 面積 SGCB 的 2 倍 ,即 S=2S GCB 1 1 1 分) =2