基本信號及運(yùn)算

1、X第第 1 頁頁第二章 連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析 本章重點(diǎn) 1.掌握連續(xù)時(shí)間基本信號（簡單信號和奇異信號）的性質(zhì)及應(yīng)用； 2.熟悉信號時(shí)域運(yùn)算； 3.掌握卷積積分及計(jì)算； 4.掌握微分方程建立及求解（零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)）； 5.理解響應(yīng)模式分析。X第第 2 頁頁2.1 基本信號的時(shí)域描述一幾種典型確定性普通信號5.5.鐘形脈沖函數(shù)鐘形脈沖函數(shù)( (高斯函數(shù)高斯函數(shù)) )1.1.指數(shù)信號指數(shù)信號2.2.正弦信號正弦信號3.3.復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號( (表達(dá)具有普遍意義表達(dá)具有普遍意義) )4 4. 抽樣信號抽樣信號(Sampling Signal)信號的表示信號的表示 tf函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)

2、式波形波形X第第 3 頁頁重要特性：重要特性：其對時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。其對時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。1指數(shù)信號tKtf e)( 單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號通常把通常把 稱為指數(shù)信號的稱為指數(shù)信號的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)，記作，記作 , ,代表信代表信號衰減速度，具有時(shí)間的量綱。號衰減速度，具有時(shí)間的量綱。 1l 指數(shù)衰減指數(shù)衰減, ,0 0 l l 指數(shù)增長指數(shù)增長0 0 l 直流直流( (常數(shù)常數(shù)) ), ,0 K0 O tft 0e00 tttft X第第 4 頁頁2正弦信號振幅：振幅：K 周期：周期： 頻率：頻率：f 角頻率：角頻率： 初相：初相： fT12 f2 0 0 00

3、sine)( tttKtft)sin()( tKtf衰減正弦信號：衰減正弦信號： X第第 5 頁頁歐拉(Euler)公式 ttt jjeej21sin ttt jjee21cos ttt sinjcose j X第第 6 頁頁3復(fù)指數(shù)信號討論討論 衰減指數(shù)信號衰減指數(shù)信號升指數(shù)信號升指數(shù)信號直流直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0 振蕩振蕩衰減衰減增幅增幅等幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0 為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，稱稱為為復(fù)復(fù)頻頻率率 j s ,均為實(shí)常數(shù)均為實(shí)常數(shù) )( e)(tKtfstrad/s /s1 的的量量綱綱為為，的的量量綱綱為為 tKtKtt sinejcoseX第第 7

4、頁頁4抽樣信號(Sampling Signal) 性質(zhì)性質(zhì) ，偶偶函函數(shù)數(shù)ttSaSa 1)Sa(lim1)Sa(, 00 tttt，即即3 , 2 , 1, 0)Sa( nntt， dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim tt tttsin)sinc( tttsin)Sa( X第第 8 頁頁5鐘形脈沖函數(shù)(高斯函數(shù))2e)( tEtfOt tfE 2 eEE78. 0在隨機(jī)信號分析中占有重要地位。在隨機(jī)信號分析中占有重要地位。X第第 9 頁頁二、奇異信號二、奇異信號單位斜變信號單位斜變信號單位階躍信號單位階躍信號單位沖激信號單位沖激信號沖激偶信號沖激偶信號X第第 10 頁頁（一）

5、單位斜變信號t)(tRO11t)(0ttR O10t10 t1 1 定義定義 000)(ttttRt)(tfOK 00)(0000ttttttttR3 3三角形脈沖三角形脈沖 它它其其 0)()( ttRKtf由宗量由宗量t - -t0=0 可知起始點(diǎn)為可知起始點(diǎn)為0t2 2有延遲的單位斜變信號有延遲的單位斜變信號X第第 11 頁頁（二）單位階躍信號t)(tuO1t)(0ttu O10t1. 1. 定義定義210 0100)(點(diǎn)點(diǎn)無無定定義義或或 tttu0 ,10)(0000 tttttttu2. 2. 有延遲的單位階躍信號有延遲的單位階躍信號3. 3. 應(yīng)用應(yīng)用a.a. 表示單邊信號。表示

6、單邊信號。X第第 12 頁頁b. b. 表示矩形脈沖。表示矩形脈沖。tO12 2 tf tG其他函數(shù)只要用門函數(shù)處理其他函數(shù)只要用門函數(shù)處理( (乘以乘以門函數(shù)門函數(shù)) )，就只剩下門內(nèi)的部分。，就只剩下門內(nèi)的部分。 22 tututf門函數(shù)：門函數(shù)：也稱窗函數(shù)也稱窗函數(shù) 0ttututfX第第 13 頁頁c.c.表示符號函數(shù)表示符號函數(shù) t符號函數(shù)符號函數(shù)：(Signum) 0101)sgn(ttt1)(2)()()sgn( tututut1)sgn(21)( ttutO tsgnX第第 14 頁頁（三）單位沖激函數(shù) 概念引出概念引出定義定義1 1定義定義2 2定義定義3 3沖激函數(shù)的性質(zhì)沖

7、激函數(shù)的性質(zhì))(t X第第 15 頁頁定義1：狄拉克(Dirac)函數(shù)ot)(t )1( 0 0)( 1d)(tttt 1d)(d)(00tttt 函數(shù)值只在函數(shù)值只在t = 0t = 0時(shí)不為零；時(shí)不為零； 積分面積為積分面積為1 1； t =0 t =0 時(shí)，時(shí)， ，為無界函數(shù)。，為無界函數(shù)。 t X第第 16 頁頁定義2t)(tpO 12 2 221)( tututp0 面積面積1 1；脈寬脈寬； 脈沖高度脈沖高度； 則窄脈沖集中于則窄脈沖集中于 t=0 t=0 處。處。面積為面積為1 1寬度為寬度為0 0 000tt無無窮窮幅幅度度三個(gè)特點(diǎn)：三個(gè)特點(diǎn)：X第第 17 頁頁 221lim)

8、(lim)(00 tututpt若面積為若面積為k，則強(qiáng)度為，則強(qiáng)度為k。三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數(shù)三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數(shù)取取 0極限，都可以認(rèn)為是沖激函數(shù)。極限，都可以認(rèn)為是沖激函數(shù)。描述ot)(t )1(ot)(0tt )1(0t時(shí)移的沖激函數(shù)時(shí)移的沖激函數(shù)X第第 18 頁頁定義3 以分配理論為基礎(chǔ)定義以分配理論為基礎(chǔ)定義)0(d)()(ftttf X第第 19 頁頁沖激函數(shù)的性質(zhì)為了信號分析的需要，人們構(gòu)造了為了信號分析的需要，人們構(gòu)造了 t 函數(shù)，它屬于廣函數(shù)，它屬于廣 義函數(shù)。就時(shí)間義函數(shù)。就時(shí)間t而言，而言， t 可以當(dāng)作時(shí)域連續(xù)信號處可以當(dāng)

9、作時(shí)域連續(xù)信號處 理，因?yàn)樗蠒r(shí)域連續(xù)信號運(yùn)算的某些規(guī)則。但由于理，因?yàn)樗蠒r(shí)域連續(xù)信號運(yùn)算的某些規(guī)則。但由于 t是一個(gè)廣義函數(shù)，它有一些特殊的性質(zhì)。是一個(gè)廣義函數(shù)，它有一些特殊的性質(zhì)。 1抽樣性抽樣性2奇偶性奇偶性3標(biāo)度變換標(biāo)度變換4微分性質(zhì)（沖激偶微分性質(zhì)（沖激偶）和積分性質(zhì)）和積分性質(zhì)5. 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)X第第 20 頁頁1.抽樣性(篩選性)()0()()(tftft )()(0ttft 對于移位情況：對于移位情況：ttfttd)()(0 如果如果f(t)在在t = 0處連續(xù)，且處處有界，則有處連續(xù)，且處處有界，則有 )0(d)()(fttft ot)(tf )0(f)()(0tt

10、f )(0tfX第第 21 頁頁2. 奇偶性)()(tt 3. 對(t)的標(biāo)度變換 at ta 1?d)()5( ttft 051fX第第 22 頁頁5.5.卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) tfttf 4.4.微、積分性質(zhì)微、積分性質(zhì)td)t (ud)t ( )(d)(tut td)t (d)t ( X第第 23 頁頁4.4.沖激偶沖激偶Ot)(t )1(0 Ot)(t ot)(tst)(ts O 21 21 1ot)(ts t)(ts O 21 21 1)(t X第第 24 頁頁 （與與 tfttf0)()( 不不同同） )0( d)()( fttft ,0d)( tt tttt d)( 沖激偶的性質(zhì)時(shí)移

11、時(shí)移)( d)()( 00tfttftt 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)：的的對對kt 01d)()(kkkfttft , )()(tt )()(00tttt tftfttf)0()(0)( ， X是奇函數(shù)是奇函數(shù))(t ，則：，則： X第第 25 頁頁沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)（1 1）抽樣性）抽樣性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)( （4 4）微積分性質(zhì)）微積分性質(zhì)ttutd)(d)( )(d)(tut （5 5）沖激偶）沖激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(t

12、ftfttf )0(d)()(ftttf （6 6）卷積性質(zhì)）卷積性質(zhì) tfttf X第第 26 頁頁四.總結(jié)： R(t)，u(t)， (t) 之間的關(guān)系t)(tRO11t)(tuO1Ot)(t )1( R(t) 求求 積積(- t 0，右移，右移(滯后滯后) 0，左移，左移(超前超前)Ot)(tf1 11f(t+1)的波形？的波形？X第第 30 頁頁2反褶)()(tftf 例：例：以縱軸為軸折疊，把信號的過去與未來對調(diào)。以縱軸為軸折疊，把信號的過去與未來對調(diào)。 O12 1 tftO21 1 tf tX第第 31 頁頁3信號的展縮(Scale Changing)例例 ： 已已 知知 tf， 畫

13、畫 出出 tf 2和和 2tf的的 波波 形形 。 波形的壓縮與擴(kuò)展，尺度變換波形的壓縮與擴(kuò)展，尺度變換 2)(tftf波波形形擴(kuò)擴(kuò)展展,2tt atftf0aX第第 32 頁頁f(t)f(2t)t2t，波形壓縮。，波形壓縮。OT21 tftX第第 33 頁頁4一般情況注意注意！ 0 aabtafbatftf設(shè)設(shè)展縮展縮 平移平移 一切變換都是相對一切變換都是相對t 而言而言最好用先展縮后平移的順序最好用先展縮后平移的順序 加上倒置：加上倒置： abtafbatf X第第 34 頁頁例題例題Ot)(tf1 11解解: :t)5( tf6 14 5 Ot)3( tf131O31 t)53( tf

14、12 34 已知已知f(t)，求，求f(3t+5)。X時(shí)移標(biāo)度變換標(biāo)度變換時(shí)移X第第 35 頁頁 信號的尺度變換在實(shí)際生活中的例子對于離散信號，對于離散信號，由于由于f (a k) 僅在為僅在為a k 為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)才有意才有意義，義， 進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會使部分信號丟失。因此一進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。般不作波形的尺度變換。磁帶或錄影帶快放慢放磁帶或錄影帶快放慢放X第第 36 頁頁 三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對時(shí)間t 進(jìn)行。 例：已知例：已知f (t)，畫出，畫出f ( 4 2t)。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合X第第

15、 37 頁頁也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。X第第 38 頁頁二微分和積分Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf積分：積分：，微分：微分：沖激信號沖激信號X第第 39 頁頁注意事項(xiàng)： 由于引入了奇異信號的概念，不僅普通連續(xù)時(shí)間信號可以微分，具有第一類間斷點(diǎn)的信號也可以微分，他們在間斷點(diǎn)的一階微分是個(gè)沖激，強(qiáng)度為原信號在該時(shí)刻的躍變增量，而他們在其他連續(xù)區(qū)間的微分就是常規(guī)意義上的導(dǎo)數(shù)。 在分段積分時(shí)，要考慮到前一段的積分值對以后積分的影響。X第第 40 頁頁三兩信號相加和相乘t t sint

16、 t 8sint tt 8sinsin同一瞬時(shí)兩信號對應(yīng)值相加（相乘）。同一瞬時(shí)兩信號對應(yīng)值相加（相乘）。t t sint t 8sint tt 8sinsinX第第 41 頁頁物理意義：舉例通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。發(fā)送發(fā)送設(shè)備設(shè)備信息源信息源發(fā)送端發(fā)送端接收端接收端消息消息信號信號信號信號消息消息信宿信宿信道信道接收接收設(shè)備設(shè)備噪聲源噪聲源X第第 42 頁頁四、 信號的分解 為了便于研究信號的傳輸和處理問題，往往將為了便于研究信號的傳輸和處理問題，往往將信號分解為一些簡單信號分解為一些簡單( (基本基本)

17、 )的信號之和，分解角度的信號之和，分解角度不同，可以分解為不同的分量不同，可以分解為不同的分量X第第 43 頁頁（一）直流分量與交流分量)()()(ADtftftf 平平均均值值。：信信號號的的直直流流分分量量，即即tfDTtttd)t (fT)t (f001D信號的平均功率信號的平均功率 = = 信號的直流功率信號的直流功率 + + 交流功率交流功率 ttfTtfttftfTttfTPTttTttTttd)(1)(d)()(1d)(10000002A2D2AD2 X第第 44 頁頁（二）偶分量與奇分量對任何對任何實(shí)實(shí)信號而言：信號而言：信號的平均功率信號的平均功率 = = 偶分量功率偶分量

18、功率 + + 奇分量功率奇分量功率 odd :oeven :e: )(: )()()()(ooeeoeoetftftftftftftftftf 奇分量奇分量偶分量偶分量 )()(21)(etftftf )()(21)(otftftf X第第 45 頁頁Ot)(tfOt)( tf Ot)(etfOt)(otf 例：求f(t)的奇分量和偶分量X第第 46 頁頁（三）典型信號分量 信號分解為典型信號的有限項(xiàng)之和信號分解為典型信號的有限項(xiàng)之和典型信號在信號系統(tǒng)分析理論中有專門的典型信號在信號系統(tǒng)分析理論中有專門的分析研究，如將信號分解成了它們的有限和式，分析研究，如將信號分解成了它們的有限和式，則信號

19、本身的分析結(jié)果也就基本明朗了。則信號本身的分析結(jié)果也就基本明朗了。舉例舉例見符號函數(shù)見符號函數(shù)1)(2)()()sgn( tutututX第第 47 頁頁 問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號X第第 48 頁頁 tf t fO（四）脈沖分量, t當(dāng)當(dāng) , f脈脈高高：, 脈脈寬寬：1 1矩形窄脈沖序列矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為此窄脈沖可表示為 )()( tutuf)()( tutu存存在在區(qū)區(qū)間間：X第第 49 頁頁出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，出現(xiàn)在不同時(shí)刻的，不同強(qiáng)度的沖激函不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)的和。數(shù)的和。疊疊加加可可表表示示為為許許多多窄窄脈脈沖沖的的到到從從)(,tf

20、）tutuf()()( ）tutuftf()()()( d)()()( tftf所所以以0 令令 tttututud)(d()(lim0） ,dX第第 50 頁頁2 2連續(xù)階躍信號之和連續(xù)階躍信號之和 01111d)(d)(d)()0()(tttuttftuftf 將信號分解為沖激信號疊加的方法應(yīng)用很廣，將信號分解為沖激信號疊加的方法應(yīng)用很廣，后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。的零狀態(tài)響應(yīng)。 tf1t t1t 0f 11ttf 1tfOX第第 51 頁頁（五）實(shí)部分量與虛部分量瞬時(shí)值為瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的信號可分解為實(shí)虛部兩部分之和。的信號可分解為實(shí)虛部兩部分之和。即即實(shí)際中產(chǎn)生的信號為實(shí)信號，可以借助于復(fù)信號來實(shí)際中產(chǎn)生的信號為實(shí)信號，可以借助于復(fù)信號來研究實(shí)信號。研究實(shí)信號。共軛復(fù)函數(shù)共軛復(fù)函數(shù))(j)()(irtftftf )(j)()(ir*tftftf )()(21)(*rtftftf )()(